2022-2023学年山西省运城市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省运城市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知直线4+=4：（a+2）x-y+l=0互相平行，则.等于（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】D

【分析】利用两直线平行的必要条件=4a求得实数a的值，进而检验即可.

【详解】•••两直线平行，.•・"（T）=lx（a+2）,解得a=-l,

此时，两直线方程为4：x-N+3=°,QX-N+JO,两直线互相平行，符合题意

故选：D.

2.已知函数/G）=4sinx+3/（0）,则/'（0）=（）

A.-1B.-2C.ID.2

【答案】B

【分析】先求/再求/'（°）的值.

【详解】解：因为/（x）=4sinx+3矿（0）,

所以/'（x）=4cosx+3/（0）,

所以/'（°）=4+3/,（。），解得/'（0）7

故选：B.

3.已知J是等差数列应｝的前〃项和，且%—则（）

A.数列"J为递增数列B.为

C.’的最大值为国D.几>°

【答案】B

【分析】由%>。且%+4=&+%<0,所以为<0,所以公差"=%-%<0,所以时

见>0,〃28时。“<0,逐项分析判断即可得解.

【详解】由%>°

且%+6=&+。9＜0,

所以如故B正确；

所以公差

数列｛""｝为递减数列，A错误;

由d＜0,%＞。，例＜0,

所以14〃47,a„>0,

“28时，见＜0,

S”的最大值为$7,故C错误;

几=吆产=7(%+4)<0

故D错误.

故选：B

4.已知空间向量£,坂，忖=1B卜夜，且"石与2垂直，则£与否的夹角为（）

A.60。B.30。C.135"D.45。

【答案】D

（a-b\a=0cos（a,b\=—

【分析】根据已知可得I,根据数量积的运算律即可求出'/2,进而求出结果.

【详解】因为"2与£垂直，所以‘一‘）"°

-2

a-〃・5=-卜|,cos(a,b^=l-42cosk®=0

即

cos(a,ft\=—

所以'/2

乂。W,g8。。，所以的=45

故选：D.

5.曲线〃X）=/+》-2在2处的切线垂直于直线,4X，则尸。的坐标为（）

A.（I，。）B.（网

C.I，。）或"）D.0⑻或（一I）

【答案】C

【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得々点的横坐标，进而求得《点的坐标.

1।

2、3cy=­x-1

【详解】曲线/（Vx）=x+X-2在处的切线垂直于直线4,

所以切线的斜率为4,

依题意，令/'（X）=3X2+1=4,解得》=±1,

/（1）=1+1-2=0,/（-1）=-1-1-2=-4,

故P0点的坐标为°'°）和（T'口）,

故选：C

6.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠

日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚16尺，两鼠从墙两侧同

时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小

鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】设大鼠第〃天打洞”"尺，小鼠第〃天打洞々尺，其中分析可知两数列均为等比数

列，确定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果.

【详解】设大鼠第〃天打洞""尺，小鼠第"天打洞％尺，其中“eN：

则数列是首项为1,公比为2的等比数列，a„=\x2"'=T

数列也"｝是首项为5,公比为5的等比数列,

1-—

1-2W22„

s〃=----+-=2"-—

n1-2

1--2"

设数列｛%+'｝的前〃项和为S",则2

因为2",故数列住工单调递增，

5.=16-—<16<S=32-—

因为16s32,故两鼠相遇至少需要5天.

故选：C.

7.若直线丘+^+上=°与曲线卜=1+后］仅有一个公共点，则实数后的取值范围是（）

T'T)U{O}

【答案】D

【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数左的取

值范围.

【详解】曲线y=l+J2x-4即x2+（y-l）2_2x=0（y》l）,

即（x-iy+（y-i）2=i（例）,表示/（1,1）为圆心，r=1为半径的圆的上半部分，

直线去+y+左=°即%-k（x+1）恒过定点（T，0）,

作出直线与半圆的图象，如图,

考查临界情况：

当直线过点（°」）时，直线的斜率-左=1,此时直线与半圆有两个交点，

-%」

当直线过点（21）时，直线的斜率3,此时直线与半圆有1个交点，

当直线与半圆相切时，圆心"（1』）到直线h+y+%=°的距离为1,且-左＞0,

-+1+"L]k---

即而W,解得：一一5,优二°舍去）.

