初中数学-2.5 解直角三角形的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

2016年“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册解直角三角形的课堂教学设计一、教学背景1、面向学生：九年级学生2、学科：九年数学3、课时：1课时二、教学任务分析知识与技能目标1、本课时的复习，引导学生回忆、并能复述解直角三角形的概念，复习解直角三角形的边与边之间的关系，两锐角之间的关系、边角之间的关系，能回忆特殊角的三角函数值。。2、学生能够分析和表示实际问题中的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的数学问题来解决。过程与方法目标：学生经历建立直角三角形数学模型的过程，感受对问题进行独立思考、而后交流分析、解决问题的思想方法。情感与态度目标：形成学生的数学应用意识和推理能力。激发学生学习数学的热情，提高学生分析问题、解决问题的能力。教学重点：掌握直角三角形的边角关系，会运用锐角三角函数解决简单的实际问题课程标准强调数学学习的内容应该是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，本节课通过创设一定量的符合学生实际的问题情景，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，培养学生综合分析、解决实际问题的能力。教学难点：解直角三角形知识的深化与运用教学关键：把实际问题转化为数学问题，正确建立直角三角形的模型来解决实际问题教法学法：情境创设、观察、思考、讲练结合、问题教学、自主探究、合作交流三、教学流程安排

活动流程图活动内容和目的活动1创设情境引入新课活动2

知识图示回顾旧知活动3

考点知识梳理

活动4

初试锋芒

闯关训练活动5

归纳小结当堂检测

活动6

布置作业分层落实通过实际问题比萨斜塔引入新知。出示知识树状图，让学生明白本节课的知识在整个知识网络体系中的位置，联系已有知识，为本节课做好铺垫

引导学生复习解直角三角形的基础知识，为后面复习解直角三角形有关应用做好铺垫。让学生通过数形结合的方法，转化实际问题。

巩固训练，采取闯关游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣，参与课堂活动的积极性，还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习。

回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。

分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。五、教学过程设计第一环节：创设情境，引入新课由比萨斜塔导入第二环节：知识图示，梳理考点活动内容：1、【知识梳理】出示知识树状图，出示本节课的学习目标，中考考点，让学生明白本节课的知识在整个初中知识网络体系中的位置设计意图：通过创设情境，引导学生复习解直角三角形的基础知识，为后面复习解直角三角形有关应用做好铺垫。让学生通过数形结合的方法，转化实际问题。第三环节：考点知识梳理活动内容：【学习过程】：一、【基础知识梳理】考1、定义：由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知点元素的过程，叫做。（直角三角形一中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角）解三边关系（勾股定理）直2、直角三角形两锐角关系：

30°45°60°sina

cosa

tana

角边角关系边角关系：sinA=cosA=tanA=三角sinB=cosB=tanB=形3、特殊角的三角比值：30°30°45°BOA东西北南铅垂线水平线视线视线仰角俯角1）仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做；俯角:从上往下看，视线与水平线的夹角叫做.1、相关2）坡度（坡比）：如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=考概念坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana点3）方向角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的二小于的角,叫做方向角.如图OA表示解注意:东北方向指方向，东南方向指直我们一般画图的方位为上北下南，左西右东角三角2、应用：解直角三角形应用题的步骤：形（1）根据已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系应（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大尝用试添加辅助线，构造进行解决第四环节：闯关训练第一关（初试锋芒）基础巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),3)2、[2010·漳州]如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为()A．8eq\r(3)mB．12eq\r(3)mC．12eq\r(2)mD．12m3.一段公路路面的坡度i＝eq\f(1,3)，这段公路路面长100米，那么这段公路升高()A．30米B．10米C．30eq\r(10)米D．10eq\r(10)米4、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=，求AC和BC。设计意图：此题设置的目的在于加深学生对基础知识的理解。先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.第二关（小试牛刀）中考典例解析ABCDαABCDαβ热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高例2、（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．设计意图：此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。

