2022-2023学年高一数学题型归纳与分阶培优练12指数函数性质归类（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题12指数函数性质归类

目录

【题型一】求指数值与解指数方程................................................................2

【题型二】解指数不等式：定义域................................................................3

【题型三】指数型复合函数单调性................................................................4

【题型四】指数函数识图.........................................................................5

【题型五】指数函数图像特征：一点一线..........................................................7

【题型六】指数函数比大小1:图像比大小........................................................10

【题型七】指数函数比大小2：构造函数..........................................................12

【题型八】指数函数比大小3：鬲、指数函数综合................................................13

【题型九】指数型中心对称1:中心在y轴........................................................15

【题型十】指数型中心对称2：中心平移型........................................................17

培优第一阶——基础过关练......................................................................19

培优第二阶——能力提升练......................................................................21

培优第三阶——培优拔尖练......................................................................24

综述：

指数运算公式伍＞0且存1）：

①/=《炉②③q昨a，』”,“一“④（优"）"=〃叫

0<<7<1a>1

a£

图象

(0,1)

定义域_R___—R―

值域(0,+8)

过定点_____（°'D_

性质_____，即-=0时,__o____

减函数增函数

2.指数函数y=优的底数规定大于。且不等于1的理由:

当0>0时，优恒等于0

（1）如果々=0,

当口<。时,能无意义.

如果“<。，如尸(“当户■时,在实数范围内函数值不存在.

（2）

(3)如果a=l,y=l*=l,是一个常量，对它就没有研究的必要.

为了避免上述各种情况，所以规定。>0且4*1.

3.指数函数奇偶性：

指数函数无奇偶性,形如贝x)=黑是奇函数

【题型一】求指数值与解指数方程

【典例分析】

函数〃x)=若/⑷+/(2)=0,则实数”的值等于

A.3B.1C.—1D.—3

【答案】D

【解析】分析则由f(2)=4,a-l+4=0计算即可得出答案.

【详解】由函数解析式=["r'I，易得函数f(x)在定义域上为增函数，则由/(2)=4,

[x-l,x<0

〃a)+/(2)=0可得〃G=^<0,440,，/(〃)=4-1,,所以由。-1+4=0计算得4=_3.

故选:D.

【变式训练】

1.设函数〃x)的定义域为R,.”X)为偶函数，〃x+l)为奇函数，当xe[l,2]时，

/(x)=a-2,+6,若〃0)+〃1)=-4,则/《卜•

【答案】4-472

【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出。和即可求解.

【详解】根据题意，由/(x+1)为奇函数，得f(x)关于(L0)对称，

故"1）=0,即2a+b=0,V/（0）+/（2）=0,f（0）=-/⑵=-（4a+b）,又•:

〃0）+〃l）=T,

/（0）=-4.即4q+6=4,由｛4a+g_q，解得a=2,b=-4,：+=0，

"倍］=_小2=_/佶］=_限2二4］=4_4夜.故答案为：4s

2./U)是定义域为R的函数，且/(x)-V为奇函数，/(x)+2、为偶函数，则/(2)的值是()

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性列方程组求/(x)的解析式，进而代入自变量求〃2)的值.

【详解】由题意，/(-x)-(-x)2=/(-x)-x2=x2-/(x),即〃T)+/(X)=2/,

/(-%)+2T=f(尤)+2、，即f(x)-/(-x)=2-x-2)

所以2/(x)=2x2+2-c-2、，可得f(x)=x2+2-x-'-V',

故/(2)=22+2-2——22-1=1?7.故选：A.

8

23'：：-”,若〃一2)+〃4)=0,则实数(

3.已知函数f(x)=)

A.-2B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】由题知f(a)=T,再根据x<—l时，/(x)=2-，>2得再解方程即可得答

案.

【详解】解：由题知〃-2)=2+2)=22=4,”-2)+“a)=0所以〃a)=T,

因为x<—l时，/(x)=2-v>2,所以，a>-l,所以“a)="—12=T,解得a=2.故选:

B

【题型二】解指数不等式：定义域

【典例分析】

函数y=V的定义域是

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(l,+oo)D.[L+O

【答案】B

【详解】试题分析：根据已知关系式可知，要使得原式有意义，则满足函数丫=^/7二1中的

e'-l>0/.x>0.因此可知答案为©y)，选B.

