人教版理步步高2014必备高考数学大一轮复习讲义3导数及其应用课件题库学案真题21份配套第三章

§3.3导数的应用（二）数学

RB（理）第三章 导数及其应用基础知识·自主学习要点梳理利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；比较函数在区间端点和f′(x)＝0

的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；回归实际问题作答．难点正本 疑点清源实际问题的最值注意函数定义域的确定．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．基础知识·自主学习要点梳理不等式问题证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．难点正本 疑点清源2．判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性．基础知识·自主学习基础自测题号答案解析125

000π2[－1,1]3(－2,2)4f(a)<f(b)5144

cm3设时间t

时，水波圆的半径、面积分别为r、s，则r＝50t，S＝πr2＝π·(50t)2＝2

500πt2，则S′＝5

000πt，而r＝250

时，t＝5，故S′(5)＝25

000π(cm2/s)．返回∵f′(x)＝1＋acos

x，∴要使函数f(x)＝x＋asin

x在R

上递增，则1＋acos

x≥0

对任意实数x

都成立．∵－1≤cos

x≤1，①当a>0

时，－a≤acos

x≤a，∴－a≥－1，∴0<a≤1；②当a＝0

时适合；③当a<0

时，a≤acos

x≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a<0.综上，－1≤a≤1.返回由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．返回f′(x)＝1－ln

xx2，∵0<a<b<e，∴1－ln

xx2>0，返回即f′(x)>0，∴f(x)为增函数，∴f(a)<f(b)．设盒子容积为y

cm3，盒子的高为x

cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x

(0<x<5)＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2

或20

舍去)，3

(∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).返回【例

1】

设

a

为实数，函数

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.求f(x)的单调区间与极值；求证：当a>ln

2－1

且x>0

时，ex>x2－2ax＋1.题型分类·深度剖析题型一

运用导数证明不等式问题思维启迪

解析 探究提高题型分类·深度剖析题型一

运用导数证明不等式问题思维启迪

解析 探究提高证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题．【例

1】

设

a

为实数，函数

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.求f(x)的单调区间与极值；求证：当a>ln

2－1

且x>0

时，ex>x2－2ax＋1.【例

1】

设

a

为实数，函数

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln

2－1

且x>0

时，ex>x2－2ax＋1.题型分类·深度剖析题型一

运用导数证明不等式问题思维启迪解析探究提高(1)解

由

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R

知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln

2，于是当x

变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，ln

2)x

ln

2(ln

2，＋∞)f′(x)

－0＋f(x)单调递减

2(1－ln

2＋a)

单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln

2]，单调递增区间是[ln

2，＋∞)，f(x)在x＝ln

2

处取得极小值，极小值为f(ln

2)＝eln

2－2ln

2＋2a＝2(1－ln

2＋a)．【例

1】

设

a

为实数，函数

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln

2－1

且x>0

时，ex>x2－2ax＋1.题型分类·深度剖析题型一

运用导数证明不等式问题思维启迪解析探究提高(2)证明

设

g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln

2－1

时，g′(x)的最小值为g′(ln

2)＝2(1－ln

2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是当a>ln2－1

时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.题型分类·深度剖析题型一

运用导数证明不等式问题思维启迪

解析 探究提高利用导数方法证明不等式

f(x)>g(x)在区间

D

上恒成立的基本方法是构造函数

h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数

h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【例

1】

设

a

为实数，函数

f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.求f(x)的单调区间与极值；求证：当a>ln

2－1

且x>0

时，ex>x2－2ax＋1.πx3变式训练

1

当

0<x<2时，求证：tan

x>x＋

3

.

x3证明

设

f(x)＝tan

x－x＋

3

，题型分类·深度剖析

1

则f′(x)＝cos2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tan

x－x)(tan

x＋x)．因为0<x<π2，所以x<tan

x，所以f′(x)>0，

即

x∈

，π时，f(x)为增函数．0

2

所以

x∈

π时，f(x)>f(0)．0，2而f(0)＝0，所以f(x)>0，

x3

x3即tan

x－x＋3

>0.故tan

x>x＋3

.【例

2】

已知函数

f(x)＝ln

x－ax.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；32(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a

