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第一节方阵的特征值与特征向量二次型特征值问题与二次型第六章二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；而为二次型的标准形.2．用矩阵表示二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设有可逆线性变换四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例4从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例5六、小结

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题1思考题1解答特征值问题与二次型第五节正定二次型与正定矩阵一、惯性定理二、正(负)定二次型的概念为正定二次型为负定二次型例如为不定型二次型为负半定二次型三、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．定理3充分性必要性定义2这个定理称为霍尔维茨定理．定理4

对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质：推论对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例3

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例4

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，解例5

若二次型正定，求参数

t

应满足的条件.2.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺序主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．

3.

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