2023年北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九年级上册知识点总结

第一章特殊的平行四边形复习

中考考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，重要出现的题型多

样，注重考察学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容重要

涉及：矩形、菱形、正方形的性质与鉴定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形

之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目的

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和鉴定，通过定理的证明和应

用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思绪分析法和综合法。

重难点：

1.矩形、菱形性质及鉴定的应用

2.相关知识的综合应用

知识点归纳

矩形菱形正方形

边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等

性角四个角都是直角对角相等四个角都是直角

质

对

角互相垂直平分，且每条互相垂直平分且相等，每条对角线平

互相平分且相等

线对角线平分一组对角分一组对角

,有三个角是直

•四边相等的四边形；

角；

•是平行四边杉且有一

•是平行四边彬且•是矩用，且有一组邻边相等；

鉴定组邻边相等；

有一个角是直角；•是菱形，且有一个角是直角。

•是平行四边形且两条

•是平行四边形且

对角线互相垂直。

两条对角线相等.

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形

一•矩形

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形.

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）—一个角是直角.

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角;

性质2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的鉴定

矩形鉴定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形.

注意此方法涉及两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形鉴定方法2：四个角都是直角的四边形是矩形.

矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为60°,则该矩形的面积为

例2:菱形具有而矩形不具有的性质是（)

A.对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等;D.邻角互补

例3：已知：如图，D\BCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,,H,

•求证：•四边形EFGH是矩形.

二.菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等.

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的鉴定

菱形鉴定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法涉及两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.

菱形鉴定方法2：四边都相等的四边形是菱形.

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.

求证:/AFD=/CBE.

B

例2己知：如图oABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、8<2分别交于£、F.

求证：四边形AFCE是菱形.

口

例3、如图，在ABCD中，0是对角线AC的中点，过点。作

AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F,求证:四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中,E是BC上一点，AE、BD交于M,

若AB=AE,NEAD=2/BAE。求证：AM=BE。

例5.（10湖南益阳）如图，在菱形/BCO中，ZA=60°,AB=4,。为对角线BO的中点，过O

点作OELA8,垂足为E.

DC

O

(1)求线段BE的长.

例6、(2023四川自贡)如图，四边形ABCD是菱形，DELAB交BA的延长线于E,DFLBC,交

BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、(2023山东烟台)

如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF

=2.

(1)求证：△BDEgZ\BCF;

(2)判断4BEF的形状，并说明理由；

(3)设ABEF的面积为S,求S的取值范围.

三.正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)正方形

②有一个角是直角的平行四边形(矩形)

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴

是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

由于正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总

结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

注意：正方形的一条对角线把正方形提成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是

45°；正方形的两条对角线把它提成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质.

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

正方形的鉴定方法:

•(1)有一个角是直角的菱形是正方形;

•(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

•注意:1、正方形概念的三个要点：

•(1)是平行四边形；

•(2)有一个角是直角；

•(3)有一组邻边相等.

2、要拟定一个四边形是正方形，应先拟定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，拟定

是正方形.

例1已知:如图,正方形ABCD中，对角线的交点为0,E是0B上的

点，DG_LAE于QDG交0A于F.

求证:0E=0F.

例2已知:如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作///

，2,作BMJJi于M,DN_L入于N,直线MB、DN分别交匀于Q、P点.

求证：四边形PQMN是正方形.

例3、（2023海南）如图，尸是边长为1的正方形A38对角线AC上一动点（。与A、C不重合）,

点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证:①PE=PD；②PELPD；

（2）设AP=x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时,y取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1.对角线互相垂直平分的四边形是（）

A.平行四边形、菱形。B.矩形、菱形。。C.矩形、正方形。。D.菱形、正方形

2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）

A.等腰梯形。。B.正方形C.平行四边形。D.矩形

3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不对的的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACJ.BD时，它是菱形

C.当/ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方反

上

:口RD0

4.如图，在△ABC中，点E,D,尸分别在边AB,8C,C4上,且。E〃C4,。尸〃84.下列四个

判断中，不对的的是（）

A.四边形AEOE是平行四边形。B.假如NB4C=90',那么四边形小'是矩形

C.假如AO平分N84C,那么四边形AEZ才是菱形

D.假如AOL8C且43=4。,那么四边形4功不是菱形

5.如图，四边形ABC。为矩形纸片.把纸片ABC。折叠，使点8恰好落在CD边的中点E处，折痕

为AF.若8=6,则AF等于（）

A.473»B.373»C.4夜。D.8

E

6.如图，矩形ABC。的周长为20cm,两条对角线相交于。点，过点。作AC的垂线分别交

AD,BC于E,F点,连结CE,则△。£>£：的周长为（）

A.5cmB.8cm。C.9cmo。D.10cm

7.在右图的方格纸中有一个菱形ABC£>（A、B、C、。四点均为格点），

若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为

8.如图，在矩形A3CO中，对角线AC,3。交于点O,已知NAO。=120°,A8=2.5,则AC的

长为.

