数学巧算第一期2015年1 3

让公考更简单数学“巧”算——赢在起点司马寻数量之“神”与“技”1、意义&现状：分值高、题量大、题目难、耗时长、丢分多

&破解：“巧算”（基础方法与秒杀技巧）2、“神”&心态：信心、决心、耐心、恒心、平常心

&功夫：真功夫、实功夫、苦功夫、巧功夫3、“技”&实干与巧干&基础、快捷、秒杀数学运算一、解题思路二、基础计算三、数列与平均数四、工程问题五、溶液问题六、行程问题七、经济利润问题八、容斥问题九、排列组合与概率十、最值问题十一、几何问题十二、边端计数问题十三、时间问题十四、模板问题一、解题思路代入排除法数字特性方程法思路一：代入排除法•客观性有限性灵活性、全面性思路一：代入排除法适用题型：多位数问题、余数问题、不定方程问题、复杂行程问题、年龄问题、和差倍比问题以及较难或者没有思路的题目。注意技巧：居中代入、最值代入、数字特性；先排除，后代入等等。思路一：代入排除法【例1】一个三位数的各位数字之和是16，其中十位数字比个位数字小3，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？(

)A.169B.358C.469D.736思路一：代入排除法【例1】一个三位数的各位数字之和是16，其中十位数字比个位数字小3，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大

495，则原来的三位数是多少？(

)A.169

B.358

C.469

D.736小结：这类题目属于多位数问题，在带入时居中代入；迅速找到题干中的关键点来提高做题效率；尾数法。思路一：代入排除法【例2】小明的妈妈买来一些糖果分给小明和弟弟，妈妈先给小明一块，再把剩下的1/7给小明，然后给弟弟2块，又把剩下的1/7给弟弟，这样两个人的糖果一样多，妈妈共买来多少块糖？（

）A.34

B.36

C.43

D.63思路一：代入排除法【例2】小明的妈妈买来一些糖果分给小明和弟弟，妈妈先给小明一块，再把剩下的1/7给小明，然后给弟弟2块，又把剩下的1/7给弟弟，这样两个人的糖果一样多，妈妈共买来多少块糖？（

）A.34

B.36

C.43

D.63小结：这类题目属于余数问题，可根据数字整除特性迅速排除答案。思路一：代入排除法【例3】甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元，问甲、乙原来各有多少钱?()A.120元、200元C.180元、140元B.150元、170元D.210元、110元思路一：代入排除法【例3】

甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元，

问甲、乙原来各有多少钱?(

)A.120元、200元C.180元、140元B.150元、170元D.210元、110元小结：该类题属于和差倍比问题，题中居中带入技巧；另外，根据题干，从常识排除选项。思路一：代入排除法【例4】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班每小时步行4千米，乙班每小时步行3千米。学校有一辆汽车，它每小时步行48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是(

)A.15：11

B.17：22

C.19：24

D.21：27思路一：代入排除法【例4】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班每小时步行4千米，乙班每小时步行3千米。学校有一辆汽车，它每小时步行48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是(

)A.15：11

B.17：22

C.19：24

D.21：27小结：该类题属于行程问题，从常识排除选项。思路一：代入排除法【例5】某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有( )。A.5间

B.4间

C.6间

D.3间思路一：代入排除法【例5】某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有( )。A.5间

B.4间

C.6间

D.3间小结：该类题属于不定方程问题，求最多（少），可以从最大（小）的选项来尝试。思路一：代入排除法【总结】通过这几道题的演示是想告诉广大考生，数学题的难度是由题目和选项来共同决定的，有些题目看上去很复杂，但结合选项来做的话就非常简单，所以我们在做题的过程中一定要学会结合选项来做。当然在具体操作的过程中，我们应该先排除掉明显不符合题意的选项，然后再将剩下的选项代入验证，这样才能真正提高做题效率。注意技巧：居中代入、最值代入、数字特性；先排除，后代入等。练习题【1】小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁?(

)A.10，18

B.4，12

C.5，13

D.6，14【2】有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封？( )

A.20

B.26

C.23

D.29【3】将大米300袋、面粉210袋和食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1∶3∶2，则该村有多少户村民?(

)A.7

B.9

C.13

D.23【4】某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组在外圈，后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数150人，则最多可有多少人参加？A．149

B.148C.138

D.133【5】将一个三位数的个位数字和百位数字调换后所得三位数与原三位数的和是1070，差是198，这个三位数字是（

）

A.327

B.436

C.524

D.218【6】有黑白两种玻璃球若干，拿走15个白色玻璃球后，黑玻璃球与白玻璃球的个数之比为2:1;再拿走45个黑玻璃球后，黑玻璃球与白玻璃球的个数比为1:5，开始时黑玻璃球、白玻璃球各有多少枚?（ ） A.50,40 B.55,40 C.65,50 D.60，45参考答案【1】C【2】C【3】D【4】D【5】B【6】A•思路二：数字特性奇偶性整除性比例倍数性思路二：数字特性奇偶性【基础】奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数【推论】两个数的和为奇数→差也是奇数；两个数的和为偶数→差也是偶数。两个数的和或差是奇数→一奇一偶；两个数的和或差是偶数→两奇或两 偶。【应用】知和求差、知差求和

aX+bY=c(不定方程)如3X+5Y=23，X为正奇数、Y为正整数，求X、Y的值？思路二：数字特性【例1】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少?()A.33

