对于罗巴切夫斯基几何课件

第五讲穿越时空的心灵之约主讲教师：孙淑娥目录一、人类理性精神的圣典二、人类思维的自由想象三、时空观的转换

一、人类理性精神的圣典欧几里得《几何原本》是世界名著，在各国流传之广、影响之大仅次于基督教的《圣经》，是人类理性精神的圣典。《几何原本》在训练人的逻辑推理思维方面，比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。欧氏几何是推理的典范,其特点是,以简驭繁,以少胜多.全书共分13卷。包含5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。

一、人类理性精神的圣典欧几里得的五大公设：

公设一：任两点必可用直线连接；

公设二：直线可以任意延长；

公设三：可以任一点为圆心,任意长为半径画圆；

公设四：所有的直角皆相同；

公设五：过线外一点,恰有一直线与已知直线平行；

其中公设五又称之为平行公设,它不如其它公设简洁,看起来倒更像个命题.

一、人类理性精神的圣典欧几里德几何学全部公理：

1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量减等量，其差仍相等。4、彼此能够重合的物体是全等的。5、整体大于部分。

二、人类思维的自由想象因为欧式几何第五公设不如其它公设简洁,看起来倒更像个命题,在鲍耶、高斯和罗巴切夫斯基把第五公设去掉之后,他们发现的非欧几何.一般来讲，非欧几何有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

二、人类思维的自由想象公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。等价命题：

（1）过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。（2）三角形的内角和等于180°

二、人类思维的自由想象研究得出的结论：（如下图）1）三角形内角之和小于两直角，并且内角和是变化的；2）不存在面积任意大的三角形；3）同一直线的垂线和斜线不一定相交；4）如果两个三角形的三个内角相等，它们就全等。

二、人类思维的自由想象欧氏几何与球面几何图形部分性质差异

二、人类思维的自由想象欧氏几何与非欧几何的性质的显著差别

二、人类思维的自由想象三种几何的关系：黎曼几何对三维空间有三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率横等于零。黎曼指出后两种为罗氏几何和欧氏几何，第一种则是黎曼本人的创造。黎曼几何是一个庞大的几何公理体系，专门用于研究弯曲空间的各种性质。球面几何只是它极小的一个分支。

二、人类思维的自由想象三种几何都是真理。但是三种几何学又有着相互矛盾的结论，而真理只有一个，为什么会出现三种矛盾的真理呢？三种几何的适用范围：欧氏几何学——日常小范围内黎曼几何学——地球上远距离旅行罗巴切夫斯基几何学——太空中漫游或原子核世界

二、人类思维的自由想象三种几何学各有其适用范围，也各有其模型。三种几何的模型：欧几里得几何学的模型最容易理解，我们生活的平面和三维现实空间就是很合适的模型。

二、人类思维的自由想象三种几何的模型：黎曼几何学的模型可以用球面来实现

二、人类思维的自由想象三种几何的模型：对于罗巴切夫斯基几何，不少数学家给出过多种不同的模型。第一个模型是由法国数学家庞斯莱（Poncelet,1788—1867）给出的。他把圆心位于一条给定直线S上的半圆看作“直线”。显然，过两点可以唯一确定一条“直线”，过“直线”外一点可以作多条“直线”与之平行（不相交）。

二、人类思维的自由想象庞斯莱﹐J.-V.(Poncelet﹐Jean--Victor)1788年7月1日生于法国梅斯(Metz)；1867年12月22日卒于巴黎。

二、人类思维的自由想象三种几何的模型：第二个模型是1868年意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami,1835—1899）给出的，他找到了一种所谓的“伪球面”，在伪球面上可以实现罗氏几何学的假设。