【提分秘籍】

基本规律

解指数不等式，主要方法是“同底法”。

【变式训练】

1.已知函数”刈=应万，则、=弋二D的定义域是.

【答案】{小<。或0<xM2}

【分析】复合函数定义域求法:若/(x)的定义域为A,则y=/(g(x))有意义要首先满足

g(x)wA.

【详解】/(x)=尿工7的定义域为{中43},

fC2x~1”)需满足:1<3,解得xe(r/o,0)、5°/，2]I，

X(。U

•••g(x)的定义域是{x|x<o或0<x42}.故答案为：或0<x42}.

2.若函数/⑺的定义域为（。,8）,则函数g（力答的定义域为----------

【答案】（0,3）

..[0<2x<8/、

【分析】由函数“X）的定义域可知8—2*>0，解出X的取值范围，即可得到函数g（x）的

定义域.

【详解】解：函数的定义域为（0,8）,g（x）=^^=,0<2x<8

,解-得0vxv3,

8-2v>0

/、/（2x）

即函数8（元）=令=的定义域为（0,3）.故答案为：（0,3）.

,8—2"

3…函数f（x）=j32i-g•的定义域是（）

A.(-2,+oo)B.[—l,+oo)C.D.(—8,-2)

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】解：要使函数有意义，需满足32i-，Z0,即：32-23-3,因为y=3'为增函数,

所以2x-G-3,解得:x2-1.故选:B.

【题型三】指数型复合函数单调性

【典例分析】

若函数”x）=B有最大值3,则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据复合函数的性质，结合/（X）的最大值，求得”的值.

/1、苏-4x+lA7

【详解】由于函数/（x）=卜）有最大值3,所以。>0,且当x=—琮=:时，f（x）取

得最大值为个卜《产号；（『=3>=3,故.l=l，Qa=2.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

复合函数由内函数和外函数构成，其单调性遵循“同增异减”法则：

（1）内外两个函数都是增函数（或减函数），原函数就是增函数；

（2）内外两个函数一增一减，原函数就是减函数.

【变式训练】

1.函数f(x)=e2i-2ei的单调递增区间为()

A.[2,+oo)B.[l,+oo)

C.[0,+oo)D.[-2,+co)

【答案】A

【分析】令e7=r«>0),将原函数化为y=『-2r,根据二次函数和指数函数的单调性可得

选项.

【详解】解：令ei=w>o),则原函数可化为y=r-2f,该函数在上单调递增，

又f=e-2在R上单调递增，当x=2时，t=\,

故/(x)=e2x-4-2e-2在xe[2,田)上单调递增，

故选：A.

2.已知函数y=qE(。>0且axl)在区间[，2]上是减函数，则实数。的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,2]C.(2,4]D.(0,g

【答案】B

【分析】令〃可知内层函数菽在区间口，2]上为减函数，则外层函数y=a"

为增函数，结合4-以W0对任意的xe[l,2H亘成立可求得实数。的取值范围.

【详解】令“由于。>0且。制，内层函数〃=7?二晟在区间口，2]上为减函数，

所以，外层函数y=“"为增函数，则有”>1,

由题意可知，不等式4-水20对任意的xeja恒成立，二4-加20,解得“42.

综上所述，实数。的取值范围是(1,2].

故选：B.

3..函数/(幻=(；)口^的单调递增区间为()

【答案】C

【彳析】求出给定函数的定义域，再结合指数型复合函数单调性求解作答.

