工程力学之应力应变

应力应变分析本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。主要内容如下：应力应变分析§11.1一点处的应力状态§11.2应力张量的表示方法§11.3平面应力状态§11.4应力圆§11.5三向应力状态§11.6应变状态(与平面应力状态对应的)§11.7应力应变关系§11.1一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度称为上的平均应力将分解为与法向和切向的力，内力与应力的概念则称为正应力（法向应力）

称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力应力的量纲一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度以及的法向相关,因此可用两个并在一起的矢量表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量§11.2应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）同理上述关系称为剪应力互等定理设表示轴与轴的方向余弦。则可以证明应力张量可用来描述一点的应力状态坐标变换矩阵§1支1.忆3棕平妈面应伸力状稀态若单是元体影上不太为零米的应欺力分酒量都阔位于孔同一贸平面压内称喊为平福面应汇力状翠态。例如也当物咬体的份表面柔不受纽奉力时创在表钞面取贩出单薄元体例如覆外力打作用朽在板属平面兔内的贵薄板设不境为0铃的应握力分案量都惊位于xy平面月内一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面

上的应力,其与

轴正向的夹角以逆时针方向为正初始子单元胀体：显然：由将代入

由同理可得(a)(b)(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元突体上爱剪应昼力为押0的拒截面区称为敬主平涂面主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值、以主平面为单元体的各面称为主单元体同理可求出的极值及例已裙知初科始单戏元体屋上的救应力将（Mp播a）求主滚单元牧体上派的应恭力并穴画出佳主单碎元体解：§1幸1.榜4徒应幻玉力圆一点晕处平熄面应司力状仇态的得图解录法，派直观吉各方卧位的阁应力混情况边一目石了然依。由(a)(b)上两拥式两恩边平修方后们相加则上窗式在障应力曾坐标奥中为静一圆埋称为捐应力键圆莫严尔圆圆心坐标：半径：因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周

应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定点或由圆心,半径——画圆

应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力

应柔力师圆蝴画璃法证明：同理可以证明：

及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力

任意座两相起互垂停直截子面上兽的正肚应力诱之和芒由(a)式例确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：

解：主单王元体感：例2已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：赔初始鹅单元己体半径

主单零元体溜：§1赤1.四5利三向恋应力傻状态将三脱个主席应力置按代眉数量恭的大转小顺赌序排久列因此靠根据亦每一捷点的仇应力礼状态前可以嚷找到个3个扎相互汇垂直旁的主舍应力三向批应力羡圆空间任意方程截面上的应力，与三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。

一点处最大的剪应力

三向泄应力币圆单向姓、双红向、滔三向泻应力鹅状态例：求

解：在，平面内

三向粮应力水圆如租图注意奋：不展是同惊一平浅面的讽应力贸不能太用平捆面应墨力状猫态方稼法求蹈解。§1脑1.录6欢应变桂状态（与袜平面苍应力合状态径对应柳的）一点的变形有线应变和剪应变，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形

在，坐标下

在，坐标下，方向到方向夹角

令，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有

应变呼花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方位是重合的。虎克定律

比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§1它1.管7茄应跃力应蹲变关扁系1、福单向嘉应力严状态2、唯纯剪岭应力扒状态在线弹性范围内

剪切虎克定律

——剪切弹性模量

可证明

只有作用时3、孕广义违虎克酷定律对主凝单元呼体例：已知一构件表面一点的应变

求骆该点摧的主敲应力浑和最返大剪而应力解：设

则

整理奸后例2已知，求设

解：取一单元体体积受应力作用变形变形后的体积

4、测体积中变形单