的值；(3)若f(x)<x2

在(1，＋∞)上恒成立，求a

的取值范围．题型分类·深度剖析题型二

利用导数研究恒成立问题思维启迪

解析 探究提高题型分类·深度剖析求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调性．根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解．f(x)<x2→a>xln

x－x3→求xln

x－x3

的最大值．题型二

利用导数研究恒成立问题思维启迪

解析探究提高【例

2】

已知函数

f(x)＝ln

x－ax.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；32(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，2求a

的值；(3)若

f(x)<x

在(1，＋∞)上恒成立，求

a

的取值范围．a【例

2】

已知函数

f(x)＝ln

x－x.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为3，2求a

的值；(3)若f(x)<x2

在(1，＋∞)上恒成立，求a

的取值范围．题型分类·深度剖析题型二

利用导数研究恒成立问题1解

(1)由题意知

f(x)的定义域为(0，＋∞)，且

f′(x)＝x＋x2x2

a

＝x＋a.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．思维启迪解析 探究提高x＋a(2)由(1)可知，f′(x)＝

x2

.①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0

在[1，e]上恒成立，3

3此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝2，∴a＝－2(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0

在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，min∴f(x)

＝f(e)＝12a

3

e－e＝2，∴a＝－

(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0

得x＝－a，当1<x<－a

时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；【例

2】

已知函数

f(x)＝ln

x－x.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为3，2求a

的值；(3)若f(x)<x2

在(1，＋∞)上恒成立，求a

的取值范围．a当－a<x<e

时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，题型分类·深度剖析题型二

利用导数研究恒成立问题min∴f(x)

＝f(－a)＝ln(－a)＋13＝2，∴a＝－

e.思维启迪解析探究提高综上所述，a＝－e.(3)∵f(x)<x2，∴ln

x－a

x2.又x>0，∴a>xln

x－x3.x<令g(x)＝xln

x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln

x－3x2，1h′(x)＝x－6x＝1－6x2x.∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)<g(1)＝－1，∴当a≥－1

时，f(x)<x2

在(1，＋∞)上恒成立．题型分类·深度剖析题型二

利用导数研究恒成立问题(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域．(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用．思维启迪解析探究提高【例

2】

已知函数

f(x)＝ln

x－ax.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；2(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为3，求a

的值；(3)若f(x)<x2

在(1，＋∞)上恒成立，求a

的取值范围．题型分类·深度剖析a≥3x－1

3x－1x3

x3，设

g(x)＝

，x∈(0,1]，g′(x)＝3x3－(3x－1)(3x2)6＝－

16x－2x

x4，g′(x)与g(x)随x

的变化情况如下表：x

10，

2121

，12

g′(x)＋0—g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a

的取值范围是[4，＋∞)．变式训练

2

已知函数

f(x)＝ax3－3x＋1对

x∈(0,1]总有

f(x)≥0成立，则实数

a

的取值范围是[4，＋∞)

．解析

当

x∈(0,1]时不等式

ax3－3x＋1≥0

可化为题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高题型三

生活中的优化问题【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20

年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元．设f(x)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和．求k

的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．题型分类·深度剖析(1)考虑求解C(x)＝k3x＋5中的参数k的值，注意C(0)＝8.(2)由导数求最值，注意考虑定义域．思维启迪解析探究提高题型三

生活中的优化问题【例

3】

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20

年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元．设f(x)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和．求k

的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．建造可使用20

年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，3x＋5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元．设f(x)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和．(1)求k

的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．题型分类·深度剖析题型三

生活中的优化问题【例

3】

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要思维启迪解析探究提高解

(1)设隔热层厚度为

x

cm，由题设，知每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)．再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)．又建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和为1f(x)＝20C(x)＋C

(x)＝20×403x＋5

3x＋5＋6x＝

800

＋6x

(0≤x≤10)．建造可使用20

年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，3x＋5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元．设f(x)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和．(1)求k

的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．题型分类·深度剖析题型三

生活中的优化问题【例

3】

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要思维启迪解析探究提高(3x＋5)2(2)f′(x)＝6－2

400

，令f′(x)＝0，即2

400(3x＋5)23＝6.解得x＝5

或x＝－25(舍去)．当0<x<5

时，f′(x)<0，当5<x<10

时，f′(x)>0，故x＝5

是f(x)的极小值也是最小值点，15＋5对应的最小值为

f(5)＝6×5＋

800

＝70.当隔热层修建5

cm

厚时，总费用达到最小值70

万元．题型分类·深度剖析在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．解析思维启迪

探究提高题型三

生活中的优化问题【例

3】

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20

年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元．设f(x)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和．求k

