浙江省金华市北溪中学2021年高二数学文测试题含解析

浙江省金华市北溪中学2021年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列的通项为=，，其前项和为，则使>48成立的的最小值为（

）

A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B2.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中数字1，2相邻.这样的五位数有

个．参考答案：36略3.如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（

）A．4、5、6

B．6、4、5

C．5、4、6

D．5、6、4

参考答案：C4.数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N+），则数列的前10项和为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用“累加求和”可得an，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N+），∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，∴=2．∴数列的前10项和=+…+=2×=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；⑵;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数(

)A、1

B、2

C、3

D、0参考答案：B6.已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．7.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.8.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 ()．A．6

B．7

C．8

D．23参考答案：B略9.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D10.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆O的方程为x2+y2=2，圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是．参考答案：1或﹣7【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由题意得，弦PQ的长度最大为圆M的直径，用点斜式设出直线PA的方程，根据直线PA和圆O相切，圆心O到直线PA的距离等于圆O的半径，求出PA的斜率k，即得直线PA的方程．【解答】解：当直线PA过圆M的圆心M（1，3）时，弦PQ的长度最大为圆M的直径．设直线PA的斜率为k，由点斜式求得直线PA的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0．由直线PA和圆O相切得

=，∴k=1或k=﹣7，故答案为：1或﹣7．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断弦PQ的长度最大为圆M的直径是解题的关键．12.在数列{an}中，若a1=3，an+1=an+2（n≥1且n∈N*），则数列{an}的前n项和S12=

．参考答案：168【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=an+2（n≥1且n∈N*），∴数列{an}是等差数列，首项为3，公差为2．其前n项和S12=12×3+×2=168．故答案为：168．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，则α+β=．参考答案：﹣利用韦达定理求得tan（α+β）的值，再根据α+β的范围，求得α+β的值．解：∵α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，∴tanα+tanβ=﹣，tanα?tanβ=+1，∴tan（α+β）===1，结合α+β∈（﹣π，π），∴α+β=，或α+β=﹣，当α+β=时，不满足tanα+tanβ=﹣，故舍去，检验α+β=﹣，满足条件．综上可得，α+β=﹣，故答案为：﹣．14.已知正数数列（）定义其“调和均数倒数”（），那么当时，=_______________.参考答案：15. 参考答案：

16.记为两数中的最小值，当正数变化时，也在变化，则的最大值为

▲

．参考答案：略17.按下列程序框图来计算：如果x=5,应该运算______次才停止.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面,，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：直线；(Ⅱ)求直线与平面的距离；（Ⅲ）若，求二面角的平面角的余弦值.参考答案：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，又AD∥平面PBC

(2)如右图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期和最值；（2）求函数的单调递增区间．参考答案：.解：（1）

…4分，.………6分当即时，函数取得最大值2

…………8分（2）由不等式得：的单调递增区间为：

…………12分

略20.(10分)已知函数，a，bR，且a＞0．（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；（2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；参考答案：当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值为－1－e－1．

21.（本题满分16分）今年的元旦有一个自驾游车队，该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），若车队匀速通过该隧道，设车队的速度为m/s，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为．（1）将表示为的函数；（2）求该车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度．参考答案：（1）当时，当时，所以，……………7分（2）当时，在（m/s）时，当时，当且仅当，即：(m/s)时取等号.因为，所以当(m/s)时，因为,所以当(m/s)时，答：该车队通过隧道时间的最小值为250s，此时该车队的速度为24m/s．…………16分22.（13分）设的△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．（1）求c的值；（2）求cos（A﹣C）的值．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosC的值代入即可求出c的值；（2）由cosC的值求出sinC的值，由正弦定理列出关系式，将a，c，sinC的值代入求出sinA的值，进而求出cosA的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）