B.39

C.17

D.16•思路二：数字特性【例1】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少?()A.33

B.39

C.17

D.16小结：该类题属于奇偶性问题，可结合题干和选项，迅速进行排除。（两个数的和为偶数→差也是偶数）。思路二：数字特性【例2】有八个盒子分别装有17个、24个、29个、

33个、35个、36个、38个、44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且都是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球可能是（

）A.17，44C.24，29，36B.24，38D.24，29，35思路二：数字特性【例2】有八个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、

35个、36个、38个、44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且都是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球可能是（

）A.17，44C.24，29，36B.24，38D.24，29，35小结：该题属于奇偶性问题，结合题干和选项可以迅速选出答案，考查灵活性。思路二：数字特性【例3】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？()A.8

B.10

C.12

D.15思路二：数字特性【例3】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？()A.8

B.10

C.12

D.15小结：该题属于奇偶性问题，结合题干和选项可以迅速选出答案，考查灵活性。思路二：数字特性【例4】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?()A.36

B.37

C.39

D.41思路二：数字特性【例4】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?()A.36

B.37

C.39

D.41小结：该题属于奇偶性问题，奇偶性和质数为突破点（偶质数只有2），迅速找到正确答案。思路二：数字特性整除特性2，4，8整除及其余数判定法则一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者

25)整除；一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者

125)整除；3，9整除判定基本法则一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；

7，11，13整除判定基本法则能被7，11或13整除的数的特征是这个数的末三位数字与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除。思路二：数字特性【例1】某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？A.

9 B.

12 C.

15 D.

18思路二：数字特性【例1】某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？A.

9

B.

12

C.15

D.

18小结：该题属于整除特性问题，结合题干和选项，迅速找到答案。（3，9整除判定基本法则）思路二：数字特性【例2】两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件（

）A.48

B.60

C.72

D.96思路二：数字特性【例2】两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件（

）A.48

B.60

C.72

D.96小结：该题属于整除特性问题，结合题干和选项，迅速找到答案。思路二：数字特性比例倍数特性1、如果

a:b=m:n

(m,n互质），则 a是m

的倍数；b是n的倍数；2、如果

a=(m/n)×b（m,n互质），则

a是m

的倍数；b是n的倍数；3、如果

a:b=m:n

(m,n互质），则

a±b

应该是

m±n

的倍数；m*(a+b)m+n4、补充：如果a=（m/n)×b，则a

=思路二：数字特性【例1】某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：(

)A.140万元C.98万元B.144万元D.112万元思路二：数字特性【例1】某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：(

)A.140万元C.98万元B.144万元D.112万元小结：该类题属于比例倍数问题，通过比例倍数公式灵活处理。思路二：数字特性【例2】甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（

）。A.

300元、500元C.450元、750元B.375元、625元D.525元、875元思路二：数字特性【例2】甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（

）。A.

300元、500元C.450元、750元B.375元、625元D.525元、875元小结：该类题属于比例倍数问题，但是通过居中带入、列方程、数字倍数更简单，考查做题的灵活性。思路二：数字特性【例3】某城市有A、B、C、D四个区，B、C、D三区的面积之和是A的14倍，A、C、D三区的面积之和是B的9倍，A、B、D三区的面积之和是C区的2倍，则A、B、C三区的面积之和是D区的( )。A.1倍 B.1.5倍 C.2倍D.3倍思路二：数字特性【例3】某城市有A、B、C、D四个区，B、C、D三区的面积之和是A的14倍，A、C、D三区的面积之和是B的9倍，A、B、D三区的面积之和是C区的2倍，则A、B、C三区的面积之和是D区的( )。A.1倍

B.1.5倍 C.2倍D.3倍小结：该题涉及到倍数，可以使用比例倍数特性，在这个方法中往往假设公式中比例对应的值分别为份数。思路二：数字特性【例4】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总人数比去年增加3人问今年男员工有多少人?( )。A.329

B.350

C.371

D.504思路二：数字特性【例4】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总人数比去年增加3人,问今年男员工有多少人?( )。A.329

B.350

C.371

D.504小结：该题涉及到倍数，可以使用比例倍数特性.如果

a:b=m:n

(m,n互质），则 a是m

的倍数；b是n的倍数思路二：数字特性【总结】1、奇偶特性知和求差知差求和不定方程的求解偶数的倍数（乘积）2、整除特性整除法则及余数问题明确结果的某个因子3、比例倍数特性比例；倍数；分数；百分数练习题【1】某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？(

)A.244

B.242

C.220

D.224【2】有甲、乙两个项目组。乙组任务临时加重时，从甲组抽调了甲组四分之一的组员。此后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。此时甲组与乙组人数相等。由此可以得出结论(

)。A.甲组原有16人，乙组原有11人C.甲组原有11人，乙组原有16人B.甲、乙两组原组员人数之比为16：11D.甲、乙两组原组员人数之比为11：16【3】甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少非专业书？(

)A.

