材材料力学Ⅱ电子教案二

第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法1第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。2若利用外力功在数值上等于应变能，即利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。3(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3－2应变能·余能4

(b)扭转第三章能量方法5(c)弯曲第三章能量方法纯弯曲

横力弯曲6可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章能量方法72.构件上有一组广义力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,则（）（）第三章能量方法

例CwCFEIABMel/2l/2qA,8

Fi

为广义力，Di

为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。

3.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)

—只产生弯曲转角第三章能量方法小变形时不计FS产生的应变能，FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时9对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为第三章能量方法10(a)

由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。第三章能量方法4.应变能的特点:EAF2F1ab例F1F2Me11(b)

应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me

同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。第三章能量方法上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12第三章能量方法先加F,再加Me

(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。第三章能量方法14因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴向拉伸与压缩第三章能量方法(2)非线性弹性体应变能为（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s－e曲线和e轴之间的面积）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应变能密度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为

切应变。第三章能量方法注意：2.扭转应变能16式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V

为体积。第三章能量方法3.梁应变能17

例3－3原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载作用下的应变能。两杆的弹性模量均为,横截面面积均为。解：首先分析力F

和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN

，两杆的伸长量和A点的位移分别为（1）第三章能量方法(a)18将（1）式代入上式得由结点A的平衡方程，得(2)为小角度，(4)第三章能量方法(3)由于所以19将（5）式代入（2）式，得或写成（7）F

和D的关系如图b所示。（5）第三章能量方法（6）将（4）式代入（3）式，得20

（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。第三轮章正能谊量方称法杆的珍应变惕能为注意21Ⅱ.余能第三隐章朋能旷量方授法图a为非线章性体弹药性体的羡受拉杆娃，其F－D和s－e关系如做图b,c所示。（1）余功的谦定义为（3－6）

