概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案

习题一

5.设48为随机事件，且尸(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(A5).

【解】PCAB)=\-P(AB)=l-[P(/)-P(4-8)]

=l-[0.7-0.3]=0.6

6.设Z,B,C为三事件，且尸(A)=P(8)=1/4,P(C)=1/3且P(4B)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求4,B,C至少有一事件发生的概率.

【解】P(ZUBUC)=P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

9.对一个五人学习小组考虑生II问题：

(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;

(3)求五个人的生日不都在星期II的概率.

【解】(1)设小=｛五个人的生日都在星期日｝,基本事件总数为75,有利事件仅1个，故

P(小)=[=(-)5(亦可用独立性求解，下同)

757

(2)设色=｛五个人生日都不在星期日｝,有利事件数为6$,故

P⑷=.=§)5

（3）设出=｛五个人的生日不都在星期日｝

P（小）=1-P（4）=1-（；）S

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.

【解】设4=｛恰有，个白球｝（i=2,3）,显然生与小互斥.

C：C；=18cl±

P（4）。（4）=

C；35C；35

故尸（4U4）=尸（4）+尸（4）=天

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】设4=｛其中一个为女孩｝,8=｛至少有一个男孩｝,样本点总数为23=8,故

P(AB)6/86

P(即)=-

P(4)7787

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

23.设尸(4)=0.3,P(8)=0.4,P(NB)=0.5,求尸(8I/U8)

P(AB)尸(⑷一尸(/历

【解】P(中U5)=

P(/U8)P(/)+P(8)—P(丽

0.7-0.51

-0.7+0.6-0.5-4

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次

取出的3个球均为新球的概率.

【解】设4=｛第一次取出的3个球中有i个新球｝,=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均为新球｝

由全概率公式，有

3

P(B)=£P(B\A)P(4)

i=0

「30302z~i3「30303

55JL46jWy

—・—十------------'—十-------------・—十—•—

「303「3「3「3「3「3「3=0.089

。15e15~5。15^15^15

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,050.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为02若有两人击中，则飞机被

击落的概率为0.6；若三人都击中，则K机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设/=｛飞机被击落｝,民=｛恰有i人击中飞机｝,z=0,l,2,3

由全概率公式，得

3

P(A)=£P(A\Bi)P(B)

z=0

=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+

(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+04X0.5X0.7

=0.458

习题二

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:

(1)X的分布律；

(2)X的分布函数并作图;

(3)

133

P{X<-},P{1<X<-},P{1<X<-},P{1<X<2}.

【解】

X=0,l,2.

C322

P(X=O)=二*.

C：535

C11

P(X=2)=V=—.

C；35

故X的分布律为

X012

P22121

353535

(2)当x<0时，F(x)=P(XWx)=0

22

当OWxvl0寸，F(x)=P(XWx)=尸竹0尸——

35

34

当lWx<2时，F(x)=P(XWx)=尸(六0)+尸(六1户百

当x22时，F(x)=P(XWx)=1

故X的分布函数

0,x<0

22

—,0<x<l

35

尸(x)=

l<x<2

x>2

⑶

尸心如吗)=||,

P(l<x4)=F(|)-F(l)=|i-|i=0

3312

P(l<X<-)=P(%=l)+P(l<Jf<-)=—

341

P(l<Jf<2)=F(2)-F(l)-P(X=2)=l--=0.

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X表示击中目标的次数.则¥=0,1,2,3.

P(X=0)=(0.2)3=0.008

P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096

P(X=2)=C3(0.8)20.2=0.384

p(X=3)=(0.8)3=0.512

故X的分布律为

X0123

p0.0080.0960.3840.512

分布函数

0,x<0

0.008,0<x<l

F(x)=<0.104,l<x<2

0.488,2<x<3

1,x>3

P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.896

4.(1)设随机变量X的分布律为

尤

P{X=k}=a—,

其中Q0,1,2,4>0为常数，试确定常数a

(2)设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,k=l,2,,,,,N,

试确定常数口

【解】(1)由分布律的性质知

8X】k

1=2P(X=k)=a^—=°，

*=o*=ok!