【详解】依题意，-犬+x+lNO,解得：叵4x4笥叵，即/(X)定义域为[与叵,q5],

令“3W+X+1，则函数”=J-d+x+l在[匕上单调递增,在已，匕或]上单调递

2222

减，

而函数》=(与在R上单调递减，因此，/(X)在[匕5」上单调递减，在己,匕2昌上单调

递增，

所以函数/(x)=(g)EU的单调递增区间为乎].故选：C

【题型四】指数函数识图

【典例分析】

函数/(x)=e'-e-'-d的部分图象大致为()

【答案】B

【分析】先证明，(x)为奇函数可淘汰C,D选项，再利用x趋向于正无穷时，可得到

f(x)=e、-e-/-x3也趋向于正无穷，故淘汰A,即可得到答案

【详解】解：由八外=/-6-*-/可得定义域为区，

因为Ax)+/(-x)=(e*-e-、一/)+[e-*一e*-(―x)[=0

所以/(x)为奇函数，故淘汰C,D选项，

当x趋向于正无穷时，y=e"趋向于正无穷，丫=0趋向于0,y=/趋向于正无穷，

而且指数函数丁=1趋向于正无穷的增长速率远远超过y=/趋向于正无穷的增长速率,

所以当x趋向于正无穷时，/Q)=e'-趋向于正无穷，故淘汰A,

故选：B

【提分秘籍】

基本规律

函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【变式训练】

【分析】根据函数发达式，求得函数了(》)为偶函数，且/(x)2。恒成立即可判断

【详解】由题意可得：/(_灯=生正=—二=

故函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，可排除C和D选项

又/（x）ZO恒成立，可排除A选项。故选：B

【分析】由奇偶性定义判断f（x）对称性，再根据解析式判断xw（0,1）、乂©（1,+8）上/（外的符

号，即可确定大致图象.

【详解】由题设，/（T）=（-?’-（］?==-/0）且定义域为R,即/（X）为奇函数,

2+2一（）2+2

排除C,D；

当x£（0,+8）时2'+2r>0恒成立；

x3-x=x（x-l）（x+l）,故当xe（0,D时3卜2-1）<（）,当x£（l,+oo）时不［2一］）>（）；

所以，X£（O,1）时f（x）<0,xe（h+oo）04/（x）>O,排除B；

故选：A.

3.函数/（x）=Jg（xxO）的图象大致为（）

【答案】A

【分析】分析函数/（》）的奇偶性及其在（0,1）上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选

项.

【详解】函数"X）的定义域为卜|"0},/（-力=果£=理9=/（同，

所以，函数/（x）为偶函数，排除CD选项，

当0<x<l时，国一1<0,2*+2T>0,则0（刈=.丹］<0,排除B选项.故选：A.

【题型五】指数函数图像特征：一点一线

【典例分析】

若直线y=3a与函数y=|优-1](a>0,且awl)的图象有两个公共点，则“可以是()

112

A.2B.-C.-D.—•

343

【答案】c

【分言】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得

【详解】由题意，直线y=3a与函数y=k、-l|(a>0,且a*1)的图象有两个公共点，

综上可知，。的取值范围为(0,；),故选：C

【提分秘籍】

基本规律

“一点一线”：指数函数恒过定点(0,1),渐近线为x轴

【变式训练】

1.已知函数/(x)=|2-l|,a<b<c,且/(4)>/(c)>/S),则下列结论中，一定成立的是

()

A.a<0,Z?<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.Ta<2CD.2"+20<2

【答案】D

【分析】作出函数图象，结合图象判断AB,再由/(a)>/(c)去掉绝对值号化简可判断D,

由均值不等式即指数函数的单调性判断C.

【详解】由图示可知”0时，b的符号不确定，故AB错；

1

7/一,

0123'/⑷=|2〃—-1|〉|2'-1|即

ae

l-2>2-lf

故2"+2'<2，故D正确，又2"+2。>2，广，所以2亚丁<2，即2"+,<1.

所以a+c<0,即c<-a,所以2。<2一"，故C不正确.故选：D

2.设》="-[,c<6<a,若函数在x=c的函数值大于函数在x="的函数值，函数在x=〃

的函数值大于x=b的函数值，则下列关系式中一定成立的是()

A.3°>3"B.3">3"C.3，+3">2D.3"+3"<2

【答案】D

【分析】作出函数y=|3'-l|的图象，再根据给定条件确定a,c值的符号即可判断作答.

