2021-2022学年湖南省张家界市贺龙中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年湖南省张家界市贺龙中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是A.－y2＝1

B.－y2＝1

C.－＝1

D．x2－＝1参考答案：B抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.要得到函数的导函数的图象，只需将的图象（

）A向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）参考答案：D4.正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是的重心，则球O截直线MN所得的弦长为A．4 B． C． D．参考答案：C正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.5.点共面，若，则的面积与的面积之比为()

A.

B.

C.

D.

参考答案：D6.命题“若p,则q”的逆否命题是----------------------------------------（

）A.若q,则p

B.若，则

C.若，则

D.若，则

参考答案：C7.复数z1=a+i，z2=－2+i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是A.a>0

B.a>2C.－2＜a＜2

D.a<－2或a>2参考答案：C选C.由于|z1|=，|z2|=，|z1|<|z2|，则<，两边平方，解得－2<a<2，故选择C.8.函数的图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：A利用排除法：由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误，本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.集合M=，N=，则（

）A.M=N

BMN

C.MN

D.MN=参考答案：B略10.已知函数的图象关于直线对称，则函数f(x)的值域为(

)A.(0,2) B.[0,+∞) C.(－∞,2] D.(－∞,0]参考答案：D【分析】根据函数的图象关于直线对称可得，由此可得，所以，再结合函数的单调性和定义域求得值域．【详解】∵函数的图象关于直线对称∴，即，∴，整理得恒成立，∴，∴，定义域为．又，∵时，，∴，∴函数的值域为．故选D．【点睛】解答本题时注意两点：一是函函数的图象关于对称；二是求函数的值域时首先要考虑利用单调性求解．本题考查转化及数形结合等方法的利用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为__

参考答案：12.如图，四面体OABC的三条棱OA、OB、OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题． ①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等 ④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是． 参考答案：③④【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征． 【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定； 对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥； 对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等； 对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假． 【解答】解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB= 当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直， 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确； 对于②，由①知AC=BC=，AB=， 使AB=AD=BD，此时存在点D，CD=，使四面体C﹣ABD是正三棱锥，故②不正确； 对于③，取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 对于④，先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故答案为：③④． 【点评】本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题． 13.在△中，，，则

；的最小值是

.参考答案：14.已知△ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设，则4m+9n的最小值是．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义；向量在几何中的应用．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到等式，利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，△ABC的重心为O，可得AO=2OD．∴OD是梯形的中位线，∴BE+CF=2OD，，可得：，，∴﹣2===1．可得=34m+9n=（4m+9n）（）=（4+9+）≥（13+2）=．当且仅当2m=3n，=3时取等号．故答案为：．15.如图，已知过椭圆的左顶点A（-a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率为 。参考答案：【知识点】椭圆的几何性质

H5∵△AOP是等腰三角形，．

设，解得代入方程化简可得：，所以，故答案为.【思路点拨】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程可得，进而求得离心率．16.已知x，y满足则x2+y2的最大值为

．参考答案：13【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离平方，由图象可知点A（﹣3，2）到原点距离最远，∴z=x2+y2的最大值为（﹣3）2+22=13

故答案为：1317.如图所示，已知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正△ACE，现向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为

．参考答案：设正方形的边长为2，则.∵为正三角形∴∴阴影部分面积为∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝π(x－cosx)－2sinx－2，.证明：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.

参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx-2cosx＞0，

∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=-π-2＜0，f（）=-4＞0，

∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x-π）+-1

=（π-x）+-1，

令t=π-x，记u（t）=g（π-t）=--t+1，t∈[0，]，

求导数可得u′（t）=，

由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，

∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，

由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，

于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π-t0∈（，π），则g（x1）=g（π-t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，

∵x1=π-t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π

略19.设是单位圆和轴正半轴的交点，，是单位圆上两点，是坐标原点，且，,.

（1）若点的坐标是其中，求的值.

（2）设,函数，求的值域．

参考答案：(1)=.(2)的值域是解析：解：（1）由，

.

…..3分

所以=.

…..6分（2）由已知有,

…..8分因为，则，所以.

故的值域是.

…..12分

略20.．(本小题满分12分).如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)证明：BD∥平面PEC；(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.参考答案：解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，

略21.银河科技有限公司遇到一个技术难题，隧紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自独立进行为期一月的技术攻关，同时决定在攻关期满对攻克难题的小组给予奖励，已知这些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为。

（I）设为攻关期满时获奖小组的个数，求的分布列及；

（Ⅱ）设为攻关期满时获奖小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数在定义域内单调递减“为事件，求事件发生的概率。

参考答案：解析：记“甲攻关小组获将”为事件，A，则记“乙攻关小组获奖”为事件，则（I）由题意，的所有可能取值为0，1，2，

所以的分布列为012

（6分）

（Ⅱ）因为获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相应没有获奖的攻关小组数的取值为2，1，0，所以的可能取值为0，4。

当时，在定义域内是增函数。

当时，在定义域内是减函数。

所以22.已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣2