南京重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试卷数学试题及参考答案

PAGEPAGE1南京重点中学2022-2023学年第二学期期中考试卷高一数学一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项最符合题意）1．已知复数，则． ． ． ．2.已知在中，点为边的中点，若，则．1 ． ．2 ．3．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为．①④ ．①③ ．②④ ．②③4.已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（）． ． ． ．5.在中，，点为边上靠近的三等分点，则的值为． ． ． ．46.已知，，且，，求=（）．． ． ． ．7.某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间，内的最少 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.4568．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为． ． ． ．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有．样本，，，的极差 ．样本，，，的中位数 ．样本，，，的标准差 ．样本的方差10.设为复数，且，下列命题中正确的是（）．若，则．若为纯虚数，则为实数 ．若，则的实部与的虚部互为相反数．若，则复平面内对应点不可能在同一象限11.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为12.已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为________14.若复数满足，则在复平面内对应点所围成的区域面积为．15.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．16.甲、乙两支田径队队员的体重（单位：信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为_______参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为，四．解答题（共6小题，共70分）17．（每小题各5分）（1）已知，，且，求；（2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．19.在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点.（1）用表示；（2）设，.①求证；②求的最小值．20.甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．（1）求甲获胜的概率．（2）现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜．请问：这个规则公平吗，为什么？21.某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数的值精确到；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，，，的学生中抽取6名参加座谈会．你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在，的概率．22.在锐角中，已知，若点是线段上一点（不含端点），过作于，于．（1）若外接圆的直径长为，求的值；（2）求的取值范围；（3）问点在何处时，的面积最大？最大值为多少？参考答案一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项最符合题意）1．已知复数，则． ． ． ．【答案】【解析】：2.已知在中，点为边的中点，若，则．1 ． ．2 ．【答案】【解答】解：如图，为的中点，，且不共线，根据平面向量基本定理得，，3．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为．①④ ．①③ ．②④ ．②③【答案】【解答】解：在①中，用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生：人，中部地区学生：人，西部地区学生20人：人，故①正确；在②中，因为学生层次差异较大，且学生数量较多，应该利用分层抽样，故②错误；在③中，西部地区学生小刘被选中的概率为，故③正确；在④中，中部地区学生小张被选中的概率为，故④错误．故选：4.已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（）． ． ． ．【答案】【解答】解：5.在中，，点为边上靠近的三等分点，则的值为． ． ． ．4【答案】【解答】解：已知，则，又点为边上靠近的三等分点，则．故选：．6.已知，，且，，求=（）．． ． ． ．【答案】【解答】解：，，，由，，得，．，．7.某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间，内的最少 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456【答案】【解答】解：频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，，即样本中区间，内的数据频率最小，频数也最小，故错误；由频率分布直方图得，前三个小矩形的面积之和为：，估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故错误；由频率分布直方图得该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为：，故正确；由频率分布布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为：，估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465，故错误．故选：．8．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为． ． ． ．【答案】【解答】解：如图：设尖塔高为，则由题意可得，，，作，为垂足，则为所求．，求得．，求得．，，求得．再根据，可得，，即，故选：．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有．样本，，，的极差 ．样本，，，的中位数 ．样本，，，的标准差 ．样本的方差【答案】【解答】解：中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选：．10.设为复数，且，下列命题中正确的是（）．若，则．若为纯虚数，则为实数 ．若，则的实部与的虚部互为相反数．若，则复平面内对应点不可能在同一象限【答案】【解答】若满足，但，故错误若为纯虚数，则不一定是实数，故错误11.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为【答案】【解答】解：甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，对于，2个球颜色相同的概率为，故正确；对于，2个球不都是红球的概率为，故错误；对于，至少有1个红球的概率为，故正确；对于，2个球中恰有1个红球的概率为，故正确．故选：．12.已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为【答案】【解答】解：连接，，，，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，与平行，不能构成一组基底，错误；，，，，，正确；，，，在向量上的投影向量的模长为，正确；取的中点，则，，，，两式相减得：，当点与点或重合时，最大，最大值为，的最大值为，正确．故选：．三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为________【解答】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，第分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5故选：514.若复数满足，则在复平面内对应点所围成的区域面积为．【解答】解：因为，所以，故答案为：．15.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．【解答】解：甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，至少有一个红球的概率为：．故答案为：．16.甲、乙两支田径队队员的体重（单位：信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为_______参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为，【解答】解：根据题意，甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员的体重的平均数，方差，平均数为66，方差为287四．解答题（共6小题，共70分）17．（每小题各5分）（1）已知，，且，求；（2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值．【解答】解：（1）：由且，得，所以．（2）由于是方程一根，则即：，所以，，解得，，．18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，可得，即，可得，由，可得．（Ⅱ）因为，由正弦定理有：，可得，又由及余弦定理有：，有，有，可得：，又因为的面积为，可得，所以解得，，由余弦定理可得，可得，可得的周长．19.在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点.（1）用表示；（2）设，.①求证；②求的最小值．【解答】解：（1）由，，三点共线可得存在实数，使得，同理由，，三点共线可得存在实数，使得，，解得：，（2）①设，，可得：，即：，②，即的最小值为．故答案为：．20.甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．（1）求甲获胜的概率．（2）现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜．请问：这个规则公平吗，为什么？【解答】解：（Ⅰ）两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果有36种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中事件“甲获胜”包含的结果有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，．所以甲获胜的概率为（Ⅱ）两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果有25种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中卡片上的数字之和为偶数的结果有13种，分别为：，，，，，，，，，，，，．根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平．21.某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数的值精