【详解】令y=/(x)=FT，则/(x)=作出函数y(x)的图象，如图，

3—l,x>0

显然函数/(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,”)上单调递增，

依题意，当c<6<a时,/(c)>/(")>fS)成立，观察图象知,c<0且。>0,be(t,a),

c<t<a,

必有3'<1,3">1,而〃c)—f⑷>0,则有1-3°-(3"-1)>0,即3'+3"<2,C不正确,D

正确；

因c<b<a,函数y=3"在R上单调递增，则有3。<3〃，3〃<3。，A,B都不正确.

故选：D

|2X_||x<2

3.已知函数〃x)=।「一,若实数。也c满足。<。<的且f(a)=〃b)=〃c),则

-x+4,x>2

2"+。+2"。的取值范围为()

A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)

【答案】D

【分析】作空函数图象，根据图象先确定f(a)=/0)=/(c)e(O,l),再由函数确定出c的

取值范围，

再由=f(b)确定出2"+2"=2，即可求解.

【详解】作出函数〃x)的图象，如图，

当x<0时,./-(x)=|2l-l|=l-2-re(0,1),

由图可知,/(a)=/(*)=/(c)G(0,1),BP4-CG(O,1)

得3<c<4,则8<2°<16,

由f(a)=〃6)，即|2"T=4T，得J2"=2〃—I，求得2"+2=2，

.,.2"+c+2"«=2'(2"+2")=2x2'w(16,32),故选：D

【题型六】指数函数比大小1：图像比大小

【典例分析】

.设/（x）=|2-2|,a,beR+,且a1b,则下列关系式中不可能成立的是（）

A.f以友）>于芈■）B.f严尹于然

2a+ba+b2

c./（芸）才（而）>/（竽）D./（而）"（煞）"（噌）

a+b2a+b2

【答案】D

【分析】由条件a,6eR+,且球b分析出字,当■的大小关系，再讨论函数/J）的

单调性即可逐一判断作答

【详解】因。，力£R+,且出b,则有空且二于是得

2a+by/aba+b

a+b/—r2ab

>\!ab>----,

2-------a+b

函数〃x）=E：2；，x<\则/（x）在（0,1］上递减，在工转）上递增，

当当21时，有'（而讨（名）成立，A选项可能成立；

a+b2a+b

当。〈字41时，有/（%）"（而）>/（孚）成立，C选项可能成立；

2a+h2

【提分秘籍】

基本规律

已知d"=A"（a,6>l或0<a2<1）,比较犯〃大小的常用方法：

（1）分类讨论法：m<n,m=n,m>n,根据指数函数的单调性分析出川，〃的大小关系；

（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系作出）』“',y=b’的图象，作直线V=/与两图象

相交，根据交点横坐标的大小关系判断出〃?，〃的大小关系.

【变式训练】

1.设2叫=3",则加，”的大小关系一定是()

A.m>nB.m<nC.m>nD,以上答案都不对

【答案】D

【解析】根据2"'=3"可分三种情况讨论：m>n,m^n,m<n,根据指数函数的单调性分析出

每种情况下见”，。的大小关系，由此得到机，”的大小关系.

【详解】当用〉〃时，因为y=2*为(0,+8)上增函数，所以2山=3">2",所以>h所

以〃>0,所以机>〃>0；

当初="时，(T)=1,所以〃=0,所以〃2=〃=0；

当机<〃时，因为y=2*为(0,+8)上增函数，所以2"=3"<2",所以(|)<1，所以〃<0,

所以加<〃<0,

故选：D.

2.已知函数/(X)=x2一/zx+c满足/(l+x)=,且/(0)=3,则fS与")的大小关

系为()

A.⑻)B.f(cx)<f(bx)C.f(cx)>f(hx)D.f(cx)=f(bx)

【答案】A

【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得匕、。的值，则有A*=23c*=3*,由指数

的性质分情况讨论x的值，比较/(")和/(《)的大小，综合即可得答案.

【详解】根据题意，函数f(x)=V-法+C满足/(x+l)=/(l-x),则有2=1,即b=2,

又由f(0)=3,则c=3,所以1=2，,c*=3*,

若xvO,则有而"X)在(F,1)上为减函数，此时有

若x=0,则有c，=b，=l，此时有/S*)=f(c*),

若x>0,则有1<3<C，，而,⑸在(1,廿。)上为增函数,此时有/S*)</(c*),

综合可得/S"),J(c"),故选：A

3.若2021"=2020”>1,则()

A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD,b<a<0

【答案】c

【分析】在同一坐标系内分别作出y=2020'以及y=202F的图象，借助于图像分析

2021"=2020%>1时，«.6的范围.