故Q=e

（2）由分布律的性质知

NNa

1-£1P(X-k)=，­=4

k=\*=1N

即4=1.

9.设事件力在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,

（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1）设X表示5次独立试验中4发生的次数，则长6（5,0.3）

5

P(X23)=ZC“0.3>(0.7)5T=0.16308

*=3

(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y〜b(7,0.3)

7

P(y>3)=ZC(0.3»(0.7)7T=0.35293

k=3

18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.

【解】X~U[2,5],即

2

2<x<5

/*)=3

0,其他

P(X>3)=£|dr=|

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布£《).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,

以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求尸U21}.

【解】依题意知x〜E，)，即其密度函数为

1

-e5,x>0

/(x)=j5

0,x<0

该顾客未等到服务而离开的概率为

人1X

>10)=£-e-?dx=e-2

丫〜仇5,e<),即其分布律为

P(Y=k)=C。仁々)A(l-e-2r十,左=0,1,2,3,4,5

P(y>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.5167

22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X〜N(10.05,0.062)，规定长度在10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.

【解】P(|X_lO.O5|〉0.12)=dXT0O5〉火]

(0.060.06)

=1-0(2)+0(—2)=2[1-0(2)]

=0.0456

26.设随机变量X的密度函数为

（1）fix）=geT叫X>0;

bx,0<x<1,

⑵危尸<3,l〈x<2,

x

0,其他.

试确定常数。力，并求其分布函数尸（x）.

【解】（1）由「/（工）<1¥=1知1=fae~^'dx=2afe'zvdx=一

-e-Ax,x>0

2

即密度函数为〃x)=；

-e2xx<0

[2

当xWO时F(x)=£f(x)dx=£*'dr=-e"

当x>0时F(x)=j'/(x)dx=f

2

故其分布函数

l--e^A,x>0

2

F(x)=

-eZr,x<0

、2

(2)由1=]/(x)dx=[bxdx+

&f22

得6=1

即X的密度函数为

x,0<x<1

/(x)<—7,1«X<2

0,其他

当xWO时F(x)=0

当0<x<l时F(x)=£/(x)dr=j*/(x)dr+_[/(x)dr

当1Wx<2时F(x)-f(x)dx=£Odx+]xdx+]二■dr

_3_J_

2x

当xN2时尸(x)=1

故其分布函数为

[0,x<0

0<x<l

l<x<2

x>2

29.设P{X=k}=（^,A=l,2,…，令

1,当X取偶数时

-1,当X取奇数时.

求随机变量x的函数丫的分布律.

【解】尸（y=l）=P（X=2）+P（X=4）+―-+P（X=2《）+—・

p（y=_l）=l_p（y=l）=g

30.设A-N(0,1).

(1)求丫=『的概率密度；

(2)求r=zr2+i的概率密度;

(3)求y=Ixl的概率密度.

【解】⑴当/0时，400=尸(y”)=0

当户0时，Fy(y)=P(Y<y)=P(ex<y)=P(X<Iny)

=「"(x)dr

此。)八、

1,一11—10〃2八

fy(y)=?=-fx(lny)--em,y>Q

故dyyyV2TI

⑵P(y=2X?+121)=1

当yWl时耳(j，)=尸(Y4j，)=0

当y>［时K(y)=P(y«y)=P(2X2+14y)

⑶尸(yn0)=1

当yWO时6(y)=P(y4y)=0

当y>0时FY(y)=P(\X\<y)=P(-y<X<y)

=fZv(x)dx

故人3)=Fy(y)=A(y)+fx(一y)

dy

=-7==e-//2,j；>0

•x/2兀

习题三

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以y表示取到红球的只数.求X和y的联合分布律.