22第三者章夜能工量方异法其大小凳为曲面OF1a的面宴积如淋图d所示客。Wc和外力晒功W具有相止同的量熄纲，且Wc为矩形OF1aD1的面腿积与莲曲面OaD1的面客积（W）之差（霜图d）,故称Wc为余功吊。Wc只有几斯何图形荷上的意草义，无障物理概涂念，即必没有什绒么力作坦的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)23余能密度为（3－8）(3－7)和（3－8）式猫，分接别以F和s为自变企量，D=昂f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)为受力池状态的蔬函数。第三章马能膛量方法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）线计弹性星体（恶图e）Ve和Vc数值相畏等，但路概念和币计算方侮法不同班，即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能为（3－7）（2）余能（3－9）余能为24例3－5图a中两幻玉杆的庄长度粮均为l,横截萄面面蔑积均五为A。材料艳在单胆轴拉直伸时芬的s－e关系如领图b所示屡。求区结构烫的余姐能。解：该题忆为物汤理非店线性著问题俭，需复用合求Vc。第三有章乓能撕量方胃法由结点C的平荒衡方肥程，山得二倡杆的魄轴力暮为应力躁为25余能哪密度筋为结构蜜的余隶能为得第三章库能室量方法（n>1）由26图示驻梁的烤材料德为非享线性旋弹性竞体，Fi为广静义力袍，Di为广瘦义位尤移。步各力染同时弹作用寨在梁族上，君并按绒同一抄比例版由零免逐渐惩增加热到最躲终值矩（简拍单加窗载）良。Ⅰ.卡氏萄第一价定理（3－10）第三逐章阔能肝量方土法设各讽力和凶相应趣位移后的瞬慌时值盗分别平为fi,di，各力嘱在其畜相应桃的位移上近做功,并注意去到材料刊为非线短性弹性址体，梁射的应变乔能为§3－3卡氏蒸定理为位父移状纱态函赶数。27假设与恶第i个荷载Fi相应的恰位移Di有一微武小位移茅增量dDi，而与其蜻余荷载橡相应的引位移,以及各丹荷载均址保持不季变。外出力功和扔应变箩能的增谋量分别悉为（dDi不是耐由Fi产生的月，FidDi为常力哗做的功）（a）第三章畅能拌量方法(b)式中，为应变能对位移的变化率。28（3－11）式为卡氏第淡一定理。它洗说明炒，弹性旅结构念的应光变能民，对于结构誓上与某差一荷载敞相应的勺位移之狼变化率闯，等于搁该荷载纲的值。以源上推煮导中热并没铲有涉亚及到例梁的衫具体朝性质滥，故抗（3－11）适摇用于挖一切受唇力状伐态的镜弹性攻体。座对于烘线弹绍性体糖也必糠须把Ve写成盏给定且位移毙的函筹数形矛式。第三章充能迹量方法（3－11）得令29第三米章寄能殿量方营法例3－8图a所示结恩构中，AB,译BC杆中伶的横飞截面驻面积祝均为A，弹性模工量均为E。两杆瓜处于诱线弹因性范双围内刘。试黄用卡氏第僻一定理，求B点的雕水平家位移D1和铅躁垂位把移D2。30解：卡氏第此一定理毫要求把彻应变能罗写成位壶移D1和D2的函数蛇，D1和D2是由AB,污BC杆的变顽形量dAB,dBC所引宵起的牵。首闯先分蹄析dAB,dBC和D1和D2的几赛何关森系。dAB=D1，dBC=A1co激s4亦5˚=设B点只氧发生笛铅垂驱位移D2（图c），由图糕可见第三距章补能沙量方健法设B点只帆发生腥水平蔑位移D1（图b），由图给可见31D1和D2同时发测生时，讨则有,（1）,由于是脊线弹性缺问题，步结构的庸应变能腹为（2）第三章侵能锯量方法32（3）（4）联立支求解馅（3）,（4），得可以英验证（3）,（4）式相蜂当于其平衡奖方程恭。（→）,（↓）第三塑章涂能磨量方毕法由卡氏技第一定限理，得33Ⅱ.卡氏第退二定理图示为止非线性滨弹性杆符，Fi为广义府力，Di为广巨义位循移。曾各力岭按简锋单加思载方也式作锋用在若梁上抹。设座加载驼过程蚁中各悠位移狂和相掀应力袭的瞬窃时值沸分别占为di，fi。梁的余能为（3－12）第三章陷能林量方法表明(1)余能抚定理34令上式版称为余能酬定理。可用组于求解刷非线性派弹性结需构与Fi相应化的位的移。(3－13)得第三章折能纸量方法设第i个力Fi有一吐个增桃量dFi，其余各期力均保恰持不变么，各位改移均不变。余诸功和余吧能的改寻变量分禽别是35例3－9图a中两杆聚的长度繁均为l，横截始面面闪积均腐为A，材料和在单辟轴拉藏伸时英的s－e的关柴系如贿图b所示件。试抬用余能定寻理求结扒点C的铅垂价位移D1。第三章码能插量方法36解：在例3－5中，底已求热出结唇构的听余能绍为由余能茎定理得第三章货能播量方法设BC春,C素D杆的伸任长量为d，容易验旷上式的石，即宣为变形的虹几何关慈系。37由平衡程方程得第三叮章重能扩量方卵法两杆谁的伸舒长量透为则BC膊,C猾D杆横截住面上的棕的应力是为故38(2)卡氏第货一定理洲和余能闭定理的云比较

卡氏第一定理

余能定理第三浆章万能事量方魂法Di→Di+dDi，其它截位移苏均不役变，发所有裁的力萍均不掠变。Fi→Fi+dFi，其它苦力均甜不变今，所品有的齐位移松均不涌变。39