【详解】在同一坐标系内分别作出y=2020'以及y=2021'的图象，

【题型七】指数函数比大小2：构造函数

【典例分析】

若实数X,y满足2022,+2023-<2022〉+2023-',则()

A.—>1B.—■<1

y)

C.x-y<0D.x-y>0

【答案】C

【分析】由指数函数的性质可知"1)=2022,-2023T是R上的增函数；根据题意可知

2022,-2023"<2022v-2023v,即再根据函数的单调性，可得x<V,由此

即可得到结果.

【详解】令/(x)=2022—2023-',由于y=2022',)，=-2023'均为R上的增函数，所以

f(x)=2022、-2023-'是R上的增函数.

vv

因为2022+2023T<2022''+2023r,所以2022,-2023T<2()22-2023T，即/(x)</(y),

所以x<y,所以x-y<0.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

常见的构造函数技巧：

1.在于转化过程中，“分参"一''同构"，得新函数，提取单调性

2.在于转化过程中，“分函”一“同构”，得新函数，提取单调性

注意“分参”与“分函”的区别与联系

【变式训练】

1.若2'-5."W2->-5>,则有()

A.x+”0B.尤+yMOC.x-y<0D.x-y>0

【答案】B

【分析】构造函数/(司=2,-5-*,由解析式确定函数单调性，再利用单调性即可求解.

【详解】构造函数“司=2'-5一*,易得函数单调递增，山2'-5TM2-，-5,，

可得r.xM-ynx+yMO,

故选：B.

2.已知（g]+（g）'+]gj,则下列关系式正确的是

A.x<yB.x>y

C.x<-yD.x>_y

【答案】A

【分析】先变形不等式，然后构造新函数，利用新函数的单调性判断出的大小关系即可.

【详解】不等式可变为cm'>（；）f，

因为函数/（X）=（£）[（；）在R上是减函数，所以有*<上

故选A.

【点睛】函数/（力=优—“'>0且awl）的单调性由。的大小决定：当。>1时，y="在R

上是增函数，了=-尸在R上是增函数，所以“》）=优一才是增函数；当0<。<1时，y=a，

在R上是减函数，y=-/*在R上是减函数，所以/'（x）=a是减函数.

3..已知x,yeR,且2'+3V>2-+3，则下列各式中正确的是（）

A.x-y>0B.x+y<0

C.x-y<0D.x+y>0

【答案】D

【分析】可对2*+3,>2-+3-"变形成2*-3-*>27-3，，构造函数/（司=2'-3一',根据函

数的单调性可得答案.

【详解】.2"+3y>2-y+3~x,2X-3-x>2-y-3,,

设/（x）=2-3T,2,为增函数，—3一，=一1]也为增函数，所以〃x）为增函数，

由2X-3-X>2一>'一3>,可得/（x）>f（~y）,

所以x>—y,即x+y>（）。故选；D

【题型八】指数函数比大小3：幕、指数函数综合

【典例分析】

201920212019

设〃=（理严，八严，严，则〃，dc的大小关系是（）

[2022J[2022）{2022）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】根据指数和基函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为y-会在（°，内）上单调递增，>=（蹩丫在R上单调递减

）[2022）

201920192021

所以（胆产/型受产/期产，故a〉。*故选：B

U022J（2022J[2022）

【提分秘籍】

基本规律

常见嘉函数及其图像

【变式训练】

1.设a=206,〃=2%c=O.506,则（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】先将c=0.5°6改写为〃=2«6,再利用函数y=2*的单调性判断即可

【详解】由题，c=0.严=2,对于指数函数y=2'可知在R上单调递增，

因为-0.6<0.5<0.6,所以2心<2°5<20-6，即cy。<a

故选：D

2.若°=匕=图",c=则。，b，c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】c

【分析】根据指数函数y=的单调性可比较6与c的大小；根据事函数y=，的单调性

可比较。与c的大小.