75 B.

87 C.

174

D.

67【4】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？(

)A.2

B.2

C.3

D.4【5】在连续奇数1，3，…，205，207中选取N个不同数，使得它们的和为2359，那么N的最大值是(

)。A.47

B.48

C.50D.51练习题【6】某公司为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置设备，收取2%的服务费。某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备，已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是多少元？A.3880 B.4080 C.3920 D.7960【7】某店一共进货6桶油，分别为15.16.18.19.20.31千克，上午卖出2桶，下午卖出3桶，下午卖的重量正好是上午的2倍。那么，剩下的一桶油重多少千克？A15

B16

C18

D20【8】小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个？

A.1

B.2

C.3

D.4【9】小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？（

）

A.94

B.95 C.96

D.97【10】一个农贸市场2斤油可换5斤肉，7斤肉可换12斤鱼，10斤鱼可换21斤豆，那么27斤豆可换几斤油?（ ）A.5

B.4

C.6

D.3答案【1】-【5】BBBCA【6】-【10】BDBCD•思路三：方程法&使用最广泛的方法，准确率高&运用题型：盈亏问题，鸡兔同笼问题，牛吃草问题，和差倍比问题&设未知数；列方程；解方程思路三：方程法1.

设未知数的原则*在同等情况下，优先设求的量*设比例份数(有分数、百分数、比例倍数)、中间变量*

可以设有意义的汉字2.

方程组的解法未知数系数倍数关系比较明显时，优先考虑“加减消元法”。未知数系数代入关系比较明显的，优先考虑“代入消元法”。3.

不定方程的解法*用数字特性和尾数法解二元一次不定方程*对于多元不定方程组：消元、赋值思路三：方程法【例1】某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件

能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件，得到工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？(

)A.2

B.3

C.4

D.6思路三：方程法【例1】某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件

能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件，得到工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？(

)A.2

B.3

C.4

D.6小结：设不合格零件（题目直接问谁，设谁）解方程;方程组、鸡兔同笼法。思路三：方程法【例2】小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是(

)。A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元思路三：方程法【例2】小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是(

)。A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元小结：设未知数原则是从便于列式考虑，此题设中间量。盈亏问题。一盈一亏：（盈数+亏数）÷两次个数差=对象数。思路三：方程法【例3】某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中

32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员?(

)A.18

B.16C.12D.9思路三：方程法【例3】某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员?(

)A.18

B.16

C.12

D.9小结：本题是方程组,当中出现比例关系的未知数，可以直接设比例份数.方程组加减消元；还可以通过倍数特性、居中带入求解。思路三：方程法【例4】小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和为65，68，62，75。其中年龄最小的是多少岁？()A.15

B.16

C.17

D.18思路三：方程法【例4】小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和为65，68，62，75。其中年龄最小的是多少岁？(

)C.17

D.18A.15

B.16设A>B>C>DA+B+C=75·········（1）

（1）+（2）+（3）+（4）=3(A+B+C+D）=270A+B+C+D=90A+B+D=68

··········（2）A+C+D=65···········（3）B+C+D=62···········（4）小结：该方程为方程组，对于这类方程可以带入消元求解。思路三：方程法【例5】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?(

)A.3B.4C.7D.13思路三：方程法【例5】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?(

)A.3

B.4

C.7

D.1312X+5Y=99(看式子12X比5Y增长更快，且X越小，Y越大，更满足

10多个盒子；因此优先选择）小结：该方程为不定方程组，对于这类方程如果未知数被限定在“正整数”范围内，我们便可以利用整数的奇偶、倍数关系、尾数进行代入试值求解。思路三：方程法【例6】买甲、乙、丙三种货物，如果甲3件，乙7

件，丙1件，需花费3.15元；如果甲4件，乙10件，丙1件，需花费4.20元。甲、乙、丙各买一件，需花费多少钱？(

)A.1.05元 B.1.40元 C.1.85元

D.2.10元思路三：方程法【例6】买甲、乙、丙三种货物，如果甲3件，乙7件，丙1件，需花费3.15元；如果甲4件，乙10件，丙1件，需花费4.20元。甲、乙、丙各买一件，需花费多少钱？(

