【知识点解析】配套例题-等比数列的前n项和公式

等比数列的前n项和公式例1已知数列{an}是等比数列．（1）若a1＝

，q＝

，求S8；（2）若a1＝27，a9＝

，q＜0，求S8；（3）若a1＝8，q＝

，Sn＝

，求n．对于等比数列的相关量a1，an，d，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？解：（1）因为a1＝

，q＝

，所以等比数列的前n项和公式例1已知数列{an}是等比数列．（1）若a1＝

，q＝

，求S8；（2）若a1＝27，a9＝

，q＜0，求S8；（3）若a1＝8，q＝

，Sn＝

，求n．对于等比数列的相关量a1，an，d，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？解：（2）由a1＝27，a9＝

，可得27×q8＝

，即又由q＜0，得所以q＝

，等比数列的前n项和公式例1已知数列{an}是等比数列．（1）若a1＝

，q＝

，求S8；（2）若a1＝27，a9＝

，q＜0，求S8；（3）若a1＝8，q＝

，Sn＝

，求n．对于等比数列的相关量a1，an，d，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？（3）把a1＝8，q＝

，Sn＝

代入Sn＝

，得整理，得解得n＝5．等比数列的前n项和公式例2已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn．若

，求公比q．整理，得解：若q＝1，则所以q≠1．当q≠1时，由

，得即所以1＋q5＝

，等比数列的前n项和公式例3已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1．Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，当q≠1时，证明：当q＝1时，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，等比数列的前n项和公式例3已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比．所以因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn．想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？等比数列的前n项和公式例4如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．等比数列的前n项和公式例4如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1＝25．由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以设{an}的前n项和为Sn．ak＋1＝

．因此，{an}是以25为首项，

为公比的等比数列．你能说明理由吗？等比数列的前n项和公式.例4如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（1）所以，前10个正方形的面积之和为cm2．等比数列的前n项和公式例4如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…．而随着n的无限增大，

将趋近于0，Sn将趋近于50．所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．等比数列的前n项和公式例5去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．等比数列的前n项和公式例5去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an＝20（1＋5％）n，bn＝6＋1.5n，等比数列的前n项和公式例5去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n）当n＝5时，S5≈63.5．所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．等比数列的前n项和公式例6某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）．等比数列的前n项和公式例6某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）．解：

（1）由题意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．

①分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8％”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；等比数列的前n项和公式例6某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）．解：

（2）将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．

②比较①②的系数，可得分析：（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；等比数列的前n项和公式例6某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）．解这个方程组，得所以，（1）中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）．分析：（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；等比数列的前n项和公式例6某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…．（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）．