【解】x和y的联合分布律如表：

000

C；C；=3CC；_2

C4,~35-35

10

C；C；C；_6c；C；C；=12C；C；_2

C：~35C；35C；一35

2P(0黑,2红,2白尸0

CCC；_6C；C；=3

C；35C：35

4.设随机变量(x,r)的分布密度

Ae~(3x+4y)x>0,y>0,

f(x,y)=<

0,其他.

求：(1)常数/；

(2)随机变量(X,Y)的分布函数;

(3)尸｛0*1,0<Y<2].

"COiM-OC'^¥0

【解】(1)由L£/(x,y)dxdy=[[A

12

得4=12

(2)由定义，有

f(u,v)dwdv

尸C")=£X

_£12e-(3w+4v,dz/dv_J(1-e-3x)(l-)y>0,x>0,

='O,=|0,其他

(3)P{0<^<l,0<y<2}

=p{0<x<i,o<r<2}

=f12e-(3x+4>>cLrdy=(1-e-3)(1-e-8)«0.9499.

8.设二维随机变量(X,y)的概率密度为

J4.8X2-X),0<x<l,0<^<x,

/(x,y)=<

•0,其他.

求边缘概率密度.

【解】Zf(x)=「/(x,y)dy

_4.8y(2-x)dy2.4x2(2-x),0<x<1,

=q=[o,其他

43)=r/(xJ)”

f4.8X2-x)dx(2.4y(3—”+/),OWyWl,

=<*y=<

o.1°，其他•

9.设二维随机变量（X,丫）的概率密度为

0<x<y,

f(x，y)="

其他.

求边缘概率密度.

【解】人(x)=[f(x,y)dy

_[e'vdy_e~x,x>0,

一’0：=f°，其他

fY(y)=£,/'U^)dx

=’—=[卢7,y>0,

%.=)0,其他

11.设随机变量（X,Y）的概率密度为

求条件概率密度力ixSI%），&y（xIy）.

题11图

【解】人(幻=「/(x,y)dy

fidy=2x,0<x<1,

=<J-x

0,其他

Ildx=l+y,-l<y<0,

4-y

fv(y)=[：/(x/)&=<[Idr=1-y,o<y<1,

0,其他.

所以

1

\y\<x<l,

二<2xf

用人（X）

0，其他.

1_

9y<x<\,

1--y

(X,y>>1

fX\Yx\y)=^=--y<x<\.

1fMi+£

0,其他.

12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为工

（1）求x与y的联合概率分布；

（2）x与y是否相互独立？

【解】（1）x与y的联合分布律如下表

345

P{X=x,}

16

1_12_2_3__2_

To

c[-10c[-Tocf-To

203

i_i2_2

To

cf-10cf-io

3001

1_1

To

cf-10

136

P{Y=y1}

To1010

(2)因尸{X=l}P{y=3}=9xL=_L*J_=P{X=1y=3}

101010010

故x与y不独立

14.设x和y是两个相互独立的随机变量，x在(0,1)上服从均匀分布，y的概率密度为

『2,y>(),

fy(y)=«

(),其他

(1)求x和y的联合概率密度；

(2)设含有。的二次方程为d+2丹+上0,试求。有实根的概率.

[1.y

【解】⑴因人(x)=Lf解尸人3)==产一〉1，

【'八仙’[o,其他

—Q-y'20<x<1)>0,

故/（羽田，,丫独立〃人）人⑶）=2

q其他.

题14图

（2）方程/+2Mz+y=0有实根的条件是

A=(2X)2-4K>0

故隹匕

从而方程有实根的概率为：

尸｛f2丫｝=JJ7(x/)dxdy

x2>y

=1dx

=1-疡[①⑴-①(0)]

=0.1445.

26.设二维随机变量（X,Y）的概率分布为

一-101

-1a00.2

00.1b0.2

100.1c

其中”,6,c为常数，且X的数学期望项》=-0.2/{七0作0}=0.5,记Z=RY.求:

(1)。,如的值；

(2)Z的概率分布;

(3)P{X=Z}.