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)第三章登能律量方法（变形饮的几何拘关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体40(3废)卡氏粘第二海定理当结构多为线弹营性体时诸，由于薪力F和位懂移D成正比惊，Vc在数值价上等于葛应变能Ve（如图）惩。若把弓用军力表示宴，即（3－13）式可咬改写械成（3－14）上式称段为卡氏第叙二定理工，它是宣余能必定理段在线星弹性截情况遵下的哑特殊例情况镰。仅浮适用径于线欲弹性竟体，色它将凉是研抓究的榨重点穷。第三也章妥能驾量方迹法VcF1FD

D1

a(e)O41它表递明，线弹熟性结灿构的讯应变嘉能，姥对于陵作用早其上途的某傻一荷峡载的弊变化边率，倦等于慨与该荷损载相价应的身位移辞。注意:组合砍变形例（不劣计剪撤力的份影响腥）时也可以贫写成用该短式计粒算时想，可仁减少元计算月工作块量。第三章枝能图量方法42例3－10图示梁茎的材料翻为线弹议性体，滋弯曲刚续度为EI，不计剪力籍对位移拜的影响。逝试用卡氏座第二月定理求梁A端的挠鸽度wA。解：因为A截面处送无与wA相应的半集中力哥，不能张直接利灶用卡氏酷第二定夏理，可失在A截面轧上虚静加一置个与wA相应延的集掠中力F，利用醋卡氏拒第二静定理于后，闹令F=0,即第三章焦能兵量方法43梁的弯砖矩方程赠以及对F的偏导岂数分别给为利用卡垮氏第二土定理，食得（和假催设的F的指向肠一致）这种临虚加F力的烤方法舒，也谊称为兰附加变力法炒。(↓)第三章真能混量方法这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。44例3－11图a所示梁的材佣料为线振弹性体深，弯曲态刚度为EI。用卡氏第澡二定理求中间滥铰B两侧截厚面的相狐对转角风。唱不计国剪力对素位移的称影响。第三未章尤能酿量方盟法45在中拖间铰B两侧截泥面处各陷加一个摸外力偶眨矩MB，并求泪出垫在一悉对外泉力偶MB及q共同作野用下梁忽的支反转力（图b）。第三章晴能迎量方法解：B截面两故侧的相坊对转角毁，就是导与一对怕外力偶MB相应的蓬相对角戴位位移，饰即46（0<x≤l）梁的弯免矩方程笔及其对MB的偏导妖数分别眉为第三章阀能刚量方法AB段47中间铰B两侧截面的相对转角为结果穿为正系，表开示广岂义位很移的忆转向齿和MB的转向饼一致。(涌)第三章父能偶量方法（0≤x≤

l），BC段48第三章境能驰量方法例3－12图a所示筋为一充等截恒面开译口圆鼓环，海弯曲恶刚度品为EI，材料逆为线崇弹性驼。用卡氏第虏二定理求圆环略开口处傲的张开躬量D。不计底剪力和巧轴力的凭影响。49圆环蔑开口充处的助张量惑就是贡和两锡个F力相对盲应的相终对线位山移，即（←→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为第三章隶能烧量方法解：，50结果为贺正，表搁示广义刃位移方报向和广卡义力的龟指向一柿致。第三章良能欺量方法（）←→利用对兴称性，这由卡氏踏第二定表理，得51例3－13图a所示Z字型平千面刚架云中，各射杆的弯迅曲刚度肆均为EI，材料为宝线弹性少，不计魂剪力和典轴力对新位移的武影响。穗用卡氏第二定花理求A截面的屠水平位仿移DAx及铅垂馆位移DAy和A截面的汽转角qA。第三华章个能毒量方棍法52解：在A截面线处虚用加Fx，MA（图b），闪则第三章蚀能抱量方法各段的胆弯矩方丘程及其丝式对各力际的偏导雨数分别禁为M(x)=穿-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段53第三哲章单能斯量方您法B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面条简化言，得步到作锅用于B的竖直向力F和力偶蓝矩3Fa，Fx和F在垂延直于BC杆方向傻上的力愿分别为Fxsi愤nq，Fcosq，指向如冻图c中虚线降所示。54第三芹章咳能绳量方天法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－Fx－MA(0≤x≤3a)第三那章陆能遭量方之法CD段，，由卡秘氏第悟二定污理可拳得（←）56（↓）第三伶章就能愉量方血法（）57

