辽宁省朝阳市喀左县蒙古族高级中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

辽宁省朝阳市喀左县蒙古族高级中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={-1，0，a}，B={}，若，则实数a的取值范围是

A{1}

B．(-∞，0)

C．(1，+∞)

D．(0．1)参考答案：D因为，所以要使，则，即，选D.2.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则抛物线方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：4.已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，即3a﹣1=b，令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），则g′（a）=﹣3=，令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，令g′（a）＜0，解得：a＞，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，故lna＜b﹣1，故选：B．5.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A.药物A、B对该疾病均没有预防效果B.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C.药物A的预防效果优于药物B的预防效果D.药物B的预防效果优于药物A的预防效果参考答案：C6.设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（

）．若，则对任意实数恒成立；．若，则函数为奇函数；．若，则函数为偶函数；．当时，若，则．参考答案：7.在等差数列中，已知与是方程的两个根，若，则=（

）（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015参考答案：C由题意知，，。又，∴，，∴。∴，∴。故选C。8.若a、b为实数，则是的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案:A9.已知命题p：“，使得成立”为真命题，则实数满足()A．[－1,1)

B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C．(1,+∞)D．(－∞,－1)参考答案：B10.已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（

）

①，②，③，④，⑤

A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间上的最小值是

参考答案：略12.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12cm,该地球仪的半径是

cm,表面积是

cm2.参考答案：答案：

19213.已知圆：与轴正半轴的交点为，点沿圆顺时针运动弧长到达点，以轴的非负半轴为始边，为终边的角记为，则

．参考答案：考点：任意角三角函数的定义.14.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为

．参考答案：13π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．15.已知向量，满足||=3，||=2||，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣）∪[，+∞）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量模的性质得出||的范围，根据||=2||得出和的关系，由|+λ|≥3恒成立得出关于的函数f（）≥0恒成立，讨论函数的单调性求出最小值即可得出λ的范围．【解答】解：设，=，则=，设||=x，则|OA|=x，|AB|=，∴，解得2≤x≤6．即2≤||≤6．∵||=2||，∴=4（9﹣2+2），即3﹣8+36=0，∴=+，∵|+λ|≥3恒成立，∴+2λ（+）+9λ2≥9，令f（2）=（1+λ）2+9λ+9λ2﹣9，则fmin（）≥0，∈[4，36]．（1）若1+λ=0即λ=﹣时，f（）=9λ+9λ2﹣9=﹣5，不符合题意；（2）若1+＞0即λ＞﹣时，f（）为增函数，故fmin（）=f（4）=9λ2+12λ﹣5≥0，解得λ或λ≤﹣，∴λ≥．（3）若1+＜0即λ＜﹣时，f（）为减函数，故fmin（）=f（36）=9λ2+36λ+27≥0，解得λ≤1或λ≥3．∴λ＜﹣．综上，λ＜﹣或λ．故答案为：（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．16.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．参考答案：（答案不唯一）17.已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是__________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）根据数据推断A班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?参考答案：（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为，…………2分B班5名学生的视力平均数为.

……………3分从数据结果来看A班学生的视力较好.

………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大.

………………8分（Ⅲ）解：在A班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为．

………………11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有名，则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6．

………………13分

略19.（本题满分15分）设椭圆：，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，与椭圆交于，当与轴垂直时，，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，若面积的最大值为。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线绕着旋转，与圆：交于两点，若，求的面积的取值范围。参考答案：（21）（Ⅰ）设椭圆半焦距为①，将代入椭圆方程得，∴②；又由已知得③；由①②③解得、、。所求椭圆方程为：。（Ⅱ）设直线：即，圆心到的距离，由圆性质：，又，得。联立方程组，消去得。设，则，。（令）。设，对恒成立，

在上为增函数，，所以，。

略20.已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与m无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．……2分依题意，，于是椭圆的方程为．……………4分(2)设，设，与椭圆方程联立得则有………6分直线PA,PB的斜率之和………9分当时斜率的和恒为0，解得…………………11分综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．………………12分21.正△的边长为4，是边上的高，分别是

和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．

（１）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（２）求二面角的余弦值；Ks5u

（３）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.

参考答案：解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF.

∴AB∥平面DEF.

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角∴AD⊥BD

∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD

∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=

………8分（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……10分证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD

∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………13分法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则

即所以二面角E—DF—C的余弦值为

…8分（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设…12分所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE

…………13分另解：设又

…………12分把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE

…………….14分

22.（本小题满分14分）已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若，满足，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若，试探究与的大小，并说明你的理由．参考答案：解析：（Ⅰ）∵，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，又，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，由解得，．·····································································4分（Ⅱ）由得，故在上有解，令，只需．································································6分①当时，，所以；·······················