2023学年完整公开课版幂函数2

4.4幂函数激趣诱思知识点拨知识点一、幂函数的定义一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.注:(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.激趣诱思知识点拨练习下列函数,是幂函数的为

.

分析：判断一个函数是幂函数还是指数函数,切入点是看未知数x是指数还是底数,若是底数,则根据幂函数的三个特征判断是否为幂函数.

激趣诱思知识点拨知识点二、函数的图像与性质。激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨知识点三、幂函数共有的性质1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1).2.如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.3.如果α<0,则幂函数在区间[0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图像在x轴上方且无限地逼近x轴.激趣诱思知识点拨对幂函数的性质的补充说明1.定义域:在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关,要保证函数解析式有意义.具体如下:激趣诱思知识点拨2.幂函数y=xα(α∈R)奇偶性的判断方法:激趣诱思知识点拨练习1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则m的值为

.

解析:由题意知m2-m-1=1,∴m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.答案:-1激趣诱思知识点拨练习下列说法中,正确的有(

)①幂函数的图像均过点(1,1);②幂函数的图像均在两个象限内出现;③幂函数在第四象限内可以有图像;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图像最多有两个交点.A.1个

B.2个C.3个 D.4个激趣诱思知识点拨解析:对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图像均过点(1,1),故①正确;幂函数y=的图像只在第一象限内,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图像不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图像的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个.答案:B探究一探究二探究三当堂检测答案:②③

课中探究

课中探究

探究一探究二探究三当堂检测比较大小例2比较下列各组数的大小:(2)(-1.2)3,(-1.25)3.(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.(4)0.53,30.5,log30.5.探究一探究二探究三当堂检测(2)∵y=x3在R上是增函数,-1.2>-1.25,∴(-1.2)3>(-1.25)3.(3)∵y=x-1在区间(0,+∞)内是减函数,5.25<5.26,∴5.25-1>5.26-1.∵y=5.26x在R上是增函数,-1>-2.∴5.26-1>5.26-2.综上,5.25-1>5.26-1>5.26-2.(4)∵0<0.53<1,30.5>1,log30.5<0,∴log30.5<0.53<30.5.探究一探究二探究三当堂检测比较幂形式的两个数大小的常用方法(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性.(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.探究一探究二探究三当堂检测幂函数的图像例3如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像,则(

)A.n<0,m>1 B.n<0<m<1C.m>n>1 D.n>m>1解析:由幂函数的图像及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m>0,n<0.又由y=xm的图像与直线y=x比较,得0<m<1.答案:B探究一探究二探究三当堂检测反思感悟幂函数图像的特征(1)指数大于1,在第一象限的图像类似于y=x2的图像;(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线;(3)指数大于0小于1,在第一象限的图像类似于y=的图像;(4)指数等于0,在第一象限