湖南省衡阳市 县汉中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省衡阳市县汉中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则M∪N=A. B.C. D.R参考答案：D【分析】先解出集合与，再利用集合的并集运算得出.【详解】，，，故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题。2.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]参考答案：C【考点】3G：复合函数的单调性；3W：二次函数的性质；4P：对数函数的单调区间．【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选C3.两圆与的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相离 D．内含参考答案：B【考点】QK：圆的参数方程．【分析】把两圆为直角坐标方程，求出两圆的圆心，半径，圆心距，由此能判断两圆与的位置关系．【解答】解：圆的普通方程为（x+3）2+（y﹣4）2=4，圆心O1（﹣3，4），半径r1=2，圆的普通方程为x2+y2=9，圆心O2（0，0），半径r2=3，圆心距|O1O2|==5，∵|O1O2|=r1+r2=5，∴两圆与的位置关系是外切．故选：B．4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小是（

）A

600

B900

C300

D

450参考答案：B5.函数的一段图象为

参考答案：B 略6.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（

）参考答案：A略7.“”是“”的A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略8.在中,已知向量,,则的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不正确的是（

）A.BC//平面PDF

B.

DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABC

D.

平面PAE⊥平面ABC参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________．参考答案：由图得，此图形是由一个长为，宽为，高为的长方体和一个底面半径，高为的圆锥组成，所以，．∴体积为．12.若k∈R，则“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的

条件.（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”条件）参考答案：充分不必要条件13.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上满足,那么的面积是_______________.参考答案：1略14.求和：________.参考答案：15.过抛物线：焦点的直线与相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则

．参考答案：抛物线C：焦点是（2,0），准线方程为x=-2，设的直线与C相交于A，B两点，，根据题意，，．16.一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

．【解析】72

【考点】棱锥的结构特征．【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为2，做出面积相减，得到结果．【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为故小三角形的边长为2小球与一个面不能接触到的部分的面积为﹣=18，∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是4×18=72故答案为：72参考答案：72

【考点】棱锥的结构特征．【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为2，做出面积相减，得到结果．【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为故小三角形的边长为2小球与一个面不能接触到的部分的面积为﹣=18，∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是4×18=72故答案为：72【答案】17.已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在五面体ABCDPN中，棱PA⊥底面ABCD，AB=AP=2PN.底面ABCD是菱形，∠BAD=.（Ⅰ）求证：PN∥AB；（Ⅱ）求二面角B-DN-C的余弦值.参考答案：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.19.如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风．据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动．如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大．几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）？参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据题意可设t小时后台风中心到达A点，该城市开始受到台风侵袭，如图△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，利用余弦定理建立关系即可求解．【解答】解：根据题意可设t小时后台风中心到达A点，该城市开始受到台风侵袭，如图△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，由余弦定理得，2=100t2+40000﹣2×10t×200×cos60°，化简得t2+20t﹣100=0，解得．答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PB与平面ABF所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面PCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF⊥PD，CD⊥AF即可；（Ⅱ）证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角，求出PF，BF的长，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：如图右，因为△PAD是正三角形，F为PD中点，所以AF⊥PD，因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD又因为平面PAD⊥平面ABCD，且AD=面PAD∩面ABCD；所以CD⊥平面PAD，而AF?平面PAD，所以CD⊥AF，且CD∩PD=D，所以AF⊥平面PCD．…；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）证明可知，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD因为PD?平面PAD，所以AB⊥PD，又由（Ⅰ）知AF⊥PD，且AF∩AB=A，所以PD⊥平面ABF，即∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角…∵AB=2，，∴Rt△BAF中，，所以，即求．…〖注〗若用等体积法，参照标准同样分步计分．21.已知x，y之间的一组样本数据如下表：x2y3040506070观察散点图发现：这5组样本数据对应的点集中在二次曲线y=bx2+a附近．（1）求y与x的非线性回归方程（2）求残差平方和及相关指数R2．参考答案：【考点】BK：线性回归方程；BR：可线性化的回归分析．【分析】（1）由题意，（，50），（，60）代入，可得，求出a，b，即可求y与x的非线性回归方程（2）利用公式求残差平方和及相关指数R2．【解答】解：（1）由题意，（，50），（，60）代入，可得，解得b=10，a=0，∴y与x的非线性回归方程为y=10x2；（2）=（30+40+50+60+70）=50，∴总偏差平方和为（30﹣50）2+（40﹣50）2+（50﹣50）2+（60﹣50）2+（70﹣50）2=