2022-2023学年福建省莆田市龙华中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省莆田市龙华中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有（▲）项. A． B． C． D．参考答案：【知识点】等差数列前n项和

D2D设是公差为4的等差数列，则，则即，因此，解得，因为，所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项，故选择D.【思路点拨】设是公差为4的等差数列，则，由此能够推导出，由此能求出这样的数列共有8项2.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C． D．参考答案：D【解答】解：由等腰梯形的知识可知cosB＝，设BP＝x，则CP＝﹣x，∴＝（）?＝＝1?x?（﹣）+（﹣x）?x?（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴当x＝时，取得最小值﹣．3.已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函数f（x）的图象如图所示，则f（2016π）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到f（x）的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×（﹣）=4π，解得ω=．又图象经过（，0），0=2sin（×+φ），0＜φ＜π，φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），所以：f（2016π）=2sin（×2016π+）=．故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于中档题．4.已知的面积为，，，则的周长为（

）

参考答案：C略5.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】摸出球的颜色不全相同，基本事件总数，摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m==18，由此能求出摸出白球个数多于黑球个数的概率．【详解】一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，摸出球的颜色不全相同，基本事件总数，摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m==18，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为．故选：B．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如10≡4（mod6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．13参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，即被15除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：A7.执行如图的程序框图，若输入k=63，则输出的n=（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m，n，p的值，当p=63时满足条件p≥63，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得k=63，m=1，n=1，p=1m=2，n=2，p=3不满足条件p≥63，m=4，n=3，p=7不满足条件p≥63，m=8，n=4，p=15不满足条件p≥63，m=16，n=5，p=31不满足条件p≥63，m=32，n=6，p=63满足条件p≥63，退出循环，输出n的值为6．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8.若集合满足则集合B的个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D9.给出如下四个命题：

①若“”为假命题，则均为假命题;

②命题“若a>b，则”的否命题为“若a≤b，则”；

③命题“任意”的否定是“存在”；

④在△ABC中，“A>B“是“sinA>sinB”的充要条件．

其中不正确命题的个数是

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D略10.已知命题p：x+y≠﹣2，q：x≠﹣1且y≠﹣1，则p是q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要而不充分条件参考答案：B【考点】充要条件．【分析】分别取一组满足命题p不满足命题q的特殊数，和一组满足命题q但不满足命题p的特殊数，代入验证，即可得到答案．【解答】解：当x=﹣1，y=0时，命题p：x+y≠﹣2，成立，但命题q：x≠﹣1且y≠﹣1，不成立，则p是q不充分条件，当x=﹣2，y=0时，命题q：x≠﹣1且y≠﹣1，成立，但命题p：x+y≠﹣2，不成立，则p是q不必要条件，故p是q的既不充分也不必要条件故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，若，则

.参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】-

=（）+（）===-故答案为-【思路点拨】先把进行分组求和，再利用等比中项的性质可知a7a10=a8a9，最后把a7+a8+a9+a10=，a8a9=-代入答案可得．12.已知函数，若函数的图象在x=2处的切线方程为

。参考答案：因为，又在处的切线方程为，斜率为，所以，解得．13.已知直线：（为给定的正常数，为参数，）构成的集合为S,给出下列命题：

①当时，中直线的斜率为；②中所有直线均经过一个定点；③当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等；④当＞时，中的两条平行直线间的距离的最小值为；⑤中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是

（写出所有正确命题的编号）．参考答案：③④略14.若，则实数的取值范围是__________.参考答案：略15.在正三角形中，是上的点，，则

。参考答案：本题考查向量数量积的运算，难度中等.由题意可知.16.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为

．参考答案：17.已知函数，若，则=

.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数满足：①的一个零点为；②的最大值为；③对任意实数都有．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数是定义域为的单调增函数，且．当时，证明：．参考答案：(I)解：因为的一个零点为2，所以，即.又因为对任意都有，所以，即.因为的最大值为1，所以,所以.(II)证明：由(I)可知，.因为，所以.因为，所以.因为是单调递增函数，所以.记，，…，，…所以.

同理，…，，…由，得.所以由于，可取自然数，于是，即.而且，所以.略19.（15分）证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在中，、、

所对的边分别为、、，则．参考答案：证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分由基本不等式2：，可得：，

…………4分当且仅当时，等号成立，…………1分即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值．

……1分证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为

……………1分于是，长方形的面积，

…………4分所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分（2）证法一：

…………4分

．故，．……4分证法二

已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，……4分．故，．……4分

证法三

过边上的高，则

……4分．故，．…4分20.（本小题满分12分）设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长．参考答案：（I）因为，

-----------------------------1分

由题意，

-----------------------------3分将点代入，得，所以，又因为

-------------------5分即函数的表达式为．

---------------------6分（II）由，即又

------------------------8分由，知，所以

-----------------10分由余弦定理知

所以

----------------------------------------------------12分21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由参考答案：（1）由得，

在△ABC中，，由得，由正弦定理得，所以，；

（2）△ABC为等边三角形，下证之：由知

不失一般性，可设，则，消去得，即，所以，，即证．22.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若AC=CD，求证A1D⊥CD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）如图，连接AC1，交A1C于点O，连结OD，证明：BC1∥OD，即可证明BC1∥平面A1CD；（2）若AC=CD，证明CD⊥平面ABB1A1，即可证明A1D⊥CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，交A1C于点O，连结OD．据直三棱柱性质可知四边形ACC1A1为平行四边形，所以O为A1C的中点．又因为D是AB的中点，所以BC1∥OD．…（2分）又因为BC1?平面A1CD，O