数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第32课平面向量的基本定理及坐标运算

第32课平面对量的根本定理及坐标运算【自主学习】第32课平面对量的根本定理及坐标运算(本课时对应同学用书第87~88页)自主学习回归教材1.(必修4P82习题6改编)在△ABC中，点P在BC上，且=2，Q是AC的中点，假设=(4，3)，=(1，5)，那么=.【答案】(6，21)【解析】=3=3(2)=63=(6，30)(12，9)=(6，21).2.(必修4P87习题1改编)向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.3.(必修4P73习题1改编)点A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x2y)，假设a与向量相等，那么xy=.【答案】1【解析】由于=(3，0)，a=，所以解得所以xy=1.4.(必修4P97复习题改编)向量a=(3，4)，向量b∥a，且|b|=1，那么b=.【答案】或【解析】设b=(x，y)，由题意得4x+3y=0，=1，解得或5.(必修4P97复习题10改编)向量a=(3，1)，b=(1，2)，假设(2a+b)⊥(ka+b)，那么实数k=.【答案】【解析】由(2a+b)⊥(ka+b)，得(7，4)·(13k，k2)=0，即7(13k)4(k2)=0，解得k=.1.平面对量的根本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底.2.向量的夹角两个非零向量a与b，记=a，=b，那么∠AOB叫作向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围为[0°，180°].当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°时，那么称向量a与b垂直.3.平面对量的坐标运算(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a+b=(x1+x2，y1+y2)，ab=(x1x2，y1y2)，λa=(λx1，λy1)，那么|a|=.(2)假设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐标为(x2x1，y2y1).(3)两个向量平行的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，那么a∥bx1y2x2y1=0.(4)两个非零向量垂直的充要条件：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=0.【要点导学】要点导学各个击破平面对量根本定理的应用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，=k(k≠1)，设=e1，=e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量，，在此基底下的分解式.【思维引导】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最终利用+++=0，求得.【解答】如图，由于=e2，且=k，(例1)所以=k=ke2.又由于+++=0，所以==++=e2+ke2+e1=e1+(k1)e2.又+++=0，所以==+=+e2=[e1+(k1)e2]+e2e1=e2.【精要点评】应用平行向量的根本定理及向量的多边形加法法那么是解决此题的关键.变式(1)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，假设=2，那么=.(用a和b表示)(变式(1))(2)如图，向量=a，=b，=c，A，B，C三点在一条直线上，且=3，那么c=.(用a，b表示)(变式(2))(3)P为△ABC内一点，且3+4+5=0，延长AP交BC于点D，假设=a，=b，用a，b表示向量，.(1)【答案】a+b【解析】由于=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】a+b【解析】由于=3，所以=3()，所以=+，即c=a+b.(3)【解答】由于==a，==b，又由于3+4+5=0，所以3+4(a)+5(b)=0，化简得=a+b.设=t(t∈R)，那么=ta+tb.①又设=k(k∈R)，由==ba，得=k(ba).而=+=a+，所以=a+k(ba)=(1k)a+kb.②由①②，得解得t=，代入①，有=a+b.平面对量的坐标运算例2点A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).设=a，=b，=c，且=3c，=2b.(1)求3a+b3c；(2)求满意a=mb+nc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量的坐标.【解答】由得a=(5，5)，b=(6，3)，c=(1，8).(1)3a+b3c=3(5，5)+(6，3)3(1，8)=(6，42).(2)由于mb+nc=(6m+n，3m+8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，由于==3c，所以=3c+=(3，24)+(3，4)=(0，20)，所以点M的坐标为(0，20).又由于==2b，所以=2b+=(12，6)+(3，4)=(9，2)，所以点N的坐标为(9，2)，所以=(9，18).【精要点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进行.假设有向线段两端点的坐标，那么应先求出向量的坐标，解题过程中要留意方程思想的运用及正确使用运算法那么.变式(2015·江苏卷)向量a=(2，1)，b=(1，2)，假设ma+nb=(9，8)(m，n∈R)，那么mn的值为.【答案】3【解析】由于ma+nb=(2m+n，m2n)=(9，8)，所以解得故mn=3.【高频考点·题组强化】1.(2015·福建卷)设向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.假设b⊥c，那么实数k的值为.【答案】【解析】c=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，由于b⊥c，所以b·c=1×(1+k)+1×(2+k)=3+2k=0，所以k=.2.(2014·重庆卷)向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a3b)⊥c，那么实数k=.【答案】3【解析】由于2a3b=2(k，3)3(1，4)=(2k3，6)，又(2a3b)⊥c，所以(2k3)×2+(6)=0，解得k=3.3.设向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线?【解答】方法一：假设使得A，B，C三点共线，那么需向量与共线.所以存在实数λ，使得=λ.而==(4k，7)，==(10k，k12).所以(4k，7)=λ(10k，k12)，即解得k=2或k=11.方法二：由于==(4k，7)，==(10k，k12)，假设向量与共线，那么(4k)(k12)=7(10k)，解得k=2或k=11.4.(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，那么实数λ=.