河南省商丘市永城蒋口乡联合中学2022年高三数学文月考试题含解析

河南省商丘市永城蒋口乡联合中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………（）A． B. C． D.参考答案：A试题分析：B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A.考点：函数的奇偶性，函数的单调性.2.若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是

(

)A．0

B．2

C．4

D．8参考答案：C3.已知数列{an}、{bn}满足bn=log2an，n∈N+，其中{bn}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】由已知得an=2，计算可判断{an}为等比数列，于是a1a2017=a9a2009=4，从而得出b1+b2017=2，代入等差数列的求和公式即可．【解答】解：设{bn}的公差为d，∵bn=log2an，∴an=2，∴==2=2d．∴{an}是等比数列，∴a1a2017=a9a2009=4，即2?2=2=4，∴b1+b2017=2，∴b1+b2+b3+…+b2017==2017．故选B．4.已知集合A={x||x﹣1|≤2}，B={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{0，2} C．{1} D．{﹣1，1，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出A，由条件和交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，又B={x|x=2n﹣1，n∈Z}是奇数集，则A∩B={﹣1，1，3}，故选D．【点评】本题考查交集及其运算，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．5.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．6.执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】根据程序框图的含义，得到分段函数，由此解出关于的方程，即可得到可输入的实数值的个数。【详解】根据题意，该框图的含义是：当时，得到函数；当时，得到函数，因此，若输出的结果为1时，（1）

若，得到，解得，（2）

若，得到，解得，因此，可输入的实数的值可能为，，共有2个。故答案选B。【点睛】本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题。7.已知命题，则为（

）A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知函数为奇函数，，则=（

）A、3

B、6

C、9

D、12参考答案：B9.“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：10.设，且，则等于A．2

B．－2

C．8

D．－8参考答案：C【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，向量，且，则实数x等于______________.参考答案：912.记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为

.参考答案：【知识点】几何概型K3为圆心在原点，半径为4的圆面．是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域内任取一点，则由几何概型可知点M落在区域的概率为.【思路点拨】为圆心在原点，半径为4的圆面．是一个直角边为4的等腰三角形，求出面积，再求概率。13.记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．参考答案：[，4]【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件

的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件

的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．14.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积为：_______参考答案：15.函数f（x）=，则f（log3）=．参考答案：【考点】3T：函数的值；5B：分段函数的应用．【分析】由＜0，得f（log3）=f（log36），再由log36＞0，能求出结果．【解答】解：f（log3）=f（log36）=（）=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16.二项式的展开式中x3项的系数为

．参考答案：-12017.已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2017）+f（2018）=．参考答案：﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质进行转化求出函数的周期，进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），则f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）=0，则f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，f（2018）=f（4×504+2）=f（2）=﹣f（0）=0，则f（2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系推出函数的周期性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）因为抛物线经过点，且.所以，解得，所以抛物线，焦点，由题意知解得所以椭圆：故抛物线的方程为，椭圆的方程为.（2）假设存在正数适合题意，由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为由消去，整理得因为直线与抛物线有两个交点且，所以设，则所以因为，所以由题意知恒成立，所以恒成立因为，所以，解得又因为，所以故存在正数适合题意，此时d取值范围为.19.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知?=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简?=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=，∴c?acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是AB，BC的中点。（1）求证：PF⊥FD；（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值。参考答案：（1）连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．

……………2分又PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD∴DF⊥PA，

……………3分又PA∩AF＝A，

……………4分（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．………………5分再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，

………………6分∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．

………………7分从而满足AG＝AP的点G为所求．

………………8分

（3）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD，

所以是与平面所成的角．又由已知可得，所以，

所以．……9分设平面的法向量为，由得，令，解得：，所以．

……10分又因为，所以是平面的法向量，……11分所以．由图知，二面角的余弦值为．

……12分21.(本小题满分13分)已知函数．(1)

求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在上的最大值和最小值，并指出此时相应的x的值．参考答案：解：(1)

∴

···························4分由，得∴单调递减区间为·················································7分(2)由(1)知

∵

∴∴当当

13分略22.已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0当a=0时，数f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当a≠0，则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），f′（x）＜0的解集为（1，﹣），∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；a≥0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；（Ⅱ）证