2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破：专题24圆

专题24圆

士，单元知识点呈现

知识点1：圆的概念

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称

为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个

交点的角叫做圆周角。

4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角

形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

知识点2：点与圆的位置关系

圆和点的位置关系：以点P与圆0为例（设P是一点，则P0是点到圆心的距离），

P在。0外，PO>r；P在。0上，PO=r；P在。0内，POVr。

知识点3：直线与圆的位置关系

直线与圆有3种位置关系：

（1）无公共点为相离；

（2）有两个公共点为相交，这条直线叫做圆的割线；

（3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

知识点4：圆与圆的位置关系

两圆之间有5种位置关系：

无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;

有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;

有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r,且R》r,圆心距为L,则

(1)外离L>R+r；

(2)外切L=R+r；

(3)相交R-r<L<R+r；

(4)内切L=R-r；

(5)内含L<R-r»

知识点5：垂径定律定律

垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

知识点6：圆心角定律

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

知识点7：圆周角定律

(1)在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

知识点8：圆内接多边形

2.圆内接正四边形形

3.圆内接正六边形形

知识点9：判定定理与切线的性质

1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质：

(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

知识点10：圆的公切线

1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。

如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。

(1)若两圆相离，则有4条公切袭线。

(2)若两圆外切，则有3条公切线。

(3)两圆相交，则有2条公切线。

(4)若两圆内切，则有1条公切线。

(5)若两圆内含，则有0条公切线。

2.公切线性质

(1)两圆的两条外公切线长相等；

(2)两条内公切线的长也相等。

(3)两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

知识点11：两圆公共弦定理

两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。

知识点12：扇形、圆柱和圆锥的相关计算

1.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

3.圆的计算公式：

(1)圆的周长C=2nR=JId

(2)圆的面积S=nI??

(3)扇形弧长L=nnR/180

(4)扇形面积S=nnR2/180=LR/2

(5)圆柱表面积S祈+2S*2"Rh+2xR

(6)圆柱体的体积V=S底h=nR?h

(7)圆锥表面积SMS州+S底="Rr+n-

(8)圆锥体的体积V=mr/h/3

1.知识思维导图

2.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从

而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生

分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

(1)见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论

间的联系。

(2)见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用”直径所对的圆周角是直角"这一特征来

证明问题。

(3)见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

(4)两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有

关的角的关系。

(5)两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角

或圆心角联系起来。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜(圆问题的解题技巧)

半径与弦长计算,弦心距来中间站

圆上若有一切线,切点圆心半径连

切线长度的计算,勾股定理最方便

要想证明是切线,半径垂线仔细辨

是直径，成半圆,想成直角径连弦

弧有中点圆心连,垂径定理要记全

圆周角边两条弦,直径和弦端点连

弦切角边切线弦,同弧对角等找完

要想作个外接圆，各边作出中垂线

还要作个内接圆,内角平分线梦圆

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。

内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散,对称旋转去实验

基本作图很关键,平时掌握要熟练

解题还要多心眼,经常总结方法显

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变

分析综合方法选,困难再多也会减

虚心勤学加苦练,成绩上升成直线

4.拓展知识：圆嘉定理

(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

重要结论：PA・PB=PC・PD

(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

重要结论：CE?=AE・BE

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段

长的比例中项。

重要结论：PA2=PC«PB

(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的

积相等。

重要结论：PC-PB=PD-PE

5.圆问题的基本题型

类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周

角定理；圆内接四边形性质等.

类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。

类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。

类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面

积的计算等。

类型5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的

综合应用。

【例题1】（2020•淮安）如图所示，点4B、。在。。上，N4CB=54°,则//%的度数是（）

A.54°B.27°C.36°D.108°

【答案】C

【解析】根据圆周角定理求出N/仍，根据等腰三角形的性质求出/A%上乙物0,根据三角形内角和定理求

出即可.

VZJG?=54°,

.,•圆心角//施=2N力CB=108°,

•：OB=OA,

：.ZABO^ZBAO=|x（180°-/AOB）=36°

【例题2】（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点。在鸵上，则△阳,的面积为cm.

【答案】2V3.

【解析】连接即BE,过点力作”，成于7,证明心阳=8力榕求出△颇的面积即可.

