北京师范大学密云实验中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

北京师范大学密云实验中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中①应为

A．

B．

C．

D．(输出应加上S)参考答案：B2.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣参考答案：A考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．解答：解：如图正方形的边长为4：图中白色区域是以AB为直径的半圆当P落在半圆内时，∠APB＞90°；当P落在半圆上时，∠APB=90°；当P落在半圆外时，∠APB＜90°；故使∠AMB＞90°的概率P===．故选：A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．3.函数的图像可能是（

）参考答案：C4.已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选D．5.下列函数中与图像完全相同的是A. B. C. D.参考答案：D6.设复数z=（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接化简复数为a+bi的形式，即可确定复数在复平面内对应的点所在象限．【解答】解：因为==，复数z在复平面内对应的点为（），所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选D．7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】空间几何体的三视图和直观图.G2

解析：该几何体体积=(44)4-(24)4=【思路点拨】这个题不难，关键在于画出立体图形，是一个横着的三棱柱从上面截去一个三棱锥（底在左边，顶点在右边）。8.复数=（）A．i B．﹣i C．4+3i D．4﹣3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：复数===i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．9.已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且未等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知全集，集合，，则=

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为

．参考答案：12.设，则m与n的大小关系为

。参考答案：m>n略13.已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，再由面面平行的判定定理判断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论．【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α又∵n⊥β，∴α⊥β；故正确．②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m与n相交才平行，故不正确．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确．故答案为：①④【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．14.在△ABC中，，AB=1，BC=2，点D为BC的中点，则

．参考答案：1

15.（几何证明选讲选做题）如图4，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，，则

．参考答案：16.若曲线表示双曲线，则的取值范围是

。参考答案：17.已知函数为的导函数，则的值为__________.参考答案：3试题分析：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.参考答案：(1)根据题意，又，可解得(2)设利润为元，则故时，元．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点，且矩形的面积小于150平方米．（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．

参考答案：解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，∴，即，……3分故，

………5分由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为．

…………………8分（2）令，则由，可得，故

…………10分，

…………12分当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）…………14分

略20.（本小题满分12分）2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会.黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.（Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列；（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”.请问：他说的是真的吗？

参考答案：解：(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A;

∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 ……………3分（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. ………………4分

；； ……8分随机变量X的分布列为. X0123P

…………………9分

（Ⅲ）

所以

所以杨老汉说的是真的。 …………………12分

21.已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，一元二次不等式的解法，属于中档题．22.已知向量，记．（1）若，求的值；（2）在锐角△