北京通州区第一实验中学2022年高二数学理月考试卷含解析

北京通州区第一实验中学2022年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒参考答案：C

考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）解答：解：s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．故答案为C点评：考查求导法则及导数意义2.曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线平行于直线4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，然后设切点为（a，b），根据在P点处的切线平行于直线y=4x﹣1建立等式，解之即可求出a，得到切点坐标．【解答】解：曲线y=x3+x﹣2求导可得y′=3x2+1设切点为（a，b）则3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1切点为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线平行的应用，属于中档题．3.已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（）A．1 B． C．2 D．4参考答案：D【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆心坐标为（1，2），半径R=3，圆心到直线的距离d==，则|AB|=2=2==4，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，利用弦长公式是解决本题的关键．5.已知函数处取得极值10，则a=（

）A.4或－3 B.－4或3 C.－3 D.4参考答案：D【分析】根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可.【详解】函数在处取得极值10，所以，且，解得或，当时，，根据极值的定义知道，此时函数无极值；当时，，令得或，符合题意；所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.

6.在中，不可能（

）A．大于

B．小于

C．等于

D．大于或小于参考答案：C7.已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为 ()A.－3

B.2

C.－3或2

D.参考答案：B略8.以下结论正确的是A．一个程序的算法步骤是可逆的

B．一个算法是可以无止境地运算下去的C．完成一件事情的算法有且只有一种

D．设计算法要本着简单方便的原则参考答案：B略9.设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．10.若满足,则直线过定点 (

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的左支上，则.参考答案：12.已知是两条异面直线，，那么与的位置关系____________________.参考答案：13.已知直线与平行，则的值为

.参考答案：3或514.已知，右图给出了一个算法流程图。若输入

，，，则输出的=

（填数值）参考答案：15.已知数列{an}的首项a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则数列{an}的通项公式为．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=3Sn﹣1，两式想减整理得an+1=4an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．【解答】解：当n≥2时，an=3Sn﹣1，∴an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an，即an+1=4an，∴数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4∴an=3?4n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{an}的通项公式为故答案为：16.△ABC的三个内角为A、B、C，且2C–B=180°，又△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为

。参考答案：17.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为

．参考答案：9【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是首项为1公差为正的等差数列，数列是首项为1的等比数列，设()，且数列的前三项依次为1，4，12。(1)求数列,的通项公式；(2)若等差数列的前n项和为，求数列的和。参考答案：（1）设数列公差为d，的公比为q，则由题意知,,,

………

6分(2)等差数列的前项和为=+(n-1),所以数列是以首项为，公差为的等差数列，所以其和

………

12分19.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出切线方程以及切点坐标，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当a=1时，．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．…（2）解法1

设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，=，所以x2=1，y2=e，于是，由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以﹣ax1，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，所以x1=e，所以=0．综上可知：a=0或．…解法2

设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，=，所以x2=1，y2=e，于是，由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），所以，所以，消去x1得ea﹣ae﹣1=0．令p（a）=ea﹣ae﹣1，则p′（a）=ea﹣e，p（a）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当a∈（﹣∞，1）时，因为p（0）=0，所以a=0．当a∈（1，+∞）时，因为p（1）=﹣1＜0，p（2）=e2﹣2e﹣1＞0，所以1＜a＜2，而，，所以，综上可知：a=0或．…20.某中学高三(1)班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．

(1)求课外兴趣小组中男、女同学的人数；

(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出甲、乙两名同学做某项实验，实验结束后，甲同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，乙同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．参考答案：略21.设函数（），．(1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(3)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）因为，所以，令得：，此时，则点到直线的距离为，即，解之得．(2)解法一不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，

等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，

令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a2＜0（a＞0），

所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），

则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h（-2）＞0，h（-3）≤0，解之得．解法二不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，

等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，即a＞1，

∴（1-a2）x2-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，

所以

，又因为

0＜＜1，

所以

?3≤＜?2，解之得．

（3）设，则．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点．设与存在“分界线”，方程为，由，对x∈R恒成立，

则在x∈R恒成立．

所以成立，因此k=．

下面证明恒成立．

设，则．

所以当

时，G′（x）＞0；当

x＞

时，G′（x）＜0．

因此x=

时，G（x）取得最大值0，则成立．

故所求“分界线”方程为：．略22.如图5所示，在四棱锥中，平面，，，