“伪球面”由平面曳(yè)物线[tractrix]绕其渐近线旋转一周而得。

二、人类思维的自由想象贝尔特拉米(Beltrami﹐Eugenio)1835年11月16日生于意大利克雷莫纳(Cremona)；1899年6月4日卒于罗马。

二、人类思维的自由想象第三个模型是法国数学家庞加莱1882年（1854—1912）对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧几里得模型。庞加莱将整个罗巴切夫斯基几何空间投影到平面上一个不包括边界的圆中，空间中的“直线”，却由圆内的一些圆弧来表示，这些圆弧与所述圆周正交（垂直），如图中的l1和l2。在这个模型中，我们同样发现，三角形的内角和亦不会等于180°。

二、人类思维的自由想象庞加莱(Poincare﹐JulesHenri)1854年4月29日生于法国南锡(Nancy)；1912年

7月17日卒于巴黎。数学﹑物理学﹑天体力学﹑科学哲学。

二、人类思维的自由想象克莱因也给出了罗氏几何的一个模型

二、人类思维的自由想象克莱因把欧氏几何学称为“抛物几何”，因为它的直线有一个无穷远点；把罗氏几何称为“双曲几何”，因为它的直线有两个无穷远点；把黎曼几何称为“椭圆几何”，它的直线没有无穷远点。

二、人类思维的自由想象并不是欧氏几何的一统天下。虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”。由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的，就是黎曼几何。

二、人类思维的自由想象直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”。在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的。这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的。由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的。这种几何即是黎曼几何，它比罗氏几何带有更大的普遍性。

三、时空观的转换相对论的建立使人们对物质、运动、时间、空间的观念发生了革命性的变化，由于这些基本概念的简历和思想的变革，又进一步导致了人类自然观和哲学思想的变化，并且为人类文明开辟了新的前景。爱因斯坦对于1905提出的相对论并不满意。19l5年，进而把相对性原理从匀速运动推广到加速运动，完成了广义相对论的完整表述。1916年写成总结性论文《广义相对论的基础》，宣告了广义相对论的诞生。

三、时空观的转换牛顿的绝对时空观：时间在宇宙中均匀流逝着，而空间好像一个容器，两者之间没有联系，也不与物质运动发生关系。

牛顿的绝对时空观在18世纪和19世纪居于统治地位，它的权威被打破已经是20世纪的事情了。爱因斯坦（1879.3.14~1955.4.18）犹太裔物理学家

三、时空观的转换爱因斯坦的相对时空观：

狭义相对论的时空观两个基本假设：一是相对性原理，即物体运动状态的改变与选择任何一个参照系无关：二是光速不变原理，即对任何一个参照系而言，光速都是相同的。在这两个基本假设中，爱因斯坦抛弃了经典物理学中的“以太”和绝对的时空观。空间和时间的相对性和统一性，是狭义相对论的核心思想。狭义相对论则从数学关系上精确地揭示了空间和时间在本质上的统一性，所谓孤立的空间和孤立的时间在自然界是根本不存在的。

三、时空观的转换爱因斯坦的相对时空观：

广义相对论的时空观广义相对论基础的两个基本原理：(1)广义相对性原理；(2)等效原理。广义相对论实际上是关于空间、时间与万有引力关系的理论，它指出空间一时间不可能脱离物质而独立存在，空间、时间随物质分布和运动速度的变化而变化，揭示了时空同物质的内在联系。广义相对论进一步指出，由于物质的存在，时间和空间会发生弯曲，万有引力实际上是时空弯曲的表现。

三、时空观的转换

广义相对论的诞生，革新了物理科学的基本概念框架。由于近代世界图景主要由物理科学提供，也可以说相对论革新了世界图景。世界图景不再只是“筐子装东西”式的“时空+物质”模式，而是物质运动与时间空间成为一体。相对论在时空观方面的革命完全奠基于对希腊古典科学精神的再度弘扬。这种精神就是对世界普遍性的追求，对宇宙和谐的追求，对数学简单性的追求。在狭义相对论中，“光速不变原理”起到重要的作用，它的功能在于统一了电动力学与牛顿力学。在广义相对论中，“等效原理”是一个关键，它的功能也是为物理学的大统一奠定基础。可以说，为物理学奠定新的统一的概念基础是