)A.1.05元

B.1.40元

C.1.85元

D.2.10元3甲+7乙+丙=3.15~~~（1） （1）×3-（2）×2=1.054甲+10乙+丙=4.2~~~（2）小结：不定方程组，在这种情况下，我们一般可以用极值法,假设其中一个未知数（系数较大的未知数）为0.或者使用整体加减法消元.思路二：数字特性【总结】1、如何设——求谁设谁、设中间变量、设整体量（比例分数）、可以使用汉字2、如何列——找等量关系3、如何解——方程（组）、不定方程、不定方程组练习题【1】甲、乙、丙、丁四人共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加三本，乙减少3本，丙增加到原来的3倍，丁减少为原来的1/3，则四人的书一样多。则原有书本最多的人有( )本书。A.18

B.24

C.27

D.36【2】某校初一年级共三个班，一班与二班人数之和为98，一班与三班人数之和为106，二班与三班人数之和为108，则二班人数为(A.48

B.50

C.58)。D.60【3】某村农民小周培育30亩新品种，每培育成功一亩获利800元，如果失败倒赔200元，年终小周共获利18000元，问他培育成功多少亩新品种?(

)A.25

B.24

C.23

D.22【4】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是()A.1辆

B.3辆

C.2辆

D.4辆答案【1】C【2】B【3】B【4】B二、基础计算1.纯计算问题（整数，小数，分数等计算）2.公倍数、约数问题3.余数问题（周期循环问题）、尾数4.定义运算：掌握运算的新定义本质5.十字交叉法、调和平均数二、基础计算裂项公式：常用的公式：平方差公式：a2

-b2

=(a+b

(a-b完全平方公式：(a

–b

)2=

a

2

–

2ab

+

b

2完全立方公式：(a–b)3

=a3

–3a2b+3ab2

–b3立方和差公式：

a3

–

b3

=

(a

–

b

(a2

ab

+

b2bb

b

b1

b=(1

-

)·(n-a)·n

m

n

a+

+

+...m·(m+a)

(m+a)·(m+2a)

(m+2a)·(m+3a)小·即：

(

1

-

1

) 分子大

差二、基础计算【例1】123456788×123456790-123456789×123456789=（

）A.-1B.0C.1D.2二、基础计算【例1】123456788×123456790-123456789×123456789=（

）A.-1B.0C.1D.2小结：本题为纯计算类问题，可以使用尾数法、换元法以及平方差公式。二、基础计算【例2】二、基础计算【例2】小结：本题为纯计算类问题，可以运用整体代换法，核心是将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消。二、基础计算【例3】二、基础计算【例3】核心公式：

1

-

1

=

分子小

大

差小结：本题为裂项公式类问题，直接运用裂项公式计算。二、基础计算的个位数为(

)A.9B.8C.6D.4【例4】

3

2010+

8

2012+

4

2011二、基础计算的个位数为(

)A.9B.8C.6D.4【例4】

3

2010+

8

2012+

4

2011小结：本题为指数类问题。口诀：求XN个位数，底数只留个位，指数除以4留余数，余数为0，留4。二、基础计算【例5】有甲乙丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问他们下次同时到达公交总站将会是几点？（）A.11点20分B.11点整C.11点40分D.12点整二、基础计算【例5】有甲乙丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问他们下次同时到达公交总站将会是几点？（）A.11点20分B.11点整C.11点40分D.12点整小结：本题为倍数类问题，直接运用短除法求最小公倍数。二、基础计算【例6】书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书，3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（

）A.小说

B.教材

C.工具书

D.科技书二、基础计算【例6】书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书，3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（

）A.小说

B.教材

C.工具书

D.科技书小结：本题为周期循环类问题，关键找到周期数。二、基础计算【例7】定义a*b=2ab-3b。已知x*（5*2）=42，则x=（

）A.6B.5C.4D.3二、基础计算【例7】定义a*b=2ab-3b。已知x*（5*2）=42，则x=（

）A.6B.5C.4D.3小结：本题为定义计算类问题，由于新颖使得考生感觉很难，

“创新性”计算难度都不大，只要掌握方法即可迎刃而解。二、基础计算【例8】292929÷161616×112=（

）A.206B.195C.184D.203二、基础计算【例8】292929÷161616×112=（

）A.206B.195C.184D.203小结：本题为尾数类问题。化除为乘；提取公因式法。二、基础计算【例9】甲、乙、丙、丁四人分别有96、84、72、60个水果，现在要将他们各自的水果分为若干份，并且保证每一份水果数量相等，问至少要分成多少份？（

）A.25

B.26

C.27

D.28二、基础计算【例9】甲、乙、丙、丁四人分别有96、84、72、60个水果，现在要将他们各自的水果分为若干份，并且保证每一份水果数量相等，问至少要分成多少份？（

）A.25

B.26

C.27

D.28小结：本题为约数类问题。实质是求他们的最大公约数。二、基础计算【例10】有一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？A.4