在前两个练习题的基础上，通过本环节进一步提高学生分析问题解决问题的能力，开拓学生思维，体现数学的严谨性，也为后续学习做好铺垫。第三关（再接再厉）考点训练1、（2013•潍坊）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时5、（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，求AB的高设计意图：采取闯关游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣，参与课堂活动的积极性，还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习。也可让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题，让大家进行判断给出的方程是否正确。此环节中，教师应注意板书学生给出的方程并且及时引导学生注意类似的情况。第五环节：归纳小结当堂检测活动内容：1、【回顾总结】：学习了本节课，你有什么收获？请说出来与大家分享。设计意图：小结时，教师应重点关注：（1）学生是否能抓住本节课的重点；（2）学生是否掌握一些基本方法。小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。2、【当堂测验】1、在RtDABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA﹕sinB=2﹕3，则a﹕b=2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于点D，已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=（）3、如果α和β都是锐角，且sinα=cosβ，则α与β的关系是（）A，相等B，互余C，互补D，不确定。4、数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）A．S△ABC>S△DEFB．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能确定小敏画的三角形小颖画的三角形5、（2014•奉贤区）如图所示，河堤横面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是．第六环节：作业布置分层落实活动内容：【课后作业】考试说明专题十解直角三角形A组：2、3、4、5、6、7、8、16、17B组：5、11、12、14C组：9、15、20【学后反思】【课外拓展】（2014•山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）设计意图：分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。（A）（B）组题目为巩固型作业，即必做题。（C）组题目为思维拓展型作业，即为学有余力的学生设置。课外拓展让学生优中更优。学后反思让学生在反思中提升自己。六、教学设计说明