【答案】【解析】由于向量λa+b与a+2b平行，所以λa+b=k(a+2b)，那么所以λ=.5.(2015·湖南卷)点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.假设点P的坐标为(2，0)，那么|++|的最大值为.【答案】7【解析】由于A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，知A，C为直径的端点，所以可令A(cosx，sinx)，那么B(cos(x+α)，sin(x+α))，C(cosx，sinx)，0<α<π，那么++=(cos(x+α)6，sin(x+α))，所以|++|==≤7.向量的平行与垂直例3向量a=(m，1)，b=.(1)假设a∥b，求实数m的值；(2)假设a⊥b，求实数m的值；(3)假设a⊥b，且存在非零实数k，t，使得[a+(t23)b]⊥(ka+tb)，求的最小值.【思维引导】围绕平行和垂直进行坐标运算的关键是把握平行和垂直的充要条件.求最小值那么需要通过函数来解决.判定两个向量垂直，只要证明它们的数量积为0即可；由两个向量垂直，可以得到k与t的关系，从而将表示为一个变量的函数，再利用函数学问求解即可.【解答】(1)由于a=(m，1)，b=，且a∥b，所以m×(1)=0，解得m=.(2)由于a=(m，1)，b=，且a⊥b，所以a·b=0，即m+(1)×=0，解得m=.(3)由(2)可知m=，|a|==2，|b|=1，由条件得[a+(t23)b]·(ka+tb)=0，即ka2+(t23)tb2=0，k|a|2+(t23)t|b|2=0，所以k=.故==(t2+4t3)=(t+2)2.所以当t=2时，有最小值.【精要点评】把握向量的数量积，通过转化为t的关系式即可求解.1.点M(3，2)，N(5，1)，假设=，那么点P的坐标为.【答案】【解析】设P(x，y)，那么=(x3，y+2)，=(8，1)，由=，得(x3，y+2)=(8，1)，解得x=1，y=，所以点P的坐标为.2.(2015·镇江期末)向量a=(2x1，1)，b=(2，x+1)，假设a⊥b，那么实数x=.【答案】1【解析】由于a⊥b，所以a·b=0，所以2(2x1)x1=0，解得x=1.3.(2015·南京调研)向量a=(2，1)，b=(0，1).假设(a+λb)⊥a，那么实数λ=.【答案】5【解析】由于(a+λb)⊥a，所以(a+λb)·a=0，即a2+λa·b=0，所以5λ=0，解得λ=5.4.(2015·苏州、无锡、常州、镇江二模)向量a=(1，2)，b=(0，1)，c=(k，2)，假设(a2b)⊥c，那么实数k=.【答案】8【解析】由于a2b=(1，4)，所以(a2b)·c=k8=0，解得k=8.5.向量a=(sinα，2)，b=(1，cosα)，其中α∈.(1)问：向量a，b能平行吗?请说明理由；(2)假设a⊥b，求sinα和cosα的值；(3)在(2)的条件下，假设cosβ=，β∈，求α+β的值.【解答】(1)向量a，b不能平行.假设平行，需sinαcosα+2=0，即sin2α=4，而4[1，1]，所以向量a，b不能平行.(2)由于a⊥b，所以a·b=sinα2cosα=0，即sinα=2cosα.又由于sin2α+cos2α=1，所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α=，所以sin2α=，又由于α∈，所以sinα=，cosα=.(3)由(2)知sinα=，cosα=，cosβ=，β∈，得sinβ=.那么cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=××=.又α+β∈(0，π)，所以α+β=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第63~64页.【检测与评估】第32课平面对量的根本定理及坐标运算一、填空题1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，假设=(2，4)，=(1，3)，那么=.2．假设a+b=(2，8)，ab=(8，6)，那么向量a=，b=.3．向量a=(sinx，cosx)，b=(1，2)，且a∥b，那么tanx=.4．(2016·南京期初)向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，那么实数m的值为.5．点M(3，2)，N(1，2)，a=(x+3，x3y4)，且a与相等，那么实数y的值为.6．向量a=(，1)，b=(0，1)，c=(k，).假设a2b与c共线，那么实数k=.7．(2014·湖北卷)向量a=(3，3)，b=(1，1).假设(a+λb)⊥(aλb)，那么实数λ=.8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设向量p=(a+c，b)，q=(ba，ca)，且p∥q，那么角C=.二、解答题9．平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(1，2)，c=(4，1).(1)假设(a+kc)∥(2ba)，求实数k的值；(2)设向量d=(x，y)满意(dc)∥(a+b)且|dc|=1，求d.10．向量a=(sinθ，cosθ2sinθ)，b=(1，2).(1)假设a∥b，求tanθ的值；(2)假设|a|=|b|，0<θ<π，求θ的值.11．点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t.(1)当t为何值时，点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第三象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?假设能，求出t的值；假设不能，请说明理由.三、选做题12．点A(7，1)，B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于点C，且=2，那么实数a=.13．设G为△ABC的重心，假设△ABC所在平面内一点P满意+2+2=0，那么的值为.【检测与评估答案】第32课平面对量的根本定理及坐标运算1．(3，5)【解析】在平行四边形ABCD中，==()=2=(1，3)2(2，4)=(3，5).2．(3，1)(5，7)3．【解析】a∥b2sinxcosx=0tanx=.4．2【解析】由于a=(1，2)，b=(m，4)，所以2a+b=(m+2，8).由于a∥(2a+b)，所以2(m+2)=8×1，解得m=2．5．【解析】由=(2，0)=a=(x+3，x3y4)，得解得6．1【解析】由于a2b=(，3)，所以由a2b与c共线，得×3k=0，解得k=1．7．±3【解析】由于a+λb=(3+λ，3λ)，aλb=(3λ，3+λ)，(a+λb)⊥(aλb)，所以(3+λ)(3λ)+(3λ)(3+λ)=0，解得λ=±3．8．60°【解析】由于p∥q，那么(a+c)(ca)b(ba)=0，所以a2+b2c2=ab，即=，结合余弦定理知cosC=.又由于0°<C<180°，所以C=60°.9．(1)由于(a+kc)∥(2ba)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2ba=(5，2)，所以2·(3+4k)(5)·(2+k)=0，所以k=.(2)由于dc=(x4，y1)，a+b=