据此可得，实数％的取值范围是3।3J.

故选：D.

8.己知曲线。的抛物线丁=2》及抛物线/=-2x组成，/。,2）,8（-1,2）,历,乂是曲线C上关于

了轴对称的两点（48，M，N四点不共线，且点”在第一象限），则四边形/SNA/周长的最小值为

（）

A.2+VF7B.1+而C.3D.4

【答案】B

【分析】根据8（T，2）,"，N是曲线C上关于N轴对称的两点，结合抛物线的对称性建

立四边形"Ml/周长模型/=以却+2|/"|+2与，再由抛物线的定义得到2XM=2|MF|-1,然后由

直线段最短求解.

【详解】设抛物线/=2x的焦点为厂，

则四边形力3k必的周长：/=1阴+2|4'4+2工”=2+2|/闾+2|”巴一121+2|第=1+如,

当4也,尸共线时取等号，

故选:B.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.

二、多选题

9.已知空间中三点8（2,2,。）,C（-1,3,1）则下列结论正确的有（）

A.AB1AC

B.与方共线的单位向量是（LL°）

V55

C.而与数夹角的余弦值是工厂

D.平面N8C的一个法向量是0，-2,5）

【答案】AD

【分析】A选项，数量积为0,则两向量垂直；B选项，判断出（U°）不是单位向量，且与刀不

共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0,证明出

mLAB,mLBC,从而得到结论.

【详解】"就=（2/，。＞（-1,2,1）=-2+2=0,故荏1就，人正确;

°」，°）不是单位向量，且与'8=（2/，0）不共线，B错误；

ABBC（2,1,0）-（-3,1,1）-5底

”瓦孙同国=Fk=KFc俨误

设m=(1,-2,5)则加方=(1,-2,5>(2,1,0)=2-2=0w-SC=(l,-2,5)-(-3,l,l)=-3-2+5=0

所以又ABcBC=B,所以平面48c的一个法向量是0，-2,5）,口正确.

故选：AD

10.设等比数列｛""｝的公比为4,其前〃项和为S”，前〃项积为且满足条件4>1

，。22，。23>1,（。2022-1）（出。23-1）<°,则下列选项正确的是（）

A0<,<1g52022+1>S2（）23

C.4。23是数列｛［｝中的最大项D.

【答案】ABD

［。2022—1>01a2022—1<0

【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，则［牝。237<°或1°2。23-1>°,«!>1

“2022,。2023>1,所以。2022>】，“2023<1,推得公比0<4<1,即可依次求解.

［详解］（42022_1>（。2023-1）<。，

［。2022-1>。|«2022一1<。

则［。2023—1<0或［“2023-1>0,

.4〉］,“2022，。2023>1，

•••々2022和。2023同号，且同为正，

且一个大于1,一个小于1,

・二%>1

t

出。22>1,a2023<1,即数歹|JS”｝的前2022项大于1,

而从第2023项开始都小于1,

0<q=9<l

对于A,公比“2022，故A正确，

对于B,："2。23<1,

,,a2O23=§2023-,^2022<1,即4^2022+1>>^2023,故Q正确,

对于C,等比数列｛%｝的前〃项积为。，

且数列｛/｝的前2022项大于1,而从第2023项开始都小于1,

故0m是数列状,｝中的最大项，故C错误，

T_八4043

对于D,74043=2a3一,。4043=。2022,

,“2022>1,

a^M3>1,即>1,故D正确.

故选：ABD

Yy2

11.已知双曲线/一正一乂"‘。'〉"的左、右焦点分别为耳、层，且由玛=2,点p是双曲线第

一象限内的动点，/耳「鸟的平分线交x轴于点M,垂直于PM交尸M于£,则以下结论正确

的是（）

12^/3

A.当点心到渐近线的距离为E时，该双曲线的离心率为亍

B.当归周=3"时，点〃的坐标为J'。）

C当咫Cg时，三角形大尸耳的面积5=1

V3

D.若,则双曲线的渐近线方程为

【答案】AB

【分析】利用点到直线的距离公式求出6的值，可求得双曲线的离心率，可判断A选项：利用角平

分线的性质求出点M的坐标，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积公

式可判断C选项；利用双曲线的定义求出。的值，进而可求得人的值，可得出双曲线的渐近线方程,

可判断D选项.