直角三角形的边角关系，是现实世界应用广泛的关系之一，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到角度、高度、距离的计算问题，这些实际问题中的数量关系往往归结为直角三形中的边角关系，因此本节对发展学生的应用意识及分析问题解决问题的能力有着重要的作用。直角三角形边与角之间的关系要用数量的形式表示出来，因此本节的学习有利于学生进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。斜三角形通常要转化为直角三角形，四边形计算也要转化为直角三角形，因此本节的学习有利于学生进一步感受转化的思想。本节是在学生学习了三角形及勾股定理的基础上进行的，通过复习应让学生进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，还要为进一步学习其它数学知识及高中阶段学习一般性三角函数奠定基础。学好这部份内容，直接关系到今后的后续学习。2016年“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册解直角三角形的学情分析初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展。从年龄特点来看，初中学生他们有强烈的好奇心和求知欲，好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解。任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的，这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，促进学生个性发展。学生已经学习了过锐角三角函数的概念，并能够借助于计算器由已知锐角求出三角函数值或由三角函数值求出锐角，并会计算含30度、45度、60度角的三角函数值的问题，但缺乏对直角三角形边角关系解决现实生活中的实际问题的整体性认识，运用所学知识建立数学模型，综合分析问题、解决问题的能力不足，针对九年级学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，采用探索学习的方式，以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法；教学中力求体现“问题情景---数学模型-----方法归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察直观形象的演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册解直角三角形的效果分析课前的设计毕竟只是一种静态的课堂规划，只有真正的动态的课堂教学才能检验这份设计是否具有实效性。在课堂上，上课的前六分钟我组织学生对基础知识进行了复习，从学生回答问题的情况看，多数学生能回忆起所学的知识，但也有部分学生已遗忘，设计的问题串对直角三角形的边的关系、角的关系、边角之间的关系、特殊角的三角函数值等最基础和最重要的知识进行复习，唤起了学生对本节内容学习中基础知识的回忆。达到了教学设计中的第一个目标。接下来进行活动二，活动二中的三道题重在培养学生在实际问题中抽象出直角三角形的能力。我在教学过程中注意引导学生在独立思考的基础上充分发表自已的观点与思路，并在与他人的合作交流中获新知，发展个性思维。第一题重在分析实际问题，明确告诉学生能抽象出直角三角形，能说出用哪一个三角函数求要求的问题，说出思路即可。第二题学生想到了多种方法，我让他们充分说出自已的想法，有三名学生主动登台大胆说出自已的分析思路，我及时对学生进行了有效的评价。问题三作为问题二的变式，首先通过PPT的展示让学生理解图形的变换，再看题目的变换，学生兴趣盎然，很快便得出了这个问题的解题思路。在教学过程中，学生均能积极分析思考问题，并能踊跃地抢答问题，达到了这节课的第二个教学目标。按原来的教学设计，活动三通过让学生独立分析、相互交流理解在实际问题中抽象出的是斜三角形时，可以用作垂线的方法添加辅助线，把斜三角形转化为直角三角形模型来求解，明确告诉学生转化的方法简称为“改斜归正”，提炼出解题通法，教给学生“转化”的数学思想，培养学生综合分析问题、解决问题的能力。原计划这一题的教学是让学生规范地写出解题过程，并让两学生上台板书解题过程，然后教师出示此题的评分标准，给学生的板书严格评分，以期引起学生对规范写解题过程的注意，但在活动二中学生举手踊跃说思路，比预计时间超时故没有叫学生上来板书，只是让其中一名学生上来投影自已做的作业，让学生知晓不仅能分析、解决问题，还要能规范地写出解题过程。这节课的第三个教学目标也如愿达到了。反思这节课，我认为自已在教学中能根据学生的实际情况，及时调整教学方案，从学生的实际情况入手，变流水线的复习为实在的学习，使课堂教学有了实效性。同时注重学生主体性的发挥，调动学生的课堂积极性，至始至终，学生在我的调动下动手动脑动口去参与了学习，并且在学习中每一个环节我都注意对学生提出要求，让学生知晓每一个活动的目地，较好地完成了本节课设定的教学目标。2016年“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册解直角三角形的教材内容的研究教材的地位和作用《解直角三角形》这一内容是青岛版九年级上册第二章的内容，也是初中数学“图形与变换”领域的一个重要内容。直角三角形的边角关系，是现实世界应用广泛的关系之一，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到角度、高度、距离的计算问题，这些实际问题中的数量关系往往归结为直角三形中的边角关系，因此本节对发展学生的应用意识及分析问题解决问题的能力有着重要的作用。直角三角形边与角之间的关系要用数量的形式表示出来，因此本节的学习有利于学生进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。斜三角形通常要转化为直角三角形，四边形计算也要转化为直角三角形，因此本节的学习有利于学生进一步感受转化的思想。本节是在学生学习了三角形及勾股定理的基础上进行的，通过复习应让学生进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，还要为进一步学习其它数学知识及高中阶段学习一般性三角函数奠定基础。学好这部份内容，直接关系到今后的后续学习。本章是在学习了平面图形的初步认识、数的开方、勾股定理、相似三角形及二次根式的基础上安排的，内容包括锐角三角比；30度，45度，60度角的三角比；用计算器求锐角三角比；解直角三角形；解直角三角形的应用。本章内容兼有几何和代数的特点，具有一定的综合性，有利于培养学生综合运用数学知识发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，了解数学价值。解直角三角形,从知识体系来看,既是直角三角形和相似型等知识的完善,又是以后学习解斜三角形的基础;从知识的应用角度来看,广泛的应用于测量、工程技术和物理中,常常用来计算距离、高度和角度;从提高能力方面来考虑,在进行运算时,常需考虑公式的选择和变换,解直角三角形的应用题和实习作业常需通过对实物的观察,或根据题意画出图形.这样,不仅有利于提高运算能力,也有利于形成数学创新意识.

2、教学目标根据大纲的要求，本节教材的内容和学生的好奇心，求知欲及已有的知识经验，本节课的教学目标主要体现在：(1)、了解锐角三角函数的概念,熟记30度、45度、60度角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数式的值,会由一个特殊锐角的三角函数值求出它对应的角度.(2)、掌握直角三角形的边角关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题.(3)、重视数学思想方法,本单元内容所涉及的数学思想和方法主要有数形结合、方程思想、转化思想等.复习时应注意的几个问题：

(1)、要重视对主要概念的理解,要注意明确四个锐角三角比值只与锐角的大小有关,而与直角三角形的边长无关.另外要弄清仰角、俯角、坡角、坡度(坡比)方向角等概念的含义.

(2)、要注意数形结合,无论是回顾知识,还是推理论证和计算都应充分利用图形,这样,有利于加深对直角三角形本质的理解,沟通知识间的联系,也有助于寻找解题的途径.