连接BF,BE,过点A作ATLBF于T

,・3四9旗是正六边形，

C.CB//EF,AB=AF,ZBAF=120Q,

5△阳=S&BEF，

■:AT1BE,AB=AF,

：.BT=FT,NBAT=/FAT=60",

：・BT=FT=AB・sin600=V3,

：.BF=2BT=2y[3,

VZAFE=120°,NAFB=NABF=30°,

：.ZBFE=90°,

:.SAPE尸S&w*=^EF-BF=1x2x273=2/

【例题3】(2019•陕西)如图，。。的半径以=6,过点力作。。的切线力产，且42=8,连接产。并延长，与

。。交于点从D,过点、8作比〃04,并与。。交于点C,连接4GCD.

(1)求证：DC//AP-,

(2)求水?的长.

A

【答案】见解析。

【分析】（1）根据切线的性质得到N〃仍=90°,根据圆周角定理得到/时=90。,根据平行线的性质和

判定定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解析】（1）证明：♦；/一是。。的切线，曲户=90°,

•劭是。。的直径，:.NBCD=9Q：

'：OA//CB,A0P/DB3:./BDC=NAPO,：.DC//AP-,

（2）解：,:AQHBC,OD^OB,

,延长4。交加于点

11

则/EL%,OE=加3CE=2,

在Rt△力帆中，〃七七62+82=10,

由（1）知，△力“s△物，

.DBBCDC

*9OP~OA~AP1

即又=—=—,

1068

・♦,除3学6DC=4T8f

1824

：,OE=书,公管，

在RtZXW中，AC=TAE2+52=J(6+第2+(第2=2^5

单元核心检测

《圆》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.（2020•福建）如图，四边形/腼内接于。。，/6=5，］为皿中点，N8〃C=60°,则//如等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【解析】：4为劭中点，，而一冠，

'：AB=CD,：.AB=CD,：.AB=AD=CD,

•.•圆周角NW60°,

.../朋?对的尻1的度数是2X60°=120°,

二液的度数是工x（360°-120°）=80°,

3

二丽对的圆周角//的的度数是［x80°=40°

2.（2020•青岛）如图，如是。。的直径，点4C在。。上，然=专），AC交BD于点、G.若/。⑼=126°,

则的度数为（）

A.99°B.108°C.110°D.117"

【答案】B

【解析】根据圆周角定理得到/胡/=90°,4DAC=&NC0D=63：再由通=而得到/6=/片45°,

然后根据三角形外角性质计算的度数.

:劭是。。的直径，:.NBAA90。，

VA&=AD,.*.Z7?=ZZ>=45O,

11

VZDAC=^ZCOD=ix126°=63°,

AZAGB=ZZM6>ZZ>=63O+45°=108°.

3.（2020•泸州）如图，。。中，AB=Aif/ABC=70°.则的度数为（)

A.100°B.90°C.80°D.70°

【答案】C

【解析】先根据圆周角定理得到370°,再利用三角形内角和计算出/4=40°,然后根据圆

周角定理得到。的度数.

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=70c,,

,,.ZJ=180°-70°-70°=40°,

：.ZBOC=2ZA=80a.

4.（2020•绍兴）如图所示，点4B,C,D,£均在。。上，ZBAC=15°,NCED=30°,则的度数

为（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

【答案】D

【解析】首先连接班；由圆周角定理即可得a'的度数，继而求得/喇的度数，然后由圆周角定理，求

得//加的度数.

连接班

■:ZBEC=/BAC=150,Z6E9=30°,

:・/BED=/BEC+/CED=45°,

・・,N仇勿=2N颂=90°.

5.（2020•杭州）如图，已知比是。。的直径，半径。J_8C,点〃在劣弧力。上（不与点出点。重合），BD

与OA交于点E.设』AED=a,ZAOD=B,贝lj（）

A.3a+p=180°B.2a+0=180°C.3a-6=90°D.2a-6=90°

【答案】D

【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用g表示/。切，进而由圆心角与圆周角关系，用a表示NC勿,

最后由角的和差关系得结果.