=+”

【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为‘一一丁',即反士ay=0,

园一I

点£到渐近线的距离为2；且山闾=2c=2,故c=].

a=&24-3e=-=2百

所以，~2,此时，双曲线的离心率为。一。一3,A对；

对于B选项，若附Ma,由双曲线的定义可得1尸闾=回卜2a=a,

陋L&*晒也吆丝=四=3

内M|曰明|PM|sinNF/M圈，则但蚱3因M,

设点例（机,0）,由河=3区间可得加+1=3（1-机），解得机一5,即点"Q"）,B对;

］附|-|明|=2。

<

对于C选项，当P4,尸亮时,由题意可得M」」十|P用'牝2

所以，照「+附『—2附|.附卜4c2—2廊|.|「用=41可得阀|•朋|=2〃

S△呻=；|助|忖用=〃<1

此时,,C乍日；

对于D选项，设直线名“交直线PE于点N,如下图所示:

所以，A/W8为等腰三角形，且网=|明,E为NF2的中点,

又因为。为百鸟的中点，则阳M=2|0〃=l,

11

且闺N|=|/一|叫=|明-|尸闾=2"1,故a=—b='jc—a=

2,贝！|2,

y=+—x=+y/3x

此时，双曲线的渐近线方程为.。，D错.

故选：AB.

kg)/(x)co;

12.己知函数f(x),/'(X)是其导函数,，s工+/(x)sinx=lnx恒成立，则

()

/(,)+何停)卜1>扁0)7t

A.B.12

一(卧曲

C.

【答案】ABD

n

g(x)=0<x<—

【分析】构造函数2，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进

而得解.

g(x)=go<xj]，(x)J”(x)cosx+/(x)sinxInx

22

【详解】设8sxi2人则cosXCOS'X,

当0<x<l时，g'G)<0,当1<“<万时，g'(x)>。，

所以g(x)在(°，1)上单调递减，在I上单调递增，

g(讣g(l)g(讣g。)g偿|+g停|>2g(l)

所以,⑴，所以k6；⑶，

学+2佃徵所/符何剧2何0)

故A正确;

76-5/2

4

因为。吟卜,所以g卧G),g氐H9,

71V2+V6

cos—

因为124

所以仞伯,2叱卜⑼》倬

故C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知空间三点“(一2，°，2),以-1，1，2),。(-3,。,4),设三而，三就，|+3,旦

贝。.

【答案】H，T，2)或(2,1,-2)

【分析】先求得5一£，然后根据向量共线以及向量的模求得入

【详解】刃-£=就-刀=前=(-2,-1,2),

由于"/@一。)，所以三x(-2,-l,2)=(-2x,—x,2x).

Ic|=\l4x2+x2+4x2=3|x|=3,x=±l

所以।।,

所以"为（一2,T，2）或。，L-2）.

故答案为：（々T，2）或（2,1,-2）

S〃J-'—[

14.已知数列"J的前〃项和$"满足”一2,则数列的前2022项的和为

2022

【答案】2023

【分析】利用S"求得/,再结合裂项求和法，即可求得结果.

cC/+〃（〃-1）+〃一1

a„=S„-S„.=---------------------------=n01

【详解】当〃22时，22，又q=E=l满足％=〃，故

6,=〃,（〃6]＜）

则数列〔44+1J的前2022项的和%出。2a3。2022a2023

111,11111t12022

1x22x32022x20232232022202320232023.

2022

故答案为：2023.

22

C:=+4=l（a>b>0）*右r，

15.已知椭圆优b2的左右焦点分别为白，心,过片作倾斜角为30。的直线，与

以坐标轴原点。为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点片），与椭圆C在第一象限交

F^A=-CF^F.+F^B'\C

于点B,若-2'--乙则椭圆C的离心率为

也-1

【答案】二-

由在海+

【分析】

再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出恒勾=2c且|鸟叫=2°-2后c,列式即可得出答案.