(3)、要注意"转化"在解决实际问题中的应用.用解直角三角形的知识解决实际问题可以说是学习解直角三角形知识的目的和归宿,在解题时,首先应把实际问题转化为数学问题(解直角三角形问题或解非直角三角形问题),把解非直角三角形(斜三角形或四边形)问题转化为解直角三角形.

3、教学重难点重点：锐角三角比的概念，30度、45度、60度角的三角比及解直角三角形的基本类型和方法难点：正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法，学会建立数学模型，培养学生观察能力和思维能力。关键：理解锐角三角比所揭示的直角三角形的边角关系。用解直角三角形的知识解应用题时，运用转化思想，构造含有未知元素的直角三角形。4、课时安排锐角三角比1课时30度、45度、60度角的三角比1课时用计算器求锐角三角比2课时解直角三角形2课时解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时共11课时“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册评测练习第一关（初试锋芒）基础巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),3)2、[2010·漳州]如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为()A．8eq\r(3)mB．12eq\r(3)mC．12eq\r(2)mD．12m3.一段公路路面的坡度i＝eq\f(1,3)，这段公路路面长100米，那么这段公路升高()A．30米B．10米C．30eq\r(10)米D．10eq\r(10)米4、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=，求AC和BC。第二关（小试牛刀）中考典例解析ABCDαABCDαβ热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高例2、（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．第三关（再接再厉）考点训练1、（2013•潍坊）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时5、（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，求AB的高【当堂测验】（勇创辉煌）1、在RtDABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA﹕sinB=2﹕3，则a﹕b=2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于点D，已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=（）3、如果α和β都是锐角，且sinα=cosβ，则α与β的关系是（）A，相等B，互余C，互补D，不确定。4、数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）A．S△ABC>S△DEFB．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能确定小敏画的三角形小颖画的三角形5、（2014•奉贤区）如图所示，河堤横面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是．通过让学生独立分析、相互交流理解在实际问题中抽象出的是解直角三角形问题时，可以用作垂线的方法添加辅助线，把斜三角形转化为直角三角形模型来求解，明确告诉学生转化的方法简称为“改斜归正”，提炼出解题通法，教给学生“转化”的数学思想，培养学生综合分析问题、解决问题的能力2016年“一师一优课”“一课一名师”活动九年级上册解直角三角形课后反思纵观近几年来潍坊市关于这部分内容的考题，发现本节知识在中考中占有重要的地位：解直角三角形的知识是近年来各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识和基本技能为主。运用意识逐步加强，联系实际，综合运用知识、技能的考查要求越来越明确，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，更有要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题的题型。考查题型主要为选择题、填空题、应用题型（分值一般在7分以上），这部分知识是初中教材中一个重要的内容，通过这节课的教学我有如下几点体会：一、以问题为主线，解放学生的身心，激发学生的灵感；反思这节课，我认为自已在教学中能根据学生的实际情况，调整教学方案，从学生的实际情况入手，变流水线的复习为实在的学习，使课堂教学有了实效性。同时注重学生主体性的发挥，调动学生的课堂积极性，至始至终，学生在我的调动下动手动脑动口去参与了学习，并且在学习中每一个环节我都注意对学生提出要求，让学生知晓每一个活动的目地，较好地完成了本节课设定的教学目标。二、合理选材，优化教学，在教学中，忠实于教材，要研究的基础上使用教材。教学方法合理化，不拘于形式，通过一系列的活动来展开教学，发展了学生的思维能力，增强了学生思考的习惯，增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。本节课知识的呈现作了重大调整，不是以讲解为主方式也不是以单一的知识为线条，而是在突出数学知识的同时，将数学知识和结论溶于数学活动之中，这样学生学习数学知识的过程就成了进行数学实验的过程，成了“做学问”的过程。在这样的探究学习过程中，学生得到的数学知识是通过自己实验、观察、讨论、归纳得到的。三、整节课的设计以落实双基为起点，培养学生独立思考的能力，重视知识和产生过程，关注人的发展。无论是教学环节设计，还是作业的布置上，我注意分层次教学，让每一个学生都得到不同的发展四、为了