例

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：第三境章顺能睬量方楚法w11FF2w2证明：设作包用在1,买2两截面陵的外力杰分别为F1和F2，且F1=F,F2＝F，则梁选的应饱变能汉为Ve=Ve(F1,F2)。根据庸复合鸟函数叼求导圆法则汪，有58第三塌章乱能酸量方灵法因此匹，若眼结构坟上有绿几个股外力糟的字日符相齿同时果，在企利用初卡氏耽第二览定理薯求其坝中某等一力拆的作颗用点绝沿该豆力方宰向的今位移财时，晓应将事该力烈与其边它力触区分潮开。w11FF2w259例图示愿刚架稍各杆拣的弯谣曲刚恶度均泳为EI，不计晶剪力评和轴像力对偿位移找的影吉响。赤试用卡氏第志二定理求A截面的茅铅垂位谊移DAy。解：由于链刚架移上A,洒C截面烈的外嘴力均熊为F，求A截面的霜铅垂位清移时，未应将A处的力F和C处的泛力F区别误开（淹图b），踏在应云用卡氏第聚二定复理后脆，令FA=F。第三章财能享量方法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段载的弯纵矩方藏程及齿其对FA的偏柜导数喉分别腊为第三腐章漂能笋量方概法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以鼓上各热弯矩聋方程赴中的FA=F，由卡氏缘瑞第二定需理得（↓）第三奸章蛮能热量方刃法62例图示仙各杆彻的直冶径均妖为d，材料的售弹性常俩数G=0.4E。试用卡氏勾第二渠定理求A端的铅盘垂位移断（不计吐剪力对输位移的晒影响）抛。解：AB段的弯阀矩方程晃及其对F的偏导贴数分别秃为lCBAFlxxzyO第三胡章飞能犬量方染法（0≤x≤l），63（0≤y裕≤肺l）A端的铅没垂位移替为第三商章急能舟量方尺法，，（↓）BC段的怀弯矩贞和扭伯矩方润程及赚其对F的偏睛导数竖分别驴为64Ⅰ.卡氏巧第一坡定理警（代）例各杆的逆弹性模抽量均为E，横截蒙面面胖积均项为A。试用卡氏育第一棉定理求各杆道的轴力变。第三访章孩能仁量方铜法§3－4用能量倒法解超贪静定系统65(2)解：设1,抬2,剃3杆的够轴力绒分别筹为,和（图b），相应幕的位傲移为D1,D2和D3（图c）。由对称冲性可知鞋，直，D1＝D2。由图c可知眠：第三椅章净能思量方味法结构糕的应恩变能便为(1)若求妖出D3，可由（1）求伙出D1（D2）。再由尽胡克邀定律哥求出元轴力民。以D3为基本流未知量塔，该题对为一次撤超静定耳。66解得由胡白克定纵律得将（4）式代裕入（1）得(4)第三章勇能膨量方法(3芹)得由，67以位移朵作为基艰本未知慢量求解垦超静定帅问题的烘方法，肝称为位硬移法。（1）式为变织形的几仔何方程沉，（3）式为党平衡袋方程河。求督轴力掀时又抬应用袭了物话理方伴程。故位移换法仍然上是综合举考虑了躁平衡方阶程,几何牛关系喂和物烛理方饮程来逗求解挖超静摧定问永题的煌。第三章膏能浑量方法68解：若以各废杆的轴僚力为未呢知量，漆该题为贴（k-2）次超静约定问题女。若以A点的冠水平奖位移Dx和铅垂剪位移Dy为未纳知量琴，各箱杆的罗位移拘均可落用Dx,Dy表示，旺再由胡璃克定律壶求出轴狗力，该扯题为二纳次超静届定问题屑。第三饮章叙能氏量方见法例3－18图a中k≥3。各杆杯的弹环性模筑量均旨为E，横截拍面面博积分逝别为A1,A2…，Ak。试用卡氏第扯一定理求各杆蛮的轴力叶。69第i根杆的猛长度为（1）由图b可知，仪第i根杆厦的伸面长量趁为（2）结构贿的应广变能返为（3）第三章略能渣量方法70由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根杆得轴力第三章浆能猾量方法（4）71Ⅱ.余能定理（）例3－15三杆的医材料相外同，s=Ke1/n(n>1)，横截面遥面积均阴为A，1,辣2两杆长度恐为l。用余能定聋理求各掀杆的造轴力键。第三章散能报量方法72第三章牲能城量方法解：以铰耕链D的支反丝式力X为多雷余未岗知力沫，基凑本静湿定系振如图b所示，F,振X看作啄基本需静定绩系上垫独立翠的外熔力，所以Vc=Vc(F,肉X)（不能含凑有其它备未知力串）因为池铰链D处沿匠铅垂惠方向可的位获移为该零，夏应有由该毁式求讨出X后，胶再利阶用平客衡方行程求窃各杆博的轴足力。73(1)（轴力属均用F和X表示颜）第三检章男能调量方昏法由平朝衡方犁程得耻各杆与的轴袄力分颂别为各杆兴的应宁力分戴别为(2皱)(3替)由得74第三章依能钞量方法结构的屡余能为(4)三杆的骆余能密灶度分别肉为75（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代阻入（1），得第三章急能布量方法以力为距基本未炊知量解茫超静定适问题的萍方法，盯称为力亏法。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第三章汇能筹量方法77例刚架各侄杆的弯名曲刚度监均为EI，不计剪撑力和轴贺力对位睬移的影枪响，用卡氏狼第二写定理求支反召力。第三壳章周能纷量方叛法CABqll(a)78解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于,但是在中，出现(Ve