解(1)由概率分布的性质知,

a+b+c+0.6=l即q+b+c=0.4.

由E(X)=—0.2,可得

-q+c=~0.1.

p{x<o,r<o}<7+/>+0.1_

再由p{r<o|x<o}----------=0.5,

P{X<0}a+/?+0.5

得Q+6=0.3.

解以上关于b,c的三个方程得

a=0.2,6=0.1,c=0.1.

(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,

P{Z=-2}=P{X=-l,r=-l}=0.2,

P{z=—1}=P{x=—i,y=0}+p{x=o,y=-i}=o.i,

p{z=o}=P{x=-i,r=i}+P{x=o,y=0}+P{x=i,y=-i}=o.3,

p{z=i}=P{x=i,r=o}+P{x=o,y=i}=0.3,

p{z=2}=p{x=i,y=i}=o.i,

即z的概率分布为

Z-2-1012

P0.20.10.30.30.1

(3)P{X=Z}=尸{y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

X-1012

P1/81/21/81/4

求E(X),E(X2)3,E(2R3).

【解】⑴E(X)=(-1)X：+0X:+1X：+2XJ=1;

o2o42

(2)£(^2)=(-l)2x-!-+02xi+l2xl+22xl=-;

82844

(3)E(2X+3)=2E(X)+3=2x；+3=4

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为

X012345

p

c5c1c4小/c5

学=0.583^4^=0.340=0.070=0.0074=0

c5c5

』ooToo『00CooCoo

故£(%)=0.583x0+0.340x1+0.070x2+0.007x3+0x4+0x5

=0.501,

5

/=0

=(0-0.501)2x0.583+(l-0.501)2x0.340+---+(5-0.501)2x0

=0.432.

5.设随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

f(x)=<2—x,1<x<2,

0,其他.

求E(X),D(X).

【解】E(X)=(x2dx+[x(2-x)dr

E(x2)=£Xx2/(x)dx+[x2(2-x)dx=—

Ji6

故D(X)=E(X2)-[E(X)f=

6

=11x8-4x5=68.

7.设随机变量X,丫相互独立，且E(X)=E(7)=3,D(X)=12,D(X)=16,求EC3X-2Y),D(2^-37).

【解】⑴E(3X-2Y)=3E(X)-2E(y)=3x3-2x3=3.

(2)O(2X-3Y)=2?O(X)+(―3>。丫=4x12+9x16=192.

10.设随机变量X,丫的概率密度分别为

_2e-2x,x〉0,4厂>,V>0,

fx(x)fy

0,x<0;y<0.

求(1)E(X+Y);(2)E(2Y-3F1).

v

【解】(X)=「：xfx(x)dx『x2片2，&=[—xe、『「e2dx

E(Y)=匚y.fYO)dy『y4eT'dy=；.

风片)=I"力⑺dkfV4。汨尸1=：

113

从而(i)E(X+y)=E(jr)+E(y)=-+-=-.

,,115

(2)E(2X-3丫2)=2E(X)-3E(K2)=2x--3x-=-

11.设随机变量X的概率密度为

=|CXeTJx>0,

［o,x<0.

求(1)系数c;(2)E(%);(3)DQX).

【解】(1)由1/(X)(1Y=/cxe,k'dr==1得。=2k2.

(2)E(X)=£V(^)d(^)=［"x2k2xe-k2x2dx

(3)E(X，=［：x2/(x)d(x)=2A：2xe"!

故0(冷=颐月)—［E(X)『=5—修］='

15.对随机变量X和匕已知。(X)=2,D(X)=3,Cov(Xy)=-l,

计算：Cov(3X-2N+1,X+4Y-3).

［解］Cov(3X-2y+l,X+4Y-3)=3D(X)+10Cov(X,丫)-8。(丫)

=3x2+10x(—l)-8x3=-28

（因常数与任一随机变量独立，故Cov（X,3）=Cov（y,3）=0,其余类似）.

17.设随机变量(x,y)的分布律为

X-101

-11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

验证x和y是