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第四章平面问题的极坐标解答4—1极坐标中的平衡微分方程4—2极坐标中的几何方程和物理方程4—3极坐标中的应力函数与相容方程4—4应力分量的坐标变换式4—5轴对称应力和相应的位移4—9半平面体在边界上受集中力4—10半平面体在边界上受分布力4—6圆环或圆筒受均布压力4—8圆孔的孔边、应力集中4—4应力分量的坐标变换式直角坐标下的应力分量x、y、xy和极坐标下的应力分量r、、r可以通过坐标变换相互求得，这种表示两个坐标系中应力分量的关系式，称为坐标变换式已知x、y、xy，如何求r、、r？从物体取小三角板A，如图所示，其厚度为1ab沿y方向，ac沿x方向，bc沿方向，长度为ds，各边应力分量如图所示xxyyyxrrAxyoacbab=ds·cosac=ds·sin建立平衡方程：同理，由平衡方程：为求，另取微单元B，各面上的应力分量如图所示，板厚为1xBxyoyyxxyr由平衡方程：应力分量由直角坐标向极坐标的坐标坐标变换式：反之，应力分量由极坐标向直角坐标的坐标坐标变换式：同学们可以自行推导4—5轴对称应力和相应的位移一、轴对称问题的应力分量应力状态对称与过z轴的任意平面，也就是绕z轴是对称的，所以，应力分量也是轴对称的，也即，应力分量只是r的函数，不随而变化用逆解法：设应力函数为=（r）相应的应力分量为：将应力函数代入相容方程得：四阶常系数齐次微分方程此方程得通解为：其中，A、B、C、D是待定常数相应得应力分量由此可以看出，应力分量只是r得函数，不随而变化，且只有正应力，无剪应力一、轴对称问题的应变和位移1、应变分量2、位移分量由此可见，应变分量也只是r的函数，与无关，即应变绕z轴对称积分得：由此求得：将ur、u代入下式由此得：整理后得：此式左边是r的函数，右边是的函数，要使左边与右边保持相等，只可能等于同一常数F，即（1）（2）由（1）式求得：由（2）式求得：将以上各式代入位移分量得表达式，可得轴对称应力状态下得位移分量：上式中H、F、I、K是待定常数上式中A、B、C、H、F、I、K是待定常数，且H、I、K 为刚体位移，为什么？将上述变形公式中的
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