湖南省长沙市2024年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

湖南省长沙市2024年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（）A. B.C. D.3．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值4．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.15．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元6．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7．设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）A. B.C. D.8．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（）A.1 B.C.3 D.9．工业生产者出厂价格指数（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts，简称PPI）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据．根据下面提供的我国2020年1月—2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论正确的（）A.2020年各月的PPI在逐月增大B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C.2021年1月—11月各月的PPI在逐月减小D.2021年1月—11月各月的PPI均高于2020年同期水平10．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.或2C. D.或11．下列说法正确的个数有（）（ⅰ）命题“若，则”的否命题为：“若，则”；（ⅱ）“，”的否定为“，使得”；（ⅲ）命题“若，则有实根”为真命题；（ⅳ）命题“若，则”的否命题为真命题；A.1个 B.2个C.3个 D.4个12．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.14．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）.①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为六边形；⑤当时，S的面积为.15．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.16．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题实数满足成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题为真，命题或为真，求实数的取值范围18．（12分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面19．（12分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.20．（12分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃1天，得到如下数据：（1）求销量关于的线性回归方程；（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）21．（12分）如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M为AD中点.（1）证明：直线面DEF；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如图，在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点（1）证明：（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【题目详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【题目点拨】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程2、C【解题分析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程【题目详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【题目点拨】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键3、C【解题分析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【题目详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【题目点拨】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.4、C【解题分析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【题目详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C5、B【解题分析】，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程6、B【解题分析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.【题目详解】，，所以“”是“”的充要条件.故选：B7、B【解题分析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.【题目详解】当时，，解得：；当时，由得：，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：，，经检验：满足，，故选：B.8、D【解题分析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.【题目详解】由，可知，则有，解之得故选：D9、D【解题分析】根据折线图中同比、环比的正负情况，结合各选项的描述判断正误.【题目详解】A：2020年前5个月PPI在逐月减小，错误；B：2020年各月同比为负值，即低于2019年同期水平，错误；C：2021年1月—11月各月的PPI环比为正值，即逐月增大，错误；D：2021年1月—11月各月的PPI同比为正值，即高于2020年同期水平，正确.故选：D.10、B【解题分析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.【题目详解】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.11、B【解题分析】根据四种命题的结构特征可判断（ⅰ）（ⅳ）的正误，根据全称命题的否定形式可判断（ⅱ）的正误，根据判别式的正误可判断（ⅲ）的正误.【题目详解】命题“若，则”的否命题”为“若，则”，故（ⅰ）错误.“，”的否定为“，使得”，故（ⅱ）正确，当时，，故有实根，故（ⅲ）正确，“若，则”的否命题为“若，则”，取，则，故命题若，则为假命题，故（ⅳ）错误.故选：B12、A【解题分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【题目详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【题目详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【题目点拨】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.14、①②③⑤【解题分析】①由如图当点向移动时，满足，只需在上取点满足，即可得截面为四边形，如图所示，是四边形，故①正确；②当时，即为中点，此时可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD为等腰梯形，等腰梯形，故②正确；③当时，如图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由∽，可得，故可得，故③正确；④由③可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的，如图是五边形，故④不正确；⑤当时，与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，如图是菱形，面积为，故⑤正确，故答案为①②③⑤考点：正方体的性质.15、3【解题分析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,求出a的最小值.【题目详解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案为:3.【题目点拨】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.16、【解题分析】根据投影向量的计算公式，计算出正确答案.【题目详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解题分析】首先根据复数的乘方及复数模的计算公式求出命题为真时参数的取值范围，再根据椭圆的性质求出命题为真时参数的取值范围，依题意为假，为真，即可求出参数的取值范围；【题目详解】解：因为，，，，所以，所以，所以为真时，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以，即为真时，所以为假时参数的取值范围为或，因为命题为真，命题或为真，所以为假，为真，或18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；（2）过C作，垂足为M，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小问2详解】过C作，垂足为M，则四边形ADCM为矩形因为，，所以，，，，所以，所以因为平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE19、（1）（2）77（3）【解题分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得，所以图中值是0.020.【小问2详解】由频率分布直方图得这组数据的平均数：，所以这组数据的平均数为77.【小问3详解】数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.20、（1）（2）24【解题分析】（1）求出，的值，根据公式求出的值，代入公式即可求出回归直线方程（2）根据（1）的结论，求出利润，根据二次函数的性质，即可求解【题目详解】解：（1）由题意得，，，，得，，所以关于的线性回归方程为：.（2）由题意得，每份菜获得的利润，∴当时，取最大值，∴单价应定为24元，可获得最大利润.【题目点拨】本题考查回归直线的求法与应用，