多维随机变量

教学要求重点难点

第三章多维随机变量其概率分布1．解二维散型随机变的分布及其性质；2．解二维续型随机变的概率度函数及其质；3．解边缘布律、边缘率密度数的概念；4．握求边分布律以及缘概率度函数的方；5．判断随变量的独立；6．解两个机变量的和分布的法。联合分律概率密函数边缘分布律边缘概率密函数，随机变的独立性。边缘分律边缘率密度数两个独随机量和的布。§多随变的念一、二随机变量的布及几表示★知识精讲1.维随机变量分布函数F(,y)P{x,Y}是维随机量(XY)的联合分函数。y2.质：①(x)是或y不减函②0(,y)，F(F(对任意定的y，F()，对任意定的x有(x,。③(x)关于x和关于y右连续即④对任固定的xyy，有

11i11i3.立：若X，Y相互独立，F(x){xY}{x}}★题型归及解题巧例1.

设随机量XY相互独立且P{X≤1}=，P{Y≤}=，23则P{X≤≤}=___________.解：为X，Y相互独，所以P{X≤1,Y≤}=P{X≤1}P{Y≤二二离型机量★知识精讲1.维随机变)的联合分布律：P{X

i

Yy

j

}

p

ij

ij

或

y

…

y

j

…p

p

…

1j

…p

p

…

2j

…

i

i

…

ij

…性质：p0，ij

ij

pij2.布函数：F(x,y)

p

ijxyj3.缘分布：(Y)关于的边缘分布律P{X}iijj

i(,Y)关于Y的边缘分布律P{y}pjiji

4.立(XY)是维离散随机变量X与Y相互独p其中piji与分别为X与Y的边缘布律。★题型归及解题巧例2设二维机变（，）的分律为

i2

3X0

0.200.10

11则

10.300.15______.求离散随机变量概）解：例3.设维随变量（X，Y）的分布律为则（求X

01

Y

0120

离散型机变量概率A.12C.

B.D.

16232

解：Y例4.设维随机量(X，)的分律为(1)求(Y分别关于X的缘分布试问与Y是否相互独为什么（离散随机变量边分布，立性）解：（1关于X

X

Y

02

的边缘分P{0}0.3

布：，00.20.10

0.3

P{关于

10.20.1

0.7

Y

的边缘分布：0.40.2P{Y，{0.4

P{Y0.4

，（2）于YX与Y独立。例5设维随机量X，Y)的分律为X

Y

0100.11ab且与相互独，则下结论正确的（（散型随机变独立性A．，b=0.6B=-0.1，=0.9C．，b=0.4D．，b解：

1,)1,)选C如

图可得缘分布。由维离散随机变独

X

Y

0

1

立性ppiji

可

取

01

0.1a

0.1b

0.2Y0.2)0.4用其他个概率验证例6X，的概率布如下所示，当X与Y相独立时p，)=()X012

-1q（离散随机变量独性）A．,515

)

B．(

1115C．

11015

)

D．

211510

)解：C。方同上题三、二连续型随机量★知识精讲1.二维随机量(XY)的联密度函f(xy)性质：f(xy)②

fx,y)(x,y)③(,y)，Fxy)

fu)dxdy为分布函④P{(Y)}2边缘概率密：

D

f(,)(,)关于X的边缘率密度f(x(x)dy(X,Y)关的边缘概密度为f()

f(x)dx3.立(,Y)是维连续随机变量与相互独f(y)f(x)()，XY

1dydx1dydx其中f(x与f()别为边分布函数。4．维均匀布f(y)

A

,(y)D

，

,其其中D是面上界区域AD的积。5.维正态分布其中0,均常数。1212记为,)~(

1

,2

1

,

2

,

，(,)从二维态分布（X)~N(

1

,2

1

,

2

,

~(

1

1

),YN(

,2

2

)，逆命题成立。（）若(,)服从二维态分布则X与Y相互立。6．随机变X，Y互独立，且N,)，Y(,)，则111★题型归及解题巧例7.设机变量X，Y相互独立，~，~(1,1)，则（）（独立正态分布的性组合≤

12

B.P{X-Y≤

12C.≤1}=

12

D.P{X+Y≤

12解：Ｂ。X，Y相互独立，且X，~则~，~例8.设维随机量(X，)的概密度为(x，)=

0y其他则P{0<X，0<<1}=（（维连续随机变量的率求法A．C．

B．D．

解：X，0<<1}=

00

11144

1111X例9.设维随机量(X，)的概密度为xy)=

12

x其则P{XY≤1}=_________.（二维续型随机变的概率法）解P{XY

dxdy

11202

11)(x)220例10.随机变量X和Y的联密为f(x,y)=

其他

则（二维续型随机变的概率法）解：()y例11.设二随机变（XY的概率度为,y

xy02,0,他

则Y的边概率密为（二维连型随机变量边缘分）解：f(yf(xy)dxy时，

f(y)

0

x2yxydxy0故

,02f(0,其例.设机变量(，Y)的合分布数为Fx，)=

y则0,其,X,)关于的边缘概率密度f(x)=________.（二维续型随机变的边缘布）x解：F(x)F(x,，他例设X,Y)的合概率度为

x,y)

k(xyx2,0,其他,

则k)A．

B.

12C．

D．3

（二维续型随机变概率密的性质）解：

fx,y)dx可得故k

13

.例14.二维随变量，）～（μμ，，则～()A.N（）1

B.N（

,）12C.N（

,）2

D.N（

,）2（二维态分布）解：D。例设随机变量与相独立且N（）,YN（）（）求二维随机变（X）概率度f（x,y;（二维续型随机变独立性（2）（XY）的分布函数为F（y）,求F）.（二维续型随机变的分布数）解1）由正态分布的率密度函数f()

1

(x

,X~N（所以概率度为(x

12

x2

,~N（所以Y概率密度为f(y)

12

(y4

,X与Y独，所以（X,Y）的率密度(xy)f()(y)XY（X与Y独立所以(0,1)P{XP{X四、二随机变量函的分布★知识精讲1.散型：(XY)是维离散随机变量，合分布为P{Xx}ijij

112设Z=g(X则的联合布律为

{}

{XxY}ijij2.续型：(XY)是维连续随机变量，率密度(,y)。的分布函数()dx

f(xy)dy

概率密函数为(z)

fx