•：OA1BC,

：.ZAOB=ZAOC=W°,

DBC=9¥-NBEO=900-NAED=90°-a,

：.ZCOD=2ZDBC=180°-2a,

\9ZAOD^ZCOD=90°,

・♦・P+180°-2a=90°,

A2a-B=90°

6.（2020•牡丹江）如图所示，四边形1时内接于。0,连接班.若女=比，ZBDC=50°,则的度

数是（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【答案】B

【解析】连接04,OB,OC,根据圆周角定理得出N破7=100°,再根据女=就得到N/阳从而得到NA9C,

最后利用圆内接四边形的性质得到结果.

连接OA,OB,OC,

*：NBDC=50°,

:.NBOg2/BDC=\QQ°,

"：AC=比，

:.NBOC=NAOC=\QQ°,

AZABC=1ZJ6>C=5O°,

：.ZJZ?C=180°-Z^=130°.

B

7.（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A.24V3-4JiB.12V3+4JiC.24旧+8nD.24V3+4n

【答案】A

【分析】设正六边形的中心为0,连接OA,加首先求出弓形助出的面积，再根据S阳=6・（S、网-S弓畛.）

求解即可.

【解析】设正六边形的中心为0,连接OA,OB.

m

由题意，OA=OB=AB=\,

包8

60-7T-42X4n4

・・S弓形/加/尸S扇形o,\[i-S（产43一

360

阴=6・(S，"囱-S弓形,而Q=6«(—n«2--1n+4V3)=2473-4n,

2$

8.（2020•乐山）在△力阿中，已知/46C=90°,/胡仁30°,BC=\.如图所示，将比绕点力按逆时

针方向旋转90°后得到△46'C.则图中阴影部分面积为（)

DW

2

【答案】B

【解析】解直角三角形得到466兆三6，AC=2Bg2,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.

,：ZABC=90°,ZBAC=30°,BC=\,

：.AB=>/3BC=V3,AC=2BC=2,

2

#90TTX29O-7TX31q30-TTX3、n—43

3603602360

9.（2019•山东省滨州市）如图，4?为。。的直径,C,〃为。。上两点，若/以力=40°,则//切的大小

40°D.20°

【答案】B

【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题

的关键.连接/〃，先根据圆周角定理得出//及N/的的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论.

连接AD,

D

:熊为。。的直径，；.N械=90°.

■:NBCD=40°,：.NA=NBCD=40°,

：.ZABD=90°-40°=50°.

10.（2019甘肃陇南）如图所示，点4B,S在圆上，若弦的长度等于圆半径的血倍，则乙4金的度数

是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C.

【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所时的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

设圆心为0,连接风.必，如图，先证明△〃但为等腰直角三角形得到乙4施=90°,然后根据圆周角定理确

定N4S6的度数.

设圆心为。，连接见龙，如图，

•••弦A?的长度等于圆半径的加倍，

即AB=y[2OA,

.•.而+窗=四，

.•.△曲6为等腰直角三角形，N/I如=90°,

11.（2019•湖北天门）如图，4〃为。。的直径，回为。。的切线，瓠ADHOC,直线切交砌的延长线于点

E,连接施.下列结论：①切是。。的切线；②C0LDB；③△协s△加；@ED-BC=BOBE.其中正确结论

的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握

辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键.

连结M

,.•仍为。。的直径，比为。。的切线，AZCB(2=90°,

'：AD//OC,C.ZDAO^ACOB,ZADO^ACOd.

又,：OA=OD,：.ZDAO=AADO,：.ZCOD=ACO&.

'C0=D0

在和△CO6中，，ZC0D=ZC0B>

0D=0B

:.XCOIf^XCOB(S/1S),

：./CDg/CBggQ".

又•.•点〃在。。上，

.•.5是。。的切线；故①正确，

"：［\COlJ^f\COB,：.CD^CB,

"：0D=OB,...CO垂直平分〃8,

即故②正确；

•."8为。。的直径，咒为。。的切线，；./敬片/加3=90",

：.AEDA^ZADO=ZBDOAADO=^°,AAADE=ABDO,

•：OgOB,:.NODB=/OBD,：./EDA=/DBE,

，：NE=4E,:ZDAsAEBD,故③正确：

■:NEDg/EBC=9Q°,/£=/£,

:ZODsXECB,

.EDOD

•'前E，

"：OD=OB,

：.EIfBC=BOBE,故④正确.