【详解】••不WO+阚,

二点4是线段的中点，

/耳"代为直径所对的圆周角,

：.F2AVF,B

•••6”为线段片8的垂直平分线，

:.F,F2=F2BF]B=2F]A,

♦•・过耳的直线的倾斜角为30°,

/.ZAFtF2=30",

:.F2A=2FtF2

''F',£为椭圆C的焦点，

怩用=2c,

.・.内科=2c且内/|=c,

旧旬=7(2C)2+C2=&

耳却=2>/ic

点8在椭圆C上，

.•.阳却+因a=20

:.\F2B\=2a-2y/3c

c_V3-1

2c=2a—2VJc,即q2

G-i

故答案为：2.

16.设函数"x)=sinx+e*—e«—x+2,则满足/(分/(厂2)<4的丫的取值范围是

【答案】HD

【分析】设函数g(x)=/G)-2,判断g(x)的单调性与奇偶性，把不等式

/G2A/(X一2)<4变形为/(?)-2<-[/(x-2)-2]转化为g(x)的不等式解决

[详解]设gG)=/G)-2=sinx+e、-eT-x,

因为g(x)的定义域为R关于原点对称.

又因为g(―x)=/(―x)—2=sin(―x)+e、—e()—(―x)=—sinx+eA-eA+x

=_(sinx+ex-ex-x)=-g(x)即g(r)=_g(x)

所以g(x)是定义在R上的奇函数.

又g'(x)=/'(x)=cosx+ev+e-'v-1

又因为e、+e->2yjex-ex=2当且仅当x=0时取等号

所以g'(，)=/'(")=cos%+e"+尸-1>1+cosx>0

所以g(x)在R上单调递增.

又,•,/々2)+/(%-2)<4

：.f(x2)-2<-[/(x-2)-2]

即g(x2)<-g(x-2),

又因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以-g(x-2)=g[-(x-2)]=g(2-x)

所以gG)<g(2-x)

又因为g(x)在R上单调递增

所以/<2-x,即/+》-2<0

所以(x+2)(x-l)<。

所以-2令<1

所以满足/G)+/G一2)<4的x的取值范围是(一2,1)

故答案为：(一2」)

四、解答题

17.等比数列0｝的各项均为正数，且q+%=i0,

(1)求数列S”｝的通项公式；

(2)求数列｛“"J的前〃项和几

【答案】(1)%=*(2)，=(〃T)2'i+2.

【分析】(1)根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可;

(2)利用错位相减法进行求解即可.

【详解】解：(1)设数列｛%｝的公比为“，

则4>0,由4。；=。2。=片

得：/=4,所以4=2

由4+a3=q+4q=5q=l°,得到q=2

所以数列｛“"｝的通项公式为%=2”.

(2)由条件知，

7；=1x2+2x22+3x2、…+〃x2"

27；,=lx22+2x23+3x24+---+nx2,,+1

将以上两式相减得

23n+l+,+,

-Tn=2+2+2+---+T-nx2=2(2"-l)-nx2"=(1-n)2"-2

所以北=(〃T)2*'+2.

18.已知函数/G)=r+xlnx.

⑴求/(X)的极值；

(2)若函数'在1上有两个不同的零点，求实数〃?的取值范围.

【答案】(1)极小值为T,无极大值

,2

—\<m<—

(2)e

【分析】⑴求出/"),分别令/«*)>°、/'(")<°,解不等式可得答案；

(2)可转化为'"的图象有两个不同的交点，结合图象可得答案.

【详解】(1)

.J(x)=-x+xlnxJ'(x)=lnx

•f••，

令*(x)>0,解得x>l；令/'(x)<0,解得0<x<l,

.JG)的单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(°，1),

.•J（x）在x=l处取得极小值/°）=T,无极大值；

（2）V=/（x）一机在［e'81上有两个不同的零点，可转化为、=/（'）与夕=〃，的图象有两个不同

的交点，

由⑴易知，/L（l）=-1,又/

,2

-1<7W<--

e

19.已知°为坐标原点，过点/。'。）的圆”与直线乙x=-l相切，设圆心〃的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程:

（2）过点E（L°）的直线交曲线c于A、B两点，线段的垂直平分线交X轴于点尸（4，°）,求

“08的面积S.