B.5

C.6

D.7二、基础计算【例10】有一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？A.4

B.5

C.6

D.7小结：本题为余数类问题。口诀：和同加和，余同取余，差同减差，公倍数做周期。二、基础计算【例10】有一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？A.4

B.5

C.6

D.7小结：本题为余数类问题。口诀：和同加和，余同取余，差同减差，公倍数做周期。二、基础计算【例11】157、324、234分别除以一个整数，得到的三个余数之和是100，求这个整数？（

）A.41

B.40

C.42

D.45二、基础计算【例11】157、324、234分别除以一个整数，得到的三个余数之和是100，求这个整数？（

）A.41

B.40

C.42

D.45小结：本题为余数类问题，余数可加性。定理：x,y的和（差、积）除以z的余数，等于x,y分别除以z的余数之和（差、积）。二、基础计算【例12】有一群人，平均体重是48公斤。其中，男生平均体重是58公斤，女生平均体重是44公斤。请问女生人数是男生人数的多少倍？A.2.5

B.2

C.3

D.1.5二、基础计算【例12】有一群人，平均体重是48公斤。其中，男生平均体重是58公斤，女生平均体重是44公斤。请问女生人数是男生人数的多少倍？A.2.5

B.2

C.3

D.1.5小结：本题为十字交叉法问题；可用方程法。解决加权平均问题，两个不同数值混合在一起形成新的平均值；如“混合溶液”、“混合平均数”、“混合增长率”问题。二、基础计算【例13】某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？（

）A.

9.5% B.

10% C.

9.9% D.

10.5%二、基础计算【例13】某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？（A.

9.5% B.

10%

C.

9.9%）D.

10.5%小结：本题为调和平均数问题。可用赋值法、方程法、十字交叉法、调和平均数。公式212

v

1

v

2

；解决“等距离”、“等时间”、“等费用”、“等间隔”问题。v

+

vV

=：—二、基础计算【例14】一群学生出去春游，如果每辆轿车坐3人，则需要另外安排一辆客车送走余下的50人；若每车坐4人，则最后正好多出3辆空车。则开始有多少辆轿车？（

）A.

62 B.

55 C.

60D.

55二、基础计算【例14】一群学生出去春游，如果每辆轿车坐3人，则需要另外安排一辆客车送走余下的50人；若每车坐4人，则最后正好多出3辆空车。则开始有多少辆轿车？（

）A.62

B.

55 C.

60 D.

55小结：本题是盈亏问题。一盈一亏：（盈数+亏数）÷两次个数差=对象数。二、基础运算【总结】纯计算问题→尾数法、整体代换、裂项公式乘方尾数→直接公式倍数问题→最小公倍数、最大公约数余数问题→两大口诀、尾数法周期问题→循环周期定义运算→按规定步骤十字交叉法、调和平均数→适用题型、基本公式练习题)。A.0B.100C.1000D.10000【1】1005×10061006－1006×10051005＝(【2】【3】【4】1路，2路和3路公交车都是从8点开始经过A站后走相同的路线到达B站，之后分别是每30分钟，40分钟和50分钟就有1路，2路和3路车到达A站。在傍晚17点05分有位乘客在A站等候准备前往B站，他先等到几路车？（ ）A.1路

B.2路

C.3路

D.2路和3路【5】在我国民间常用十二生肖进行纪年，十二生肖的排列顺序是：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。2011年是兔年，那么2050年是（

）。A.虎年

B.龙年 C.马年

D.狗年练习题【6】三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔6天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里，下次相会将在星期几?(

)A.星期三 B.星期六 C.星期二

D.星期日【7】a＊b=a²+2b-5,那么13＊(6＊11)+3=( )

?

A.232B.273

C.373

D.285D.8【9】一个数，它除以13余9，除以7余

3

，以下选项符合的是？A.

267 B.268

C.269

D.271【10】要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克，问5%的食盐水需要多少克?(

)

A．255

B．275

C．300

D．335【11】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少（

）A．3％

B．2.5％

C．2％

D．1.8％【12】若干小朋友分苹果，若每人分8个，则剩下16个；若每人分9个，则刚好分完，问有多少人？多少个苹果？（ ）

A.15、140 B.16、146 C.15、145

D.16、144【13】如果每3人坐一桌，那么剩下48人没有座位；如果每5人坐一桌，则刚好空出两桌。问有多少人？

（

）A.135

B.168

C.150

D.138【8】62007

+

92008

的个位数字是？(

)A.7

B.3

C.5参考答案【1】-【5】AABCC【6】-【10】CBACC【11】-【15】ADA三、数列与平均数求和：求和：，q≠1;（其中m+n=x+y）,q=1。数列常用公式1.等差数列：an