12.（2019•山东省德州市）如图，点0为线段6c的中点，点4G〃到点。的距离相等，若/四。=40°,

则/4T的度数是（）

B

A.130°B.140°C.150°D.160°

【答案】B.

【解析】根据题意得到四边形1及力共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数.由题意得到

①，作出圆0,如图所示,

二四边形46缪为圆。的内接四边形,

AZABC+ZADC=180°,

,：ZABC=40Q,：.ZADC=1AOQ

二、填空题（每空3分,共24分）

13.（2020•盐城）如图，在。。中，点/在尻1上，NBOC=100；则/为

【答案】130.

【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论.

如图，取。。上的一点〃，连接劭，CD,

*：ZBOC=100°,

・・・N〃=50°,

・•・/胡0=180°-50°=130°

14.（2020•天水）如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）,

则这个圆锥的底面半径是.

O

【答案】

【解析】根据半径为8,圆心角为120。的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可.

设圆锥的底面半径为r,

1207TX8

由题意得,=2nr,

180

解得，

15.（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形4勿内接于半径为2的。。，OD1BC千点D,/为。=60°,则

OD=

BD'C

【答案】L

【分析】连接施和用根据圆周角定理得出a'的度数，再依据等腰三角形的性质得到切的度数,

结合直角三角形的性质可得0D.

【解析】连接仍和0C,

内接于半径为2的。。，NE1C=6O°,6a'=120°,OB=OC=2,

•：ODLBC,OB=OC,

1

"BOIA4C0g60°,：./()BQ30°,：.()0=会)8=\

16.(2020•襄阳)在(DO中，若弦回垂直平分半径处，则弦8c所对的圆周角等于°.

【答案】60°或120°.

【分析】根据弦及7垂直平分半径如，可得的如=1：2,得N80C=120。，根据同弧所对圆周角等于圆

心角的一半即可得弦况所对的圆周角度数.

【解析】如图,

c

•.•弦叱垂直平分半径0A,

：,0D-.0B=\：2,

.,.2%=60°,

:.NBOC=120°,

...弦比所对的圆周角等于60°或120°.

17.（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为

【答案】3n.

【解析】根据圆锥的侧面积公式：nH.即可得圆锥的侧面展开图的面积.

•.•圆锥的侧面展开图是扇形，

5恻=nr/=3X1it=3n,

...该圆锥的侧面展开图的面积为3”.

18.（2020•扬州）圆锥的底面半径为3,侧面积为12h，则这个圆锥的母线长为.

【答案】4.

【解析】根据圆锥的侧面积公式：S佻尸;义2页广/=117/即可进行计算.

..0=

/.3n7=12n,

；・1=4.

答：这个圆锥的母线长为4.

19.（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=3cm,则螺

帽边长a=cm.

【答案】V3.

【分析】根据正六边形的性质，可得/48。=120。，AB=BC=a,根据等腰三角形的性质，可得切的长,

根据锐角三角函数的余弦，可得答案.

［解析】如图，连接AC,过点6作BD1.AC于D,

由正六边形，得

486=120°,AB=BC=a,

NBgNBAC=3Q°.

由力。=3,得5.

cos/8G9=彩=坐，即？=亨,

20.（2020•连云港）如图，正六边形444444内部有一个正五边形区尼氏8遇，且44〃氏氏，直线/经过

民、&，则直线/与小4的夹角a=°.

【答案】48.

【分析】延长44交44的延长线于G设1交4次于反交44于〃由正六边形的性质得出/44出=/

42&4I=120°,得出/。2力3=/4i4£60°,则NC=60°,由正五边形的性质得出/员及片=108°,由平

行线的性质得出/被4尸/功及&=108°,则N&T=72°,再由三角形内角和定理即可得出答案.