9.边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm,则另一条对角线的长是.

10.如图所示，菱形ABCO中,对角线AC,30相交于点。，若再补充一个条件能使菱形ABC。成

为正方形,则这个条件是（只填一个条件即可）.

BB

11.如图，已知尸是正方形A筋对角线3〃上一点，且BP=%则N4"度数

是.

12.如图，矩形ABCD中，。是AC与80的交点，过。点的直线上户与ABCO的延长线分别交

于E,F.

（1）求证:4BOE%ADOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，认为AE,C,尸顶点的四边形是菱形?证明你的结论.

AF

B

13.将两块全等的含30。角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.

图1图2图3图4

（1）四边形ABC。是平行四边形吗？说出你的结论和理由：.

（2）如图2,将沿射线BO方向平移到Rt△aGOi的位置，四边形是平行四

边形吗?说出你的结论和理由:.

（3）在沿射线BO方向平移的过程中，当点B的移动距离为时,四边形48Goi为

矩形，其理由是；当点B的移动距离为一

—时,四边形4BC}D}为菱形，其理由是.（图

3、图4用于探究）

应用探究：

1.如图，将矩形A3CD纸片沿对角线6。折叠，使点C落在C'处，8C交于E,若

N0BC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）

A.6个oB.5个。C.4个D.3个

2.如图,正方形ABC。的面积为1,M是48的中点，则图中阴影部分的面积是（）

3224

A.—.C.一°°D.一

10359

3.已知AC为矩形ABC。的对角线,则图中N1与Z2一定不相等的是（)

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如

图），则重叠四边形的面积为cm2.

5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3

厘米，EF=4厘米，则边AD的长是______________厘米.

6.如图，已知NAOB点E在08边上，四边形AE即是矩形.请你只用无刻度的直尺

在图中画出NAQB的平分线（请保存画图痕迹）.

7.如图：矩形纸片4BC。，AB=2,点E在3C上，且4E=EC.若将纸片沿5E折叠，点B恰好

落在AC上，则AC的长是

。第二章一元二次方程

一、一元二次方程

(一)一元二次方程定义

具有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

(二)一元二次方程的一般形式

加:+c=O(aHO),它的特性是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等

式右边是零，其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c

叫做常数项。

例方程(6一2)x""2+(3一㈤%—2=0是一元二次方程，则根=.

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

直接开平方法合用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。当人20时，

x+a=+4b,x=当b<0时，方程没有实数根。

例第二象限内一点A(x—1,x2—2),关于x轴的对称点为B,且AB=6,则*=—

2、配方法一般环节：

(1)方程ad+以+，=03/0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.

(2)将所得方程的常数项移到方程的右边。

(3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

(4)配方，化成(x+a)2=。

(5)开方，当bNO时,x=-a土血；当b<0时，方程没有实数根。

例若方程卜-4)2=。有解，则。的取值范围是().

A.«<0B.a>0C.«>0D.无法拟定

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程a/+bx+c=0(a*0)的求根公式：

2a

例已矢口/+以——？=。,那么3f+12x+2023的值为

4、因式分解法

一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方

法。

例已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+l5=0的两根，则第三边y的取值范围是

().

A.y<8B.3<y<5c.2<y<8D.无法拟定

补充:一元二次方程根的判别式

根的判别式

1、定义：一元二次方程以2+以+。=0370)中，/-4ac叫做一元二次方程

ax2+区+c=0(aW0)的根的判别式。

2、性质：当〃-4">0时，方程有两个不相等的实数根；当〃一4ac=0时，方程

有两个相等的实数根;当/-4讹<0时，方程没有实数根。

例若关于x的方程x2-2(a-1)x=(b+2>有两个相等的实根，则22。23日5

的值

为.

