新教材数学苏教版课件阶段提升课第一课平面向量

阶段提升课第一课平面向量

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题组训练一向量的线性运算

1.已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线l外一点,若其中p,q,r∈R,则p+q+r=________.

【解析】因为A,B,C三点在同一条直线l上,所以存在实数λ使所以因为所以p=λ-1,q=1,r=-λ,p+q+r=0.答案:02.设坐标平面上有三点A,B,C,i,j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量,若向量那么是否存在实数m,使A,B,C三点共线?【解析】方法一:假设满足条件的m存在,由A,B,C三点共线,即,所以存在实数λ,使i-2j=λ(i+mj),所以

解得m=-2,所以当m=-2时,A,B,C三点共线.方法二:假设满足条件的m存在,由已知i=(1,0),j=(0,1),所以=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=(1,0)+m(0,1)=(1,m).由A,B,C三点共线得∥,故1×m-1×(-2)=0,解得m=-2,所以当m=-2时,A,B,C三点共线.【方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略:①向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示下的线性运算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法则,如;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如.

题组训练二平面向量的数量积

1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,若=-3,则=________.

【解析】答案:

3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足求t的值.【解析】(1)由已知得,=(3,5),=(-1,1),所以=(2,6),=(4,4).所以||=2

,||=4

.故所求的两条对角线的长分别为2

,4

.(2)由已知=(-2,-1),=(3+2t,5+t),由()·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,即(-2)·(3+2t)+(-1)·(5+t)=0.从而5t=-11,所以t=

.【方法技巧】向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.(2)借助零向量.即借助围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.(3)借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助a⊥b,则a·b=0等解决问题.(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积.题组训练三平面向量的平行与垂直问题

1.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=________.

【解析】由题意可得:a·b=1×1×cos45°=

,由向量垂直的充要条件可得(ka-b)·a=0,即:ka2-a·b=k-

=0,解得k=

.答案:

2.设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若,求D点的坐标;(2)设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.【解析】(1)设D(x,y).因为,所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),化为(1,-5)=(x-4,y-1),所以

解得

所以D(5,-4).(2)因为a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3),所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4).因为ka-b与a+3b平行,所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-

.3.已知A(-1,-1),B(sinθ,cosθ),C(2,5)三点共线,且θ≠

(k∈Z).求tanθ.【解析】由已知得,=(sinθ+1,cosθ+1),=(3,6).又因为A,B,C三点共线,所以与共线,3(cosθ+1)-6(sinθ+1)=0,即cosθ-2sinθ=1,两边平方得cos2θ-4sinθcosθ+4sin2θ=sin2θ+cos2θ,即3sin2θ=4sinθcosθ.因为θ≠

(k∈Z),所以cosθ≠0,sinθ≠0,所以tanθ=

.【方法技巧】

1.证明共线问题常用的方法(1)向量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|.(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.2.证明平面向量垂直问题的常用方法a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).

题组训练四向量的模、夹角问题

1.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=________.

【解析】由已知得,|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12.所以|a+2b|=2

.答案:2

2.已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:(1)a·b和|a+b|的值;(2)a与b夹角θ的余弦值.【解析】由已知得,a=(3,-2),b=(4,1).(1)a·b=10;|a+b|=|(7,-1)|=5

.(2)cosθ=

【方法技巧】

1.解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式:|a|=

(其中a=(x,y));(2)应用三角形或平行四边形法则;(3)应用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(4)研究模的平方|a±b|2=(a±b)2.2.求向量的夹角设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cosθ=

题组训练五向量的应用

1.已知向量满足条件求证:△P1P2P3是正三角形.【解析】所以∠P1OP2=120°,所以同理得

故△P1P2P3是正三角形.2.平面内三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态,已知F1,F2的大小分别为1N,

N,F1与F2的夹角是45°,求F3的大小及F3与F1的夹角.【解析】如图所示,按向量加法的平行四边形法则作F1,F2的合力F,则F3=-F,F=F1+F2.因为F1与F2的夹角是45°,所以|F|2=|F1+F2|2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=12+

+2|F1||F2|cos45°=1+(2+

)+2×1×

=2

+4=(

+1)2,所以|F|=

+1,即F3的大小为(

+1)N.设F1与F的夹角为θ,F1·F=|F1||F|cosθ=1×(

+1)×cosθ=(

+1)cosθ.又因为F1·F=F1·(F1+F2)=|F1|2+|F1||F2|cos45°=所以