【解析】延长44交44的延长线于G设/交4小于从交4M3于〃，如图所示：

•..六边形4424444是正六边形，六边形的内角和=(6-2)X1800=720°,

720°

力力力力

**•N423=N2341=O-7-=120°,

：.ZCA2A,=ZA2A-,C=180°-120°=60°,

AZC=180°-60°-60°=60°,

•・•五边形4民4外区是正五边形，五边形的内角和=(5-2)X1800=540°,

540°

.•・/民氏同=节-=108°,

■:A4I/氏B\,

:・/EDA产/Bz&&=1080,

/.Zi»6=180°-108°=72°,

Aa=ZCEP=180°-ZC-Z£0C=180°-60°-72°=48°

小

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三、解答题（5个小题，每题12分，共60分）

21.（2020•聊城）如图，在中，AB=BC,以△力6c的边为直径作。“交4c于点，，过点〃作庞

LBC,垂足为点反

（1）试证明瓦1是。。的切线；

（2）若。。的半径为5,/f（＞=6VT0,求此时a'的长.

【答案】见解析。

【分析】（1）连接必、BD,求出瑞成,4片。C,根据三角形的中位线得出OD//BC,推出ODLDE,

根据切线的判定推出即可；

（2）根据题意求得AD,根据勾股定理求得BD,然后证得△。/。△/加，根据相似三角形的性质即可求得

DE.

【解析】（1）证明：连接OD、BD,

是。。直径，:./ADB=9Q°,J.BDLAC,

■:AB=BC,〃为然中点,

•：OA=OB,：.OD//BQ

■:DELBC,：.DELOD.

・・,勿为半径，，应是。。的切线；

(2)由(1)知劭是北的中线，

：.AD=CD=^AC=3710,

•••。的半径为5,

."8=6,

：.BD=y/AB2-AD2=J102-(3V10)2=V10,

"：AB=AC,：.AA=AC,

■:NADB=/CEQ9Q°,

:ZDEsXABD,

22.(2020•上海)如图，中，AB=AC,。。是的外接圆，的延长线交边然于点〃

(1)求证：ZBAC=2ZAB£)i

(2)当△60是等腰三角形时，求/用力的大小；

(3)当册=2,切=3时，求边外的长.

【答案】见解析。

【分析】(1)连接力.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

(2)分三种情形：①若BACB,则NC=NBDC=NABANBAC=3NABD.②若CACB,则NCBg/CDB=

34ABD.③若DB=DC,则〃与/重合，这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可.

4EAD2AOAE4

(3)如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E.则—=—=推出---=—=-，设OB—OA—Aa,

BCDC3OHBH3

0H=3a,根据B#=A^-A寸=0百-OH,构建方程求出a即可解决问题.

【解析】(1)证明：连接0A.

4B=AC,：.AB=AC,A041BC,:.NBAg/CAO,

'：0A=0B,：.AABD=ZBA0,：.ZBAC=2ZBAD.

(2)解：如图2中，延长力0交6C于〃.

图2

①若BD^CB,同NC=4BDC=/ABmNBAC=3NABD,

"：AB=AC,：.ZABC=ZC,：.NDBC=2NABD,

*：NDBC+/。/BDC=180°,：.^>AABD=\^°,：.ZC=3ZABD=67.5°.

②若CQCB,WlJZCBD^ZCDB=3ZABI),：./C=4/ABD,

■：NDBC+/C+NCDB=18Q°,A10ZJa9=180°,：.ABCD=\AABD=7T.

③若龙=〃G则〃与/重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°.

(3)如图3中，作45•〃欧交郎的延长线于£.

AOAE4

/.---=—=一，设OB—OA—^a,OH=2>a,

OHBH3

，：B4=A)-Alt=笳-ok

二25-49/=16a?-9a1

-,.a2=||,小苧,

:.BC=2BH=芋.

23.(2020•金华)如图，砂的半径。1=2,%工加于点GN4OC=60°.

(1)求弦48的长.

(2)求油的长.

【答案】见解析。

【分析】(1)根据题意和垂径定理，可以求得力「的长，然后即可得到的长;

(2)根据N[8=60°,可以得到//庞的度数，然后根据弧长公式计算即可.

【解析】(1);•丽的半径/=2,OCL熊于点C,ZAOC=60°,

.,.〃'=%・sin60°=2x5=百，

：.AB=2AC=2y[3i

(2)'JOCVAB,ZAOC=60°,

二/｛如=120°,

'：OA=2,

12O7TX24兀

.•.油的长是:

180-3

24.(2020•齐齐哈尔)如图，46为。。的直径，C,〃为。。上的两个点，AC^CD^DB,连接他过点。

作DELAC交]。的延长线于点E.

(1)