不等式与不等关系

之前，我们已经学过了相等关系.回顾知识大小相等相等的性质：（1）a=a(自反性）；（2）若a=b,则b=a(对称性）；（3）如果a＝b，且b＝c，那么a＝c（传递性）.

但是，我们知道，现实生活中，存在着很多不等关系.

如：线段的长短不同.新课导入质量不同人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.3.1不等关系与不等式3x+2>6a≤c例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系多喝酸奶身体棒！！某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：p≥2.3%f≥2.5%小结：

1、现实生活中很多量的不等关系可以用数学中量的不等关系表示；

2、同学们在学习过程中应多于实际相结合，在现实中寻找不等关系.思考：我们知道，等式有一些基本性质，如“等式的两边加（减）同一个数，结果不变”.不等式是否也有类似的性质呢？比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a__b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a__b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a__b；a－b＝0⇔a___b；a－b<0⇔a__b.自学导引1．><＝><常用的不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b__a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a__c；(3)可加性：a>b⇒a＋c__b＋c；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac__bc；a>b，c<0⇒ac__bc；(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c__b＋d；(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac__bd；(7)乘方法则：a>b>0，n∈N，n≥1⇒an__bn；2．<>>><>>>>证明：要自己思考啊！证明：：尝试证明性质(8)．两个实数比较大小关系在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号，从而比较出两个数的大小关系．(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系得到两个数的大小．名师点睛1．不等式性质的理解(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．(2)性质4中①当c>0时，得同向不等式．②当c<0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．(5)性质7、8成立的条件：n是大于1的整数，a>b>0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，2．题型一用不等式(组)表示不等关系配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．[思路探索]根据甲、乙两种原料的限额列不等式．【例1】用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．

某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)，则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：(13－2x)·x≥20.【变式1】已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[思路探索]先作差，然后因式分解变形．解

x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2题型二

比较大小【例2】作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．

已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解∵(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)【变式2】已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a>b，则ac<bc；(2)若ac2>bc2，则a>b；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；审题指导

判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系．题型三

不等式性质的应用【例3】[规范解答](1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题． (2分)(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故该命题为真命题(4分)(5)由已知条件知a>b⇒a－b>0，∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题． (12分)【题后反思】利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．【变式3】判断下列各命题是否正确，并说明理由．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．误区警示

运用不等式性质不当致错【示例】在求解某些有关联的未知数的范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)导致所给变量的范围改变，从而出现错误．[正解]法一

(待定系数法)设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.又因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即5≤f(－2)≤10.所以f(－2)＝4a－2b＝