=a1

+(n-1)d，am

+an

=ax

+ay（其中m+n=x+y）nS

=·n

=na

+1

n(n

-1)d

=平均数·n

=中位数·n2

21a1

+

an极差：an

-am

=(n

-m)d连续奇数：1+3+5+…+（2n-1)=n²n2.等比数列：a

=

a

·qn-，1am

an

=ax

ay1

-

q11

-

q

nS

n

=

a11nS

=

na三、数列与平均数【例1】四个连续奇数的和为32，则他们的积为多少？（）A.945

B.1875

C.2745

D.3465三、数列与平均数【例1】四个连续奇数的和为32，则他们的积为多少？（）A.945

B.1875

C.2745

D.3465小结：本题为数列中位数类问题，找中间项破解。三、数列与平均数【例2】某成衣厂对9名裁缝工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（

）A.602

B.623

C.627

D.631三、数列与平均数【例2】某成衣厂对9名裁缝工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（

）A.602

B.623

C.627

D.631小结：本题为等差数列级差类、平均数、中位数问题，考生需对该知识点的变形形式进行简单推导记忆。三、数列与平均数【例3】｛an｝是一个等差数列，a3

+

a7

-

a10

=

8a11

-

a4

=

4

，则数列前13项之和是( )。A.32

B.36

C.156

D.182三、数列与平均数【例3】｛an｝是一个等差数列，a3

+

a7

-

a10

=

8a11

-

a4

=

4

，则数列前13项之和是( )。A.32

B.36

C.156

D.182小结：本题为等差数列级差类、平均数、中位数问题，考生需对该知识点的变形形式进行简单推导记忆。三、数列与平均数【例4】某条公交线路上共有10个车站，一辆公交车在始发站上了12个人，在随后每一站上车的人数都比上一站少1人。到达终点站时，所有乘客均下了车。如果每个车站下车乘客数相同，那么有多少人在终点站下车？(

)A.7

B.9

C.10

D.8三、数列与平均数【例4】某条公交线路上共有10个车站，一辆公交车在始发站上了12个人，在随后每一站上车的人数都比上一站少1人。到达终点站时，所有乘客均下了车。如果每个车站下车乘客数相同，那么有多少人在终点站下车？(

)A.7

B.9

C.10

D.8小结：本题为等差数列求和问题。三、数列与平均数【例5】今天小李发现日历有6天没有翻，就一次翻了6张，这6天的日期加来起数字是141，请问今天是几号?(

)A.25

B.21

C.27

D.26三、数列与平均数【例5】今天小李发现日历有6天没有翻，就一次翻了6张，这6天的日期加来起数字是141，请问今天是几号?(

)A.25

B.21

C.27

D.26小结：本题为等差数列求项数问题；可以直接求、中位数、居中带入。三、数列与平均数【例6】如果某一年的七月份有5个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3号是星期几？(

)A.星期一C.星期五B.星期三D.星期日三、数列与平均数【例6】如果某一年的七月份有5个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3号是星期几？(

)A.星期一C.星期五B.星期三D.星期日小结：本题为等差数列中位数问题。可以直接求、中位数推导或者带入排除。三、数列与平均数【总结】重点：等差数列、总和、平均数、中位数牢记：等差数列求和公式=中位数×项数=平均数×个数练习题【1】一个房间里有10个人，平均年龄是27岁。另一个房间里有15个人，平均年龄是37岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？( )

A.30

B.31【2】77个连续自然数的和是7546，则其中第45个自然数是(

)。A.91C.32

D.33B.100

C.104

D.105【3】某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有1/4被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。问录取分数线是多少分？()A.80

B.79

C.78

D.77【4】某单位共有员工25人，他们的平均年龄为28岁，其中男员工的平均年龄为30岁，女员工的平均年龄为25岁，问男员工比女员工的人数多多少？()A.2

B.3人C.4人D.5人【5】一个等差数列共有2n-1项，所有奇数项的和为36，所有偶数项的和为30，那么n的值为(）A.5

B.6

C.10

D.11【6】八个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是前面两个数的和，已知第五个数是7，第7个数是？（

）

A.18

B.29

C.11

D.13【7】77个连续自然数的和是7546，则其中第46个自然数是？

A.104 B.105

C.103

D.106【8】一张试卷共有10道题，后面的每一道题的分值都比前面一道题多2分。如果这张试卷的满分是100分，那么第7道题分值应为多少？（

）

A.11

B.13

C.15

D.16参考答案【1】-【5】DCBDB【6】-【10】ABB四、工程问题1.核心公式：工作总量=工作效率×工作时间；2.基本方法：※赋值法（整数）：赋值工作总量、赋值工作效率；※方程法3.主要题型※给定时间型※给定效率型※混合型题目四、工程问题【例1】一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需（）A.10天

B.12天

C.8天

D.9天四、工程问题【例1】一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需（）A.10天

B.12天

C.8天

D.9天小结：本题为给定时间类问题，利用赋值法设工作总量(时间的最小公倍数)；结合题干更快。四、工程问题【例2】单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时如果按照甲、乙、甲、乙…的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？A.13小时40分钟C.13小时50分钟B.13小时45分钟D.14小时四、工程问题【例2】单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时如果按照甲、乙、甲、乙…的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？A.13小时40分钟C.13小时50分钟B.13小时45分钟D.14小时小结：本题为给定时间类问题，利用赋值法设工作总量(时间的最小公倍数)；注意题干。四、工程问题【例3】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？()A.

