概率论课后答案第2章作业题解

为保证设备的正常运行,必须配备一定数量的设备维修人员.180台,且各台设备工作相互独立,任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员,才能保证设备发解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则P(Xm1)n=180较大，p=0.01X近似服从参数为1800.011.8的泊m+1=7m=6。6名设备维修人员。某种元件的X(单位：小时)的概率密度函数为f(x) 51500小时后,21500

P(1000X1500)

15001000dx 1000x2

51500Y为

Y~B(5,3

P(Y2C21)2(2)3805 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦时)是一连续型随量,概率 12x(1x)2, f(x)0, 假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时,求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万千瓦时,每天供电量不足的概率是多少?解：求每天的供电量仅有80万千瓦时,该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦时（亦即X0.8百万千瓦时）的概率：0.=1-0.=1- 01(6x28x33x4)08090万千瓦时,P(

0.=1-0.=1- 01(6x28x33x4)090设随量K~U(2,4),求方程x22Kx2K30有实根的概率x22Kx2K304K28K124(K3)(K10K3K1x22Kx2K30K~U(2124314 某型号的飞机发射管的X(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布,求下列 不超过100小时 超过300小时 不超过100小时,另一只发射管的在100至300小时解：(1)发射管不超过100小时的概率00P(X100)1000.005e0005xdxe0005x1001e0500发射管的超过300小时的概率P(X300)1P(x300)1(1e15)e15一只发射管的不超过100小时,另一只发射管的在100至300小时 的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282 中,有两次或两次以上超过10分钟的概率 的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打 超过10分钟的概1010P(X10)0.5e05xdxe05x1010又设282人中 超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e5)n=282较大，pY近似服从参数为282e51.9的泊松分布。1e1.91.9e1.912.9e1.9某高校的收缩压X(单位：毫米柱)服N(110,122),求该校某名收缩压不超过105的概率收缩压在100至120之间的概率(解：(1)P(X105105110(0.421(10.6628(2)P(100X120)120110)100 (0.83(0.83)2(0.83120.796710.5934公共汽车门的高度是按成年与车门碰头的机会不超过0.01设计的,设身高X(单位：厘米)服从正态分布N(170622),问车门的最低高度应为多少?x。则：P(Xx)10.010.99(x6查表得，(2.330.99x1702.336已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数,求X的概率分布与分布函数.解：X的可能取值为0,1,2181716 因为P(X0) ,； P(X2)18 C CP(X1)1123 XX012P3X xF(x)

0x1x1 x1袋中有同型号小球5只,编号分别为1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,X出的3只中的最小号码,求随量X的概率分布和分布函数.解：X1,2,3。 C3P(X14C3

P(X3)

C5 C5

P(X2)10.60.1XX123PX xF(x)

1x2x

x设连续型随量X的分布函数为 xF(x)lnx,1x x（2）Xf(x。解：(1)P(X2)F(2)ln2P(0X3)F(3)F(0)10 X

1x

f(x)F(x)0 0设连续型随量X的分布函数为abeF(x)求常数

2

xxXf(xlnln

X

a解：(1)由F()1及limF(x)F(0，得

a=1,b=-

f(x)F(x)

2

x

ab

x

X

ln16)

ln 2)4

0.25设随量X的概率分布为X022解：(1)Y0,π2,4π2。P(Y0)P(X)0.2；2P(Y2)P(X0)P(X)0.7P(Y42)P(X3)2YY0P(2)Y的可能取值为-1,1因为P(Y1P(X0P(X0.7P(Y1)P(X)P(X3) YY-1P设随量X的分布函数 x 1xF(x)0.81x

x（1）求X的概率分布 （2）求Y

X解：(1)XF(x)的分界点，即-1,1,2因为P(X10.3P(X10.80.30.5P(X210.8XX-12P(2)Y1,2因为P(Y1P(X1P(X1P(Y2)P(X2)YY12P设随量X~N(0,1)，求下列随量Y概率密度函数（1）Y2X （2）YeX；(3)YX2解：设FY(y)和fY(y)分别为随量Y的分布函数和概率密度函数fX(x)

eFyP(YyP(2X1yP(Xy1

(yY

f(y)

(y

y11

2(y

2 2)(2

2 2

(

(22Y参数分别为-1,22

y1

，FYyP{YyP(0

y

fX(x)

e2YF(y)P(Yy)P(eXy)P(XlnY

eeP(Xlny)1P(Xlny)1FX(lny)

ln

ln2

f(y)

e

,yY ,yY

y0

FYyP{YyP(0

y

fX(x)

e2yYF(y)P(Yy)P(X2y) X yyYFX

y)FX

y

2

y

fY(y)2

y设随量X~U(0,)，求下列随量Y概率密度函数Y2lnX （2）YcosX；(3)YsinX解：(1)fX(x)

0x FYyP(YyP(2lnXyP(Xe2FX(e2 y

1 y

fY(y)

fX(e2)(e2

e2fX(e2) 因为当0e2y2lnfX(e2yfX(e20所

(y)(y)2

y2ln

FY(y)P(Yy)P(cosXy)P(arccosyX)，由于 X~U(0,Fyarccos

Yf(y)Y

110

1yYsinX(0,1)y(0,1，FYyP(YyP(sinXyP(0XarcsinyP(arcsinyX)，由于 量X~U(0,)，容易求得F(y)2arcsin

Yf(y)Y

210

1y （1）离如果离散型 量可能取值为aii1,2,（1）离PaipipiPai为随量的分布列，也称为分布律，简称分布

i

也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随量的piPai（2）连量设X为随量，如果存在一个定义在整个实轴上的函数f(x)，满足(1)f(x) f(x)dx(3)对于任意实数a,b（ab）(a可以是- b也可以是∞)，bP{aXb}af(x)dx则称X为连续型随量，而f(x)称为X的概率密度函数，简称概率（3）离量P(Xx)P(xXxdx)f积分元f(x)dx在连续型随量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在（4）分设X为随量，x是任意实数，则函F(x)P(X称为随量X的分布函数，本质上是一个累积函数P(aXb)F(b X(a,b布函数F(x)表示随量落入区间（–∞，x]内的概率。1°0F(x) x2°F(xx1x2时，有F(x1)F(x2)；3°F()limF(x)0，F()limF(x) 4°F(x0F(xF(x5°P(Xx)F(x)F(x0)。 量，F(x)pk；xkx对于连续型 量，F(x)f(x)dx（5）八0-1P(X1)p,P(X0)1p在n重贝努里试验中设A发生的概率为p A发生的次数是随量，设为X，则X可能取值为P(Xk)Pn(k)Ckpk nq1p,0p1,k0,1,2,,n则称随量X服从参数为n，p的二项分布。记X~B(npn1PXk)pkq1kk0.1，这就是（0-1）设随量X的分布律P(Xk)e，0，kk则称随量X服从参数为的泊松分布记为X~P(（np=λ，n→∞超几何分CkCnk P(Xk)M NM,Cn N随量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记H(nNMPXk)qk1pk1,2,3,p≥0，q=1-p。随量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)[ab]b]上为常数 ，b f(x)b 则称随量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a， xab xF(x)f(x)dx 当a≤x1<x2≤b，X（x1x2）P(xXxx2x1 bex x0f(x) x0其中0，