也将出现)，必须把第三扫章逐能尺量方材法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得79CB,刑AB段的哗弯矩窜方程棍及其奏对X的偏导母数分别涨为，第三章艳能仿量方法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）第三责章买能臭量方忙法由平衡泥条件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－17半圆昆环的狱弯曲寇刚度眯为EI，不计堆剪力耕和轴学力对腾位移今的影嘴响，守用卡氏第骨二定理求对秧称截旧面上全的内款力。第三拥章灶能累量方涌法82解：沿半汗圆环议的对仰称截粗面处吸截开拜，取铅两个1/4圆环为槽基本静盼定系（量图b)，多余怜未知棉力为柱轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题伟为三精次超砖静定朱。第三走章吵能绑量方者法(a艺)但由供于结扩构与考荷载傻均是菜对称短的，珠内力寨也应让该是著对称破的，陪但X3是反艰对称反的，兽故X3＝0，问题简市化为二黑次超静患定。半侍圆环的应诵变能象只能耀为F，X1，X2的函数俱，即83与X1，X2相应腐的位嘉移条倚件分劳别为呈两截股面的党相对膛线位元移和耽相对壳角位爹移为涂零，羡即(b尺)弯矩方脏程及其贫对X1，X2的偏类导数居分别从为第三僵章乏能姥量方烛法(c)84注意到闸基本静穴定系为择两个1/压4圆环乱，(b)式成为(d)第三章膨能其量方法(e)将(c背)式代泉入(d)和(e触)式，惯可解遵得85Ⅰ.虚位功移原饼理第三章事能猜量方法（1）刚质体虚位俯移——满足虽约束鼓条件疲的假增想的锁任意龄微小挖位移滴。虚位请移原桐理——作用狱于刚荐体上谜的力牛对于诸任何他虚位邮移所急作的总功等己于零（前平衡的尾必要和摧充分条稀件）。§3－5虚位移猜原理及鸣单位力给法86第三届章吴能叔量方掘法（2）可棕变形殊固体满足类约束活条件符和变猎形连闸续条尺件的夕假想魄的任签意微小院位移争。——外力作刊用下，许物体产扛生变形嫌的同时蒜产生内镇力虚位甲移——虚位移愚原理——外力和请内力对敏于虚位灿移所作美的总虚竞功等于止零（平唱衡的充漂要条件户），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0

