2021年山东省青岛市胶南第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021年山东省青岛市胶南第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数与的图象交点的横坐标之和为，则（

）A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：B2.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（

）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”参考答案：B解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。3.，，“”是“”的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．非分非必要条件参考答案：A4.的值为（）A．B．C．D．参考答案：B

考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：把所求的式子提取后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出值．解答：解：=×2=sin=．故选B点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5.已知恒成立，则必定为

（

）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不确定参考答案：C6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数表示不大于的最大整数）可以表示为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知变量x、y，满足则的最大值为

A．

B．1

C．

D．2参考答案：C设，则。做出不等式组对应的可行域如图为三角形内。做直线，平移直线，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最大，对应的也最大，由得。即代入得，所以的最大值为，选C.8.设（

）A

a<c<b

B

b<c<a

C

a<b<c

D

b<a<c参考答案：D9.记全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A．{7,8}

B．{2}

C．{4,6,7,8}

D．{1,2,3,4,5,6}参考答案：A由题意，图中阴影部分所表示的区域为，由于，，故，选A．10.已知，若，则实数取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为

．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．12.一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为

．参考答案：13.的展开式中，的系数为，则

．(用数字填写答案)参考答案：略14.函数f（x）=在x=4处的切线方程

．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数f（x）在点x=4处的导数，也就是切线的斜率，求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴x=4时，f′（4）=，∵f（4）=2，∴函数f（x）=在x=4处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即．故答案为：．【点评】本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜率的应用，属于基础试题．15.设变量x，y满足，则z=2x-y的最大值为_________.参考答案：7略16.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是____________.参考答案：4

略17.设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．参考答案：0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案为：0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将代入上述方程即可得出极坐标方程．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）．可得极坐标分别为（4，0）或．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．19.已知，且，，数列、满足，，，．(1)求证数列是等比数列；(2)(理科)求数列的通项公式；

(3)(理科)若满足，，，试用数学归纳法证明：．参考答案：证明(1)∵，∴,.

∵，，

∴

．又，∴数列是公比为3，首项为的等比数列．解(2)(理科)依据(1)可以，得．于是，有，即．因此，数列是首项为，公差为1的等差数列．故．所以数列的通项公式是．(3)（理科）用数学归纳法证明：(i)当时，左边，右边，即左边=右边，所以当时结论成立．(ii)假设当时，结论成立，即．当时，左边

，右边．即左边＝右边，因此，当时，结论也成立．根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立．

20.（2017?深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上，．（1）求数列，的通项和；（2）求证：；（3）设，求数列的前项和．参考答案：(1)，；(2)证明见解析；(3)．试题解析：（1）∵是与2的等差中项，∴，∴，∴，又，∴，（，），即数列是等比数列，，∵点在直线上，∴，，即数列是等差数列，又，∴．（2）∵ ，∴．考点：1、数列的通项；2、裂项求和法；3、错位相减法求和.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面A1BD。（Ⅰ）求证：点D是CC1的中点；（Ⅱ）若A1D⊥BD，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。参考答案：见解析【知识点】立体几何综合解：（Ⅰ）取A1B1的中点F，连接FC1，EF，设EF，A1B=G，连接CD，

由作图过程易得：四边形CEFC1为平行四边形，EC∥AA1。

在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点，

EG=AA1=CC1。

又CE∥平面A1BD，CE平面EFC1C，

且平面EFC1C平面A1BD=DG，

∴DG∥CE，又∵EG∥CD

∴四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=CC1，

∴点D是CC1的中点

（