［答案】⑴/二4x

Q)S=屈

【分析】（1）设点"（x'y）为曲线c上任意一点，依题意可得由日与点”到直线/的距离相等，即

2

7（x-l）+/=|x+l|；整理即可；

⑵首先分析直线的斜率存在且不为0,设直线48方程为k'G”），联

立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，求出线段的中点NG。，”）的坐标，依题意可得直线

N8与直线NP垂直，即可求出〃，再由弦长公式求出求出原点到直线的距离，即可得解.

【详解】（I）解：设点MG/）为曲线C上任意一点，因为圆用过点F（L°）且与直线乙尸一1相

切，

所以画与点”到直线/的距离相等，故J（XT）-+V=k+U,

整理得V=4x,所以曲线C的方程为V=4x；

（2）解：过点尸。°）的斜率为0的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求，

过点尸0'°）的斜率不存在的直线为x=1,直线x=1与抛物线V=©的交点为°，2）,

（I'2）,此时线段N5的垂直平分线为尸=0,不满足要求，

所以直线斜率存在且不为0,设直线48方程为V="（x7）,k*0,

y=Z:（x-l）

由1j广=4x得®2_4”软=0,

方程处2—4>-4女=0的判别式4=16+16左2>0,

_4

设力8（工2，%）,则,’2k,必为=一4

必+为212

设线段”中点N（%，%）,为=丁=%,%=工为+1=记+1,

因为线段AB的垂直平分线交x轴于点尸（4°）,所以直线AB与直线NP垂直,

2

原点。到直线42的距离

S=—\AB\d==>/6

故小的面积223

20.如图，在圆柱0a中，CE是圆柱的一条母线，/BCD是圆。的内接四边形，是圆。的直

径，CDHAB.

⑴若ZB=2CO,求证：平面CEO；

CD=CE=-AB=l

（2）若2,求直线5E与平面/£）£所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

742

⑵7

【分析】（1）由已知得四边形工℃°为平行四边形，得到/D〃OC,再由线面平行的判定定理可得

答案；

（2）以O为坐标原点，分别以。，CB,CE所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。一孙z,

求出平面/OE的一个法向量、砺的坐标，由线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）因为力8=28所以/°=。£＞因为8〃/8,所以四边形/℃£＞为平行四边形，

所以/O//OC,

又因为。Cu平面CE。，a平面CE。，

所以ZO〃平面CEO；

（2）以O为坐标原点，分别以CLCB,CE所在直线为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系c-平，

因为CLW4B,所以8c=1,4c=行，ABAC=30"

则点/心,0,0),8(0,1,0),樽,£(0,0,1),

7

所以方=5。』），金,,1

22族=(0,TI)

设平面ADE的法向量为“

-+Z]=0

in-AE=0<G1_n

和瓦=0,即--7玉+万■,+Z]=0

则

令占=色可得加=（百，-3,3）,

设直线BE与平面ADE所成角为夕,

V42

sind=卜。咽叫端卜百k

屈

所以直线8E与平面NQE所成角的正弦值为7.

22

-■7+=1（Q>6〉0）P（2xf31、—

21.已知椭圆°：//，,长轴是短轴的2倍，点1"'1在椭圆。上，且P在不轴

上的投影为点Q.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若过点。且不与y轴垂直的直线/与椭圆C交于〃，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点

7（'，°）,使得直线力I1,7W斜率之积为定值?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

x2y2

-----1------—1

【答案】（1）164

（2）存在，"4

【分析】（1）由题意列方程组求解，

（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理与斜率公式化简求解,

3=1

【详解】（1）由题意得〃=26,a2b2,

,,土+2L=1

解得〃=4,“-=16,故椭圆C的方程为164,

（2）由题意得O*G，。），设直线方程为》=:利+26,

代入“2+4/=16得(〃/+4)/+4\/3my-4=0

-4y/3m

-4

必为=

设必）