【详解】因为6=图\c=《J,函数y=图在R上单调递减，所以J>《了，即b>c；

33333

又a=（；j,c=，函数y=/在（o,+8）上单调递增，所以0<弓［即a<C,

所以Z?>c>a.故选：C.

3.已知a=（&）\。=2有，c=3&，则下列结论正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

［答案］A

【.析】根据指数函数图像和性质即可比较大小.

R3

【详解】4=（0）=2"6=2号且y=2'在R上单调递增

.-.67=(72)3=V1<b=2^<22=4--a<h

戌=(2邛=23=8,c尤=(3忘广=32=9,.•.淤=8<c&=9,X-.43>y/2:.h<c.-.a<b<c

故选：A

【题型九】指数型中心对称1：中心在y轴

【典例分析】

.设函数，(口=皆石，(。>0且4X1),上可表示不超过实数机的最大整数，则函数

“X)-；+f(T)+g的值域是()

A.{0,1,2}B.{-1.0}C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】D

【分析】先化简/(*)-}和f(r)+；，然后根据解析式的特点可求.

【详解】因为/(x)=—三，所以f(x)-g=\-g=g—-

a+12a+122aFl

，/、1Q111

f(-x)+—=-----+—=----+—.

2a~x+\2优+12

11111

因为4、+1>1,所以,当时，0<1—---<—,—<——1------<t1,

优+1a'+1226r+l222优+1

此时［2"+J町［2+/+J=°/")-2卜卜(*

二0；

当‘总时‘上叱牛［.仆)+泉1；

、1，11…111c1113

当一<----<1时，一一<--------<0,1<-+-----<—,

2优+122优+12优+12

此时［27+1卜T12+/+1卜L卜。)-2卜上(一)+・；=0；故选D.

【提分秘籍】

基本规律

(a+b,c)

1.若〃力满足/(”+X)+/07)=2C,则f(x)关于12

J中心对称

2.

特殊的奇函数：(考试难点)：

m+n.1-x.1-kx1x-1

1、对数与反比例复合：y=logam-nx,y=|Og>-\>

如：log.,——，log.,----,loga——

<m+nx*m-nx'1+Xa1+kxdX+l

2、指数与反比例复合：y=a+1,y=-^-,y=1a>l+ax

y=-----

a-1a+1\+a\-ax

3、对数与无理式复合：y=log(>/(kx)2+l±kx),如:2

ay=loga(v(x)+l+x)

3.形如y=^四对称中心为(0,女)

ax+\2

【变式训练】

1.已知函数〃犬)=亍M(，">0),且〃a+2)+_f®-机<0,则()

A.a+b<0B.a+b+2<0

C.6f-Z;+l>0D.a+h>0

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=〃x)-5，判断g(x)的单调性和奇偶性，由此化简不等式

/(a+2)-y+/(*)-y<0,即g(a+2)+ge)<0可得选项.

【详解】由题意知函数“工人三匕

m3"-1

令g(x)=f(x)-£，则g(x)=^j

万一2(3-+1)+1

••.g(x)的定义域为R，g(-x)=3.(m=-3.W=-g(x)，二函数g(x)为奇函数・

又机>0,，g(x)在R上单调递增.

由/(。+2)+/(3一加<0,得以〃+2)—葭+/修)一段<0,即g(a+2)+g(b)<0,二

g(a+2)<-g(b)=g(-b),

；・a+2<—,即a+6+2v0.

故选：B.

1A+14.a

2.已知a>0,设函数/(》)=：：；、+[，xe[-a,句的最大值为4,最小值为B,那么A+B

的值为()

A.4042B.2021C.2020D.2024

【答案】D

【分析】由已知得*X)=2()21-M笔：，令g(x)=MJ,则g(-x)+g(x)=2018,由

2021+1202r+1

g(x)的单调性可求出最大值和最小值的和为g(-a)+g(a)=2018,即可求解.

