数学分析 第六章 课件 不定积分

数学分析第六章课件不定积分第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三第一节不定积分的概念

一、原函数定义1例1第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三

问题一存在性：哪些函数一定存在原函数？问题二唯一性：由定义，显然不唯一，且有：若F（x）为f（x）的一个原函数，则对任意常数C，F（x）+C也是f（x）的一个原函数。这也说明，若f（x）存在一个原函数，则其必有无穷多个原函数。问题三若F（x）为f（x）的一个原函数，F（x）+C是否所有的原函数？即：是否f（x）的每一个原函数都具有F（x）+C的形式？回答：下面的定理：第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三定理6.1若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，则F(x)+C是f(x)的全体原函数，其中C是任意常数。证明：Lagrange中值定理的推论。根据原函数的这种结果，引入定义。第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例2

这里没有注明x的变化范围，通常都理解为使等式成立的x的全体。不定积分不是一个函数，而是一族函数，在几何上他是一族曲线，称为积分曲线，只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而得到。

定义6.2f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在区间I上的不定积分，记为从而,若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则有

,C为任意常数

二、不定积分的概念注意

第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三由定义知：或或1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基本积分公式表：三、基本积分公式表注意第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期三强调1、背熟2、积分常数不能丢第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期三四、不定积分的运算法则微商运算法则不定积分的运算法则（线形运算法则）1、2、证明：说明一下法则的体系（极限求导……定理6.2第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例3.求解:例4.求解:第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例5.求解：例6.求解：第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期三前面给出了基本积分表和分部积分的性质，但所能计算的积分非常有限，且不能总用定义求。例：第二节换元积分法与分部积分法第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三一.换元积分法

先看例子：求公式表中只有比较两积分：凑一个因子2一般情况：

第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三（凑微分法或第一换元法）设具有原函数,即

可导,记，则有证明：与复合函数的微分法则对应例：定理6.3第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三求解:例1求解：例3第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例2求解:第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例4.求解法2:由例2得，第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期三增加例5

求解法1：由例3得第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期三解法2：增加有些积分不能直接凑出微分.而是选择变量替换

第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期三（第二换元法）

设可导，且又设则

证：定理6.4第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例9求（a>0）令,则其中第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例10求解：设则

于是作辅助三角形得到因此：原式其中第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三总结上面几例，我们利用三角公式，对一些无理式作了如下代换：，令对于，令对于，令目的在于消去根号，因为它们比较典型，故特别称之为三角代换。对于第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三由乘积的微商公式：故这个公式称为分部积分公式。或关键：适当选取

和，使容易求。2．分部积分法第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例13选幂函数与指数函数乘积的积分总结：幂函数与正（余）弦函数乘积的积分第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例14例15总结：选

有时分部积分后会遇到原来的不定积分。注意加c

第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例17

求解：原式=所以第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例18解：原式=移项即得求第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例20解：下面求两种方法求：类似的第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期三方法2

从出发分部积分

类似的

第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期三前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们可以求出许多初等函数的不定积分。但是要灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函数有可能不再是初等函数，这时我们也说积分积不出来。

总结：第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期三一些特殊类型的函数的积分：1.有理函数的积分：若真分式之和。因此有理函数的积分只需讨论真分式的积分：有理函数不是真分式，用多项式除法可将其写成一个多项式与一个多项式的积分和有理真分式的积分思路：把被积函数（真分式）分解为简单分式的和。两个多项式的商称为有理函数,即变量和常数经有限次四则运算得到的式子。第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三所以归纳为简单分式的积分：

都可以分解为有限个简单分式的和。每个真分式根据代数基本定理，1、简单分式有四种（两类）（1）（2）（3）（4）其中第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三代数基本定理:代数基本定理﹝FundamentalTheoremofAlgebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域內有且只有n个根，重根按重数计算。因此，任意次数的实系数多项式在实数域都能够分解成一次和二次因式的乘积

则有分解式：第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三下面逐个求不定积分：（1）（2）（3）要求只需求即可下面求第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三（4）,只需求即可.其中而第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期三解：设，A，B，C是待定系数。比较两端同次幂的系数得线性方程组解得：例21求方法1:(比较系数法)下面介绍两种确定待定系数的方法。在等式右边通分后,令等式两边的分子相等得第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期三方法2：（取特殊值法）在等式两边同乘以后令，得等式两边同乘以后，令得令得将A，C的值代入，即得于是第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期三2.三角函数有理式的积分：变换称为万能公式第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例24.求解：第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例26.求解法一：解法二：解法三：利用万能公式,第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例27.求解：第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三此外，还可以利用其它技巧:例29.求解法一：利用万能公式解法二：第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三3.某些无理函数的积分：（1）第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例30.求解：第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期三3.某些无理函数的积分：（2）转化为三角函数有理式的积分当时，第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例32.求解法一：第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期三解法二：第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期三习题例1.

求解:原式第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例2.

求解:原式分部积分第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例3.

求解:取说明:

此法特别适用于如下类型的积分:第五十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例4.

求解:设则因连续,得记作得利用第五十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期三补充题例1.设解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又第五十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例2.

求解:

令则原式第五十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期三例3.

求解:

令比较同类项系数,故∴