6 B.

7 C.

8 D.

9四、工程问题【例3】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？()A.

6

B.

7 C.

8

D.

9小结：本题为给定效率类问题，利用赋值法(效率为具体值)求工作总量；带入排除法。四、工程问题【例4】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队

与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22天以后，这项工程：(

)A.已经完工

B.余下的量需甲乙共同工作1天C.余下的量需乙丙共同工作1天

D.余下的量需甲乙丙共同工作1天四、工程问题【例4】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队

与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22天以后，这项工程：(

)A.已经完工

B.余下的量需甲乙共同工作1天C.余下的量需乙丙共同工作1天

D.余下的量需甲乙丙共同工作1天小结：本题为给定效率类问题，利用赋值法(效率)求工作总量，根据时间求余量。四、工程问题【例5】三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍，如果乙和丙一起分拣所有的快件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能完成所有快件的分拣工作？A.1时45分钟

B.2时

C.2时15分钟

D.2时30分钟四、工程问题【例5】三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍，如果乙和丙一起分拣所有的快件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能完成所有快件的分拣工作？(

)A.1时45分钟

B.2时

C.2时15分钟

D.2时30分钟小结：本题为工程混合类问题，利用赋值法设工作效率，结合方程法求解。四、工程问题【总结】核心公式：工作总量=工作效率×工作时间◆，需基本方法：赋值法；方程法题型：工作时间→赋工作总量→工作效率；工作效率比→赋效率→工作总量混合型→同时涉及到“工作时间”和“工作效率”梳理清楚这三个量之间的

关系（“分段思想”）。练习题【1】要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45分钟完成。若两人一起折，需要多少分钟完成？(

)A.10

B.15

C.16

D.18【2】有一只木桶，上方有两个水管，单独打开第一个，20分钟可装满木桶；单独打开第二个，10分钟可装满木桶。木桶底部有一小孔，水可以从孔中流出，一满桶水用40分钟流完。若同时打开两个水管，水从小孔中也同时流出，经过多长时间木桶才能装满水？(

)A.10分钟 B.9分钟 C.8分钟

D.12分钟【3】某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天？(

)A.6

B.7

C.8

D.9【4】某项工程由A、B、C三个工程队负责施工，他们将工程总量等额分成了三份同时开始施工。当A队完成了自己任务的90％时，B队完成了自己任务的一半，C队完成了B队已完成任务量的80％，此时A队派出2／3的人力加入C队工作。问A队和C队都完成任务时，B队完成了其自身任务的( )。A.80％

B.90％

C.60％

D.100％【5】同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米?(

)A.6

B.7

C.8

D.9参考答案【1】D【2】C【3】B【4】A【5】B五、溶液问题1.基本公式：浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)溶液＝溶质+溶剂溶质=溶液×浓度2.主要题型：溶质不变型（稀释、蒸发、混合后总溶质不变）；溶质改变型；饱和浓度型溶液混合问题：两溶液混合，质量分别为M

1

、M

，2

浓度分别为C

1

,

C

，2

混合后溶液浓度为C ,

则有公式：M

1

C

1

+

M

2

C

2

=（M

1

+

M

2）C3.常用方法赋值法、十字交叉法、调和平均数法、方程法＆牢牢抓住“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系，是解题的基础和关键；将其中”不变量”或“相等量”设为特值，简化运算。五、溶液问题【例1】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？(

)A.3％

B.2.5％C.2％D.1.8％五、溶液问题【例1】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？()A.3％

B.2.5％

C.2％

D.1.8％小结：本题为溶质不变增加溶剂稀释类问题,赋值溶质、溶液；调和平均数五、溶液问题【例2】当含盐30％的60千克盐水蒸发为含盐40％的盐水时，盐水重量为多少千克？（

）A.45

B.50

C.55

D.60五、溶液问题【例2】当含盐30％的60千克盐水蒸发为含盐40％的盐水时，盐水重量为多少千克？（

）A.45

B.50

C.55

D.60小结：本题为溶质不变，溶剂蒸发类问题；抓住溶质不变量破题。五、溶液问题【例3】一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入30千克水与6千克糖。则糖水的浓度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克?(

)A.15千克 B.18千克 C.21千克

D.24千克五、溶液问题【例3】一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入30千克水与6千克糖。则糖水的浓度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克?(

