2021-2022学年江西省宜春市湖田中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年江西省宜春市湖田中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，，那么集合（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A考点：集合的运算，所以，故选A2.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，，，，则球O的表面积等于（

）A．4π B．3π C．2π D．π参考答案：A由题意得，因为平面，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，又因为，所以，所以球的表面积为，故选A.

3.若、为实数，则“”是“或”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A

本题主要考查了不等式的性质、充分条件与必要条件的判断等，难度中等。当0<ab<1时，则有0<a<或0>b>；当a<或b>时，可能是a负，b正，此时得不到0<ab<1；故“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件；4.（01全国卷理）函数的反函数是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：A5.实数m满足方程，则有

A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.已知数列满足（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C7.三棱柱底面是等边三角形，顶点在底面的射影为点B，且是一个等腰直角三角形，则异面直线AB与所成的角大小为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：D9.复数z=a2﹣2+（3a﹣4）i（a∈R）的实部与虚部相等，且z在复平面上对应的点在第三象限，则a=（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意可知解得a=1或2，当a=2时，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，即a=1时符合题意．【解答】解：由题意可知：a2﹣2=3a﹣4，解得a=1或2，当a=2时，z=2+2i，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，∴a=1．故选：A．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是

（

）A． B． C． D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义运算，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______________参考答案：12.设函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、.是坐标原点，则----

．参考答案：13.已知a∈R+，不等式x+≥2,x+≥3,…，可推广为x+≥n+1，则a的值为

．参考答案：14.设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质：若{an}为等比数列，则Sn，Sn+1，Sn+2，…也成等比数列．【解答】解：因为{an}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比数列，则S3（S9﹣S6）=（S6﹣S3）2，即8×（S9﹣S6）=（﹣1）2，解得S9﹣S6=，即a7+a8+a9=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的前n项和，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，熟练利用等比数列的性质解题可以简化计算过程，给解题带来方便．15.从集合内任选一个元素，则满足的概率为

．参考答案：答案：

16.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_____________.参考答案：略17.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．参考答案：205【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DE//BC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.19.（12分）已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间；

(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围

参考答案：解析：（1）由，得，函数的单调区间如下表：

-极大值ˉ极小值-所以函数的递增区间是,,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得20.在。（1）若。（2）若。参考答案：（1）由余弦定理及已知条件，得。又因为的面积等于（2）由题意，得.当由正弦定理得所以。21.(本小题满分12分）如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点,(1).求证:D1E⊥A1D;(2).在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由参考答案：（1）连结交于，∵四边形为正方形，∴，∵正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为，，∴平面，又平面∴，又，∴平面，又平面，∴.……………6分（2）存在满足条件的.解法一：假设存在满足条件的点，过点作

于点，连结，则，所以为二面角的平面角，……9分所以，在中，所以，又在中，，所以，∴，在中，，∴．故在线段上存在一点，使得二面角为，且.

………12分解法二：依题意，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，所以，.易知为平面的法向量，设，所以,设平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，即，解得.又因为，所以.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.……………12分22.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．参考答案：（1）证明见解析；（2）.令，则，∴，∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值．∴．考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.【一题多解】对于（