202产+32021Kx2021+2021-2018__20182018

【详解】函数/(%)=2()2]令g(x)=

2021,+1202-+1一—2021r+12021V+1

20182018

g(-x)+g(x)=---------------1-------------=2018,乂・・・g(x)在尤w[—。，〃]时单调递减函数;

202m2021'+1

・••最大值和最小值的和为g(-a)+g(a)=2018,

函数/(力=嗡三孑卜€卜"'勾)的最大值为A=2021-g(a)，最小值为8=2021—g(-a)；

则A+8=4042-[g（-a）+g（a）]=2024：故选：D.

3.已知函数〃x）=2-等，若不等式/⑷）+/1-/一《>2对以41,2）恒成立，则实数。

的取值范围是（）

A.[o,|]B.[-℃,|5

D.-,4-00

2

【答案】D

【分析】根据解析式可推导得到/（力+/（-力=2,由此可化简不等式得到

〃分）>/卜+9；根据“X）的单调性可得a>x+；对vxw（l,2）恒成立，5

由<—

222

可得结果.

【详解】/（X）=2-告=寻，f（T）=a=三，.・J（X）+〃T）=2,

e+1e+1e+11+e

则/（-J_>|）+/卜+1卜?，/.f（or）+/1%2_1]>2可化为〃词〉f^x2+]]；

,、2

.丁=廿+1为区上的增函数，，/（力=2---—~；为11上的增函数,

e+1

/.ax>x2+1对Wx£（l,2）恒成立，即ci>x+g,

1<x+l<|,即实数a的取值范围是|。，+8].故选：D.

22222）

【题型十】指数型中心对称2：中心平移型

【典例分析】

己知函数〃"=萧：的图像与过点（T1）的直线有3个不同的交点（彳丹），（孙儿），

（凡，丹），贝1」（玉+*2+犬3）2+（乂+必+%）2=（）

A.8B.10C.13D.18

【答案】D

【分析】分析函数/（x）的对称性，再借助对称性的性质计算作答.

【详解】函数/（力=皆节定义域为R,且即点（-U）在函数图象匕

VxsR,f（_l_x）+f（_i+x）=?J+与=--+孚-=2,因此，函数“X）的图象

e+1e+1e+1e+1

关于点（-1,1）对称，

依题意，不妨令工2=-1，必=1，则点（如打）与（孙必）关于点（-1,1）对称，即玉+玉=-2且

y+%=2，

所以（西+&+凡）2+（凶+必+%）2=（-3）2+32=18.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

形如y=。巴对称，是由y=《坦"左加右减”平移可得。

优+14+1

故对称中心也由(0,匕巴)平移来

2

【变式训练】

1.已知函数/(x)=(2x2-4x+3)(e*T-ej)-2x+l在[0,2]上的最大值为M,最小值为m,贝！|

M+m=.

【答案】-2

【分析】

先得出f(x)的图像关于点(1,-1)成中心对称，根据中心对称图像的特点可得答案.

【详解】

/(I-X)=[2(1-X)2-4(1-x)+v-'-)-2(1-x)+1=(2x2+\](e^x-e')+2x-i

/(I+x)=[2(1+x)2-4(1+x)+-eHlM))-2(1+x)+1=(2x2+l)(ex-ex)-2x-1

所以"1—x)+/(l+x)=—2,所以/(x)的图像关了点(L—1)成中心对称.

由/(x)[0,2]上的最大值为M,最小值为m,

由中心对称图像的特点可得：M+m=-2故答案为：-2

2.已知函数”6=上1+±1+'工1+3图像与函数8(力=9a=-9图像的交点为(4)，1),

.XA.L-V4，+\

_叫

。2，%)，…，(工,则Z(X,+%)=()

f=l

A.20B.15C.10D.5

【答案】A

【分析】分析函数“可，g(x)的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答.

【详解】函数"x)=1+」+」一+3定义域为(7,0)5。,2)52,4)54,内)，

其图象是4条曲线组成，在区间(-8,0),(0,2),(2,4),(4,+8)上都单调递减，

当x<0时，f(x)<3,当0<x<2或2Vx<4时，/(力取一切实数，当x>4时，/(x)>3,

/(4一力+/(力=(_'_y_，+3)+(，+心+二+3)=6,即/(X)的图象关于点

(2,3)对称,

Q

函数g(x)=