)A.15千克

B.18千克

C.21千克

D.24千克小结：本题为混合溶液总溶质不变类问题，常用方程法求解。五、溶液问题【例4】一瓶浓度为80%的酒精溶液倒出1/4后用水加满，再倒出1/3后仍用水加满，再倒出1/5后还用水加满，这时瓶中酒精溶液浓度为( )。A.30%

B.35%

C.32%

D.50%五、溶液问题【例4】一瓶浓度为80%的酒精溶液倒出1/4后用水加满，再倒出1/3后仍用水加满，再倒出1/5后还用水加满，这时瓶中酒精溶液浓度为( )。A.30%

B.35%

C.32%

D.50%小结：本题为溶质变化类问题，可以直接套用公式来求解。

P

%( 1

-

x

)

N五、溶液问题【例5】杯中原有浓度为18%的盐水溶液100mL,重复

以下操作2次，加入100mL水，充分配合后，倒出

100mL溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?(

)A.9%

B.7.5%

C.4.5%

D.3.6%五、溶液问题【例5】杯中原有浓度为18%的盐水溶液100mL,重复

以下操作2次，加入100mL水，充分配合后，倒出

100mL溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?(

)A.9%

B.7.5%

C.4.5%

D.3.6%N)小结：本题为溶质变化类问题，可以直接套用公式来求解。P

%(11

+

x五、溶液问题【例6】在某状态下，将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出1/4溶液加入4g溶质和11g水，请问此时溶液浓度变为多少？(A.21.6%

B.22.05%

C.23.53%)。D.24.15%五、溶液问题【例6】在某状态下，将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出1/4溶液加入4g溶质和11g水，请问此时溶液浓度变为多少？(A.21.6%

B.22.05%

C.23.53%)。D.24.15%小结：本题为浓度饱和类问题，要注意饱和溶液浓度的临界值。五、溶液问题【总结】※简单溶液混合问题：运用基本概念和基础公式※等溶剂增减问题：赋值溶质，得到溶液，即可解决※溶液变化问题：直接利用公式，抓住浓度本质※饱和溶液问题：关注临界值练习题【1】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少?(

)A.30％

B.32％

C.40％

D.45％【2】小王上山采到了10千克含水量为99%的蘑菇，晾晒以后含水量降到98%，请问蒸发的水的重量?( )A.0.1千克

B.0.2千克 C.5.0千克

D.9.8千克【3】在浓度为40％的酒精中加入4千克水，浓度变为30％，再加入M千克纯酒精，浓度变为50％，则M为多少千克?(

)A.8

B.12

C.4.6

D.6.4【4】有3个试管A、B、C分别装有一定量的清水，现将浓度为12%的溶液10克倒入A试管，混合后取出10克倒入B试管，混合后再取出10克倒入C试管。最后A、B、C三个试管的浓度为6%、2%、0.5%，则最初A、B、C三个试管中哪个盛水最少？（

）A.A试管

B.B试管 C.C试管

D.无法确定【5】甲乙丙三人都把25克糖放入100克水中配成糖水，甲再加入50克浓度为20%的糖水；乙再加入20克糖和30克水；丙再加入糖与水的比为2:3的糖水100克，三人配成糖水中最甜的是？（

）A.甲

B.乙 C.丙

D.乙和丙参考答案【1】A【2】C【3】D【4】A【5】C六、行程问题核心公式：路程=速度×时间常考题型：基础行程问题相对速度问题复杂行程问题•常用方法：图示法比例法赋值法方程法六、行程问题基础行程解题要点：1.基本公式:S=V*T••2.学会用赋值法、方程法求解问题21

1

2

2

v

vv

+

v等距离平均速度公式：V

=—六、行程问题【例1】某轮船计划用15小时从A地到B地，行驶5小时后，由于天气变好，速度加快了25％，可提前几小时到达？(

)A.4B.3C.2D.1六、行程问题【例1】某轮船计划用15小时从A地到B地，行驶5小时后，由于天气变好，速度加快了25％，可提前几小时到达？(

)A.4B.3C.2D.1小结：本题为基础行程中的变速问题，“变速运动”实质上就是“分段运动”，关键抓住每段运动的路程、速度、时间；运用赋值法求解。六、行程问题【例2】老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100米/分钟，问老张往返的平均速度是多少米/分钟？(

)A.85B.80C.75D.70六、行程问题【例2】老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100米/分钟，问老张往返的平均速度是多少米/分钟？(

)A.85B.80C.75D.70小结：本题为典型的等距离平均速度问题，考生需注意“等距离”概念。套用公式：（调和平均数）212v

vv

+

vV

=

1

2

—六、行程问题【例3】在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米？(

)A.45

B.48

C.50

D.24六、行程问题【例3】在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米？(

)A.45

B.48

C.50

D.24小结：本题为典型的等距离平均速度问题，考生需注意“等距离”概念。套用公式：也可以直接设方程。212v

vv

+