的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．变式训练

3

某工厂每天生产某种产品最多不超过

40件，并且在生产过程中产品的正品率

p

与每日生产的产品件数

x(x∈N＋)之间的关系为p＝4

200－x24

500，每生产一件正品盈利4

000

元，每出现一件次品亏损2

000

元．(1)将日利润y(元)表示成产量x(件)的函数；解

∵y＝4

000×4

200－x24

500

4

200－x24

500·x－2

0001－

·x4＝3

600x－3x3，题型分类·深度剖析∴所求的函数关系式是＋y＝－4

＋3

600x

(x∈N

，1≤x≤40)．3x3变式训练

3

某工厂每天生产某种产品最多不超过

40

件，并且在生产过程中产品的正品率

p

与每日生产的产品件数

x(x∈N＋)之间的关系为p＝4

200－x24500，每生产一件正品盈利4

000

元，每出现一件次品亏损题型分类·深度剖析2

000

元．(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大？并求出日利润的最大值．解

易得

y′＝3

600－4x2，令

y′＝0，解得

x＝30.∴当1≤x<30

时，y′>0；当30<x≤40

时，y′<0.＋∴函数

y＝－4

＋3

600x

(x∈N

，1≤x≤40)在[1,30)上单调递增，3x3在(30,40]上单调递减．4当x＝30

时，函数y＝－3x3＋3

600x

(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大43值，最大值为－3×30

＋3

600×30＝72

000(元)．∴该厂的日产量为30

件时，日利润最大，其最大值为72

000

元．高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P

点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.题型分类·深度剖析考

点分

析 解

题策

略

规

范解

答

解

后反

思题型分类·深度剖析本题考查曲线的切线、导数的几何意义，考查函数在闭区间上的最值．规

范解

答

解

后反

思考

点分

析 解

题策

略高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P

点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.题型分类·深度剖析本题的关键点：P(1,0)点处切线斜率为2，可以列方程解出a，b；证明不等式时可以构造函数，利用函数的单调性来证明不等式．规

范解

答

解

后反

思考

点分

析 解

题策

略高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P

点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.题型分类·深度剖析b(1)解

f′(x)＝1＋2ax＋x.1分由已知条件得f(1)＝0，f′(1)＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.4分解得a＝－1，b＝3.(2)证明

因为

f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知

f(x)＝x－x2＋3ln

x.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln

x，规

范解

答

解

后反

思考

点分

析 解

题策

略高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P

点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.题型分类·深度剖析则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－(x－1)(2x＋3)x.8分当0<x<1

时，g′(x)>0，当x>1

时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．10分而g(1)＝0，故当x>0

时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.12分规

范解

答

解

后反

思考

点分

析 解

题策

略高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P

点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.题型分类·深度剖析利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用．将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目．规

范解

答

解

后反

思考

点分

析 解

题策

略高考圈题

3.导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b

的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.审

题

路

线

图

规

范

解

答

温

馨

提

醒审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域)求f′(x)＝0

的解，即f(x)的极值点↓(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值↓(转化为研究单调性)求f(x)在[1，e]上的单调性↓(转化为求函数值)审

题

路

线

图

规

范

解

答求f(x)的极值温馨提醒审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．题型分类·深度剖析温馨提醒审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．审

题

路

线

图

规

范

解

答比较端点值、极值，确定最大、最小值↓(构造函数进行转化)F(x)＝f(x)－g(x)↓(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)<0

在[1，＋∞)上恒成立．↓研究函数F(x)在[1，＋∞)上的单调性．题型分类·深度剖析(1)解

由于函数

f(x)的定义域为(0，＋∞)，1当a＝－1

时，f′(x)＝x－x＝(x＋1)(x－1)x，令f′(x)＝0

得x＝1

或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，2所以f(x)在x＝1

处取得极小值为1.1分2分3分4分5分审

题

路

线

图

规

范

解

答温馨提醒审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．题型分类·深度剖析当a＝1

时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，(2)解∴f(x)min

max1

1＝f(1)＝2，f(x)

＝f(e)＝2e2＋1.1

2(3)证明

设

F(x)＝f(x)－g(x)＝2x2＋ln

x－3x3，1(1－x)(1＋x＋2x2)x，9分则F′(x)＝x＋x－2x2＝当x>1

时，F′(x)<0，审

题

路

线

图

规

范

解

答温馨提醒6分7分审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．题型分类·深度剖析1故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－6<0，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0