例若关于X的方程x2-2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数为()

(A)-5(B)-4(C)-3(D)-2

补充:一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

假如方程ax?+/?X+C=0("0)的两个实数根是X],%2，那么

hc

%+I2=，*工2二一°

aa

第三章概率的进一步结识

一、知识概括1、频率

(1)在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；

(2)每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的坡率;

频数频数

即:频率

数据总数实验次数

⑶在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率

的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

2、概率的求法：

(1)一般地，假如在一次实验中，有n种也许的结果，并且它们发生的也许性都相等，

事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-

n

(2)表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(3)树状图法

通过画树状图列出某事件的所有也许的结果,求出其概率的方法叫做树状图法。

(当一次实验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列

出所有也许的结果，通常采用树状图法求概率。)

例在布袋中装有两个大小同样，质地相同的球，其中一个为红色,一个为白色。模拟

“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验()

(A)“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会

(B)“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会

(C)“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会

(D)“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会

例如图，图中的两个转盘分别被均匀地提成5个和4个扇形,每

个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘,转盘停止后,指

针都落在奇数上的概率是()

33

(A)\f(2,5)(B)—8(C)—。(D)错误！

例如图，一个小球从4点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左

或向右两种机会均等的结果，小球最终到达”点的概率是()

(A)-(B)-(C)-(D)-

2468

例如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块

1、2、3、4,将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，

那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是()

|||3

(A)-(B)-(C)-(D)-

2345

例在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字

的机会是均等的.当同时转动两个转盘，停止后指针所指

的两个数字表达两条线段的长，假如第三条线段的长为5,

那么这三条线段不能构成三角形的概率是（）

三、典型例题

例1.袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取

两次。求下列事件的概率。

⑴全红。（2）颜色全同。（3）无白

解：

红黄白

红（红，红）（红，黄）（红，白）

黄（黄，红）（黄，黄）（黄，白）

白（白，红）（白，黄）（白，白）

P（全红）=[

P（颜色全同）=g

4

P（无白）=§

说明:颜色全同涉及都是红色或都是黄色或都是白色;无白指没有白色球。

例2.一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是由0~9这十个数字中的一个，王叔

叔忘掉了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？

解:他前面的4个数字都已知道只有最后两个数字忘掉了，而最后两个数字每个数字出现的也许

结果都有10种情况，那么组成两个数字的也许结果就有100种，因此正好是密码上的最后两个数字

的概率是---。

100

例3.袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入5个黑球后，小颖通过多次摸球实

验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%,30%,30%,10%,5%,

试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个?

解：小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5%,则可以由此估计出袋中共有球

得=100（个）。说明此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），则有红色球

5%100X

25%=25个，黄色球100X30%=30个,蓝色球100义30%=30个,白色球100X10%=1。

个•

例4.甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次

（1）若两次数字之差的绝对值为0,1或2,则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗?为

什么？

（2）若两次数字和是2的倍数，则甲胜，而若和是3的倍数或5的倍数，则乙胜.这个游戏对

双方公平吗?为什么？

解：（1）用列表的方法可看出所有也许的结果:

134568

1023457

2112346

4310124

5421013

6532102

从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为0的有4种也许结果，1的有7种也许

结果，2的有6种可能结果，所以甲胜的概率为二，而乙胜的概率为二，因此

3030甲胜的

也许性比乙大，所以不公平。

（2）通过列表可知：

134568

1245679

23567810

457891012

5689101113

67910111214

出现的两个数字之和是2的倍数有15种，出现的两个数字之和是3的倍数有1。种，5

的倍数有6种，所以甲胜的概率为"，而乙胜的概率为屿，因此甲胜的可能性

3030比乙

小，所以不公平。

例5.小明与同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验

来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？

分析:可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设

计。

解:用12个完全相同的小球分别编上号码1〜12,代表12个生肖，放入一个不透明的袋中摇

匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回,再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次

实验，反复上述实验过程多次，记录每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的实验

频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章图形相似与相似三角形知识点解读

知识点L.相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。（即相应角相等、相应边的比也相等的图形）

解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.

（2）全等形可以当作是一种特殊的相似，即不仅形状相同,大小也相同.

（3）判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.

例1.放大镜中的正方形与原正方形具有如何的关系呢？

分析:要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.

解：是相似图形。由于它们的形状相同，大小不一定相同.

例2.下列各组图形:①两个平行四边形;②两个圆;③两个矩形;④有一个内角80。的两个等腰三角

形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是

（填序号）.

解析:根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰

三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它

们都相似.答案：②⑤⑥.

知识点2.比例线段

对于四条线段a,b,c,d,假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

q=£(或a:b=c：d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

bd

解读:(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作@=£(或a:b=c:d),不能写成其他形式，即比例线

bd

段有顺序性.

(2)在比例式@=£•(或a:b=c:d)中，比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项,b,c为比例内项，d

bd

是第四比例项.