（3－15）871.梁的虚遍位移原流理第三秒章崇能役量方检法图a所示题的位包移为他由荷升载产柜生的廊实际稻位移辉，简才称实帜位移昨。荷木载对移于其角相应池位移受上所俱作的珍功为酬实功鱼。图b所示遭的位淡移为奇梁的虚位典移，详它是谅满足段约束事条件固和变满形连虾续条驱件的退假想馅的任胆意微婆小位贤移，与梁绒上的校荷载瘦及其纯内力今完全迷无关共。(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy88第三章旷能银量方法梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力对薪于虚位某移所作皂的总虚咬功为(a)(a)外力虚锤功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b末)内力虚含功取梁于的dx微段进坡行分析尚。图c为微段惊的原始嘉位置，撕其上面慌各力均简由荷载级产生，亦它们为僻梁的内烦力，也富是微段爬的外力谈。89由于敢梁的绳虚位渔移，闭使微竖段位押移至四图d所示位猾置。觉微段今的虚牧位移秃可分思为两痛部分壤：第三昌章魄能条量方偿法一为刚这性体位高移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy90第三章夏能菜量方法二为贤变形通虚位演移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy91(b)第三他章谁能熊量方址法

M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于世变形码虚位抚移（假图e,抖f），所做伞的虚贝功为92(b)式为微喜段的外被力虚功dWe，设微太段的铃内力潮虚功屈为dWi。由变形谣固体的款虚位移忌原理(3-1鲜5)，即

(c)梁的船内力幼虚功销为

(d)将(a)应,(道d)式代躬入（3－15）式，得拼梁的虚位移躺原理表丽达式为第三就章恶能费量方纷法得即(3-16)93组合梅变形咏时，洽杆横企截面跟上的葱内力作一般盒有弯敬矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力踩相应的悠虚变形跟位移为炼沿轴力锈方向的考线位移dd，与扭矩播相应的贱虚变形而位移为常扭转角dj。仿森照梁诞的虚齐位移威原理倒，可浆得组郊合变刻形时纠的虚别位移覆原理宝表达担式为(3-17)第三章信能复量方法2.组合升变形费的虚男位移枯原理由于以辫上分析参中没有招涉及材全料的物咳理性质却，所以(3-平17)式适用锐于弹性厉体和非装弹性体恐问题。秩式中Fi为广义陶力，M,想FS,吩FN,砖T是由查荷载春产生荣的内全力，卵为广谋义虚砌位移挨，dq,dl,dd,为微段辛的变形俩虚位移许。94Ⅱ.单位慨力法(1)因为由贷荷载引再起的位神移，满族足约束丛条件和佛变形连贸续条件弹，且为筝微小位刃移，满奶足可变衡形固体顶的虚位懒移条件晃。因此他，可以姻把由荷承载引起仰的实际怖位移D，作为对虚位移保。由荷妻载引起粱的微段脑的变形辨位移dq,dl,dd,dj作为蚀变形染虚位雕移。织即以实际贯位移作在为虚位歇移。(2)

若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。第三古章陵能松量方声法95（3）单位力钓所做的杜外力虚侨功为We=1·D单位词力法张的虚窜位移弄原理洲表达疯式为(3-18)该式尖同样痛适用极于弹瞧性体松和非摇弹性变体问崇题。第三章境能荐量方法杆件焰的内佣力虚挨功为96(3-19)于是(3-1察8)成为(3-20)式中为由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。