组合(第二课时) 高二数学组合整理三课时人教版 高二数学组合整理三课时人教版

10.3.2组合(第二课时)

杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-271.

教学目标

掌握组合数的两个性质并能简单应用.

杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-272.Ⅰ.复习与引入1．(设置情境)计算：（1）（2）（让学生计算一会）有简洁明快的计算方法吗？本节课就来探讨这个问题（点明课题）．2．什么叫做组合？组合的特征是什么？3．什么叫做组合数？它的计算公式是怎样得到的？杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-273.2组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从排列与组合的定义可知，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．因此，如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合Ⅰ.复习与引入杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-274.3．组合数及其公式从个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．记作______．这里要注意是一个数，应该把它与“组合”区别开来．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素的所有组合是ab、bc、ac，而组合数是___________．排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：Ⅰ.复习与引入杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-275.

第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数______．第2步，求每个组合中m个元素的全排列数______．

根据分步计数原理，得到____________因此

这里m、n∈N*，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．该公式可以写成：上面第一个公式一般用于计算，但当m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．

Ⅰ.复习与引入杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-276.Ⅱ.讲授新课1．组合数的两个性质为了更好地计算组合数，我们先研究组合数两个性质．先看下面的问题：从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出3个元素的组合与每次取出1个元素的组合为

我们看到，从4个元素中每次取出3个元素的一个组合，与剩下1个元素的组合是—一对应的．因此，从4个元素中取出3个元素的组合数，与从这4个元素中取出（4－3）个元素的组合数是相等的，即杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-277.Ⅱ.讲授新课一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下n－m个元素的每一个组合—一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即性质1

（学生自行证明）为了使上面公式在m＝n时也能成立，规定，当时m>n/2

时，利用这个性质计算比较简便．杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-278.Ⅱ.讲授新课

再看下面的问题：从从a1,a2,a3,……，an，an+1这n＋l个不同元素中，每次取出m个元素．（1）可以有________个不同的组合？（2）在这些组合里有______个含有a1？（3）在这些组合里有______个不含有a1？（4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？从n＋1素中取出m个元素的组合有_______个，其中含有a1的有____________个，不含a1________________的有个．根据分类计数原理，得杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-279.Ⅱ.讲授新课性质2（学生自行证明）注意：上面两个性质，除了可用组合数公式证明外，还可以根据组合定义直接得到．用组合数公式证明，可以提高对数学式子的变形能力；用组合定义直接得到，可以认识两个性质的意义，有利于对性质的理解和记忆2．例题分析例1

计算：解：．杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2710.Ⅱ.讲授新课例2

解方程：解：原方程为

∴2x＝x＋4

或

x＝7解得：x＝4

或

x＝7经检验x＝4，x＝7都是原方程的根。杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2711.Ⅱ.讲授新课例3计算：（1）（2）．

分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形求和；另一方面，变形，接着，…，反复使用公式．杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2712.Ⅱ.讲授新课解：（1）原式．

（2）原式．另一方法是原式=．杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2713.1.A.课本A.课本P991-3(板演),4-6(口答)B.补充练习：1．计算：2．求证：3．解决【设置情境】中的问题。Ⅲ.课堂练习杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2714.Ⅲ.课堂练习杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2715.Ⅲ.课堂练习杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2716.Ⅲ.课堂练习2杨卫国2006-4-272006-4-272006-4-2717.组合数的两个性质要从组合的定义去理解和记忆。性质1在当m>n/2时，转化为可简便计算；性质2表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。Ⅴ.课后作业

(一)课本P1042、6、7、8；苏大本节内容。(二