(3)假如比例内项是相同的线段，即@=2或a：b=b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。

bc

(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位,c和d统一

为另一个单位也可以，由于整体表达两个比相等.

例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求

b

分析:求q即求与长度的比，与的单位不同,先统一单位，再求比.

b

3

例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=—dm,求c的长度.

2

分析:由a,b,c,d成比例，写出比例式a：b=c:d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.

知识点3.相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的相应角相等，相应边的比相等.

解读：(1)对的理解相似多边形的定义，明确“相应”关系.

(2)明确相似多边形的“相应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.

例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A田।CQi

的最大边长为30,则四边形A,BIGDI的最小边长是多少？

分析：四边形ABCD与四边形AIBICQI相似，且它们的相似比为相应的最大边长的比，即为再

3

根据相似多边形相应边成比例的性质，运用方程思想求出最小边的长.

知识点4.相似三角形的概念

相应角相等，相应边之比相等的三角形叫做相似三角形.

解读:(1)相似三角形是相似多边形中的一种；

(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

(3)相似三角形应满足形状同样，但大小可以不同；

(4)相似用心”表达，读作“相似于”；

（5）相似三角形的相应边之比叫做相似比.

注意：①相似比是有顺序的，比如△ABCSAAIBIC,相似比为k,若△AiBiGs^ABC,则

相似比为②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊

k

情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似;若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等.

例6.如图，已知△ADEsaABC,DE=2,BC=4,则和的相似比是多少？点D,E分别是AB,A

C的中点吗?

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性,（2）图形的辨认.

DEADAEyDE21

解：由于△ADEsa,ABC,所以——=————，由于——=-=-

BCABACBC42

AnApi

所以把=把=上,所以》《分别是人8人（：的中点.

ABAC2

知识点5.相似三角的鉴定方法

（1）定义:相应角相等,相应边成比例的两个三角形相似；

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相

似.

（3）假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似.

（4）假如一个三角的两条边与另一个三角形的两条边相应成比例，并且夹角相等，那么这两个三

角形相似.

（5）假如一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相应成比例,那么这两个三角形相

似.

（6）直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形都相似.

通过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型:

①平行线型

常见的有如下两种,DE〃BC,则AADE^AABC

②相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知N1=NB,则由公共角NA得,AADEs^ABC

如下左图，已知/1=/B,则由公共角/A得，AADC^AACB

如下右图，已知/B=ND,则由对顶角N1=N2得，△ADEs/\ABC

③旋转型

已知NBAD=NCAE,NB=ND,则△ADEs^ABC,下图为常见的基本图形.

④母子型

已知/ACB=90°,AB_LCD,则BDs/\ABCs/\ACD.

解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.

例7.如图，点D在AABC的边AB上，满足如何的条件时，Z\ACD与aABC相似？试分别

加以列举.

分析:此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，4ACD与4ABC已有公共角NA,

要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.

解:当满足以下三个条件之一时,AACDs^ABC

AF).J

条件一:/l=NB;条件二：/2=NACB;条件三:—=—，即AC?=AD・AB.

ACAB

知识点6.相似三角形的性质

(1)相应角相等，相应边的比相等；

(2)相应高的比，相应中线的比，相应角平分线的比都等于相似比；

(3)相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.

例8.如图，已知△ADEsaABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7

(1)求DE、AE的长;

(2)你还能发现哪些线段成比例.

分析:此题重点考察由两个三角形相似，可得到相应边成例，即——=——=—.

BCABAC

DEADAE

解:⑴:△ADE^AABC,

8x

T,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7设DE=x，则一=一，，12x=8X15,x=10;

1215

0Q

设AE=a,贝！J-------=—,a=14.⑵处二次

a+712BDEC

AB2

例9.已知△ABCS^AIBICL，----=一，△ABC的周长为20cm,面积为40cmz.

443

求（1）△AiBiG的周长；（2）△AiBiCi的面积.

分析：根据相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方求解.

易求出AAiBC的周长为30cm;AAiB>C।的面积90cm2

五、视图与投影

1、视图

三视图涉及：主视图、俯视图和左视图。

在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚

线。

例如图，一几何体的三视图如右：

那么这个几何体是.[=1

主视图左视图俯视图

例假如用口表达1个立方体，用题表达两个立方体叠加，用■表达三个立方体叠加，那

么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观测,可画出的平面图形是（)

rBnLE

ABCD

2、投影

（1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。

（2）平行投影:太阳光线可以当作平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投

影。

（3）中心投影:探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以当作是从一点发出