恒成立．即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1

时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．11分12分审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．审

题

路

线

图

规

范

解

答

温

馨

提

醒题型分类·深度剖析审题路线图

2.二审结论会转换＝2若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；若

a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数

f(x)的图象在函数

g(x)

2x3

的＝3图象的下方．审

题

路

线

图

规

范

解

答

温

馨

提

醒导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用．对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧思想方法·感悟提高理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值．失误与防范思想方法·感悟提高函数f(x)在某个区间内单调递增，则f′(x)≥0

而不是f′(x)>0(f′(x)＝0

在有限个点处取到)．导数为0

的点不一定是极值点，极大值未必大于极小值．练出高分A组 专项基础训练123456789A组 专项基础训练123456789练出高分1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1

有极大值和极小值，则实数a(

)的取值范围是A．(－1,2)C．(－3,6)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析A组 专项基础训练123456789练出高分1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1

有极大值和极小值，则实数a()的取值范围是A．(－1,2)C．(－3,6)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0

有两个不相等的实根．∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6

或a<－3.BA组 专项基础训练123456789练出高分2．曲线y＝ex

在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

)94A．

e2B．2e2C．e2D.e22解析A组 专项基础训练123456789练出高分94A．

e2

22B．2e

C．e

D.e22解析∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，△12∴S

＝

×2e221×e

＝

.2．曲线y＝ex

在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

D

)A组 专项基础训练123456789练出高分3．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln

x

是单调递增函数，则m

的取值范围是(

)A．m>－2

2

B．m≥－2

2

C．m<2

2

D．m≤2

2解析A组 专项基础训练123456789练出高分A．m>－2

2

B．m≥－2

2C．m<2

2

D．m≤2

2解析依题意知，x>0，f′(x)＝2x2＋mx＋1x，令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，当－m

0

时，g(0)＝1>0

恒成立，∴m≥0

成立，4

≤2≤m<0，当－m

时，则

Δ＝m2－8≤0，∴－24

>0综上，m

的取值范围是

m≥－2

2.3．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln

x

是单调递增函数，则m

的取值范围是(

B

)A组 专项基础训练123456789练出高分4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100

元，已知总营业收入R与年产量x

的年关系是R＝R(x)＝12400x－

x2(0≤x≤400)，则80

000

(x>400)，总利润最大时，每年生产的产品数是(

)A．100C．200B．150D．300解析A组 专项基础训练123456789练出高分4．某公司生产某种产品，固定成本为12400x－

x2(0≤x≤400)，80

000

(x>400)，是A．100C．200B．150D．300解析20

000

元，每生产一单位产品，成由题意得，总成本函数为C＝C(x)本增加100

元，已知总营业收入R

＝20

000＋100x，与年产量x

的年关系是R＝R(x)＝

总利润P(x)＝则x22300x－ －20

000

(0≤x≤400)，60

000－100x

(x>400)，总利润最大时，每年生产的产品数又P′(x)＝300－x

(0≤x≤400)，)

－100

(x>400)，令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300

时，总利润P(x)最大．(

DA组 专项基础训练123456789练出高分5．设P为曲线C：y＝x2－x＋1

上一点，曲线C

在点P

处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P

纵坐标的取值范围是

．解析A组 专项基础训练123456789练出高分5．设P为曲线C：y＝x2－x＋1

上一点，曲线C

在点P

处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P

纵坐标的取值范围是．解析设P(a，a2－a＋1)，则y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，

123∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝a－2

＋4，1

3当a＝2时，g(a)min＝4.当a＝2

时，g(a)max＝3，3

故

P

点纵坐标的取值范围是

34，

.

3

4，3A组 专项基础训练123456789练出高分6．在直径为d

的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为

(强度与

bh2

成正比，其中

h

为矩形的长，b

为矩形的宽)．解析A组 专项基础训练123456789练出高分6．在直径为d

的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为

(强度与

bh2

成正比，其中

h

为矩形的长，b

为矩形的宽)．解析截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，则ω＝kbh2，又h2＝d2－b2，∴ω＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，ω′＝－3kb2＋kd2，2d2令ω′＝0，得b

＝

3

，33

3∴b＝

3

d

或

b＝－

d(舍去)．∴h＝d2－b2＝

3

d6

.

63

dA组 专项基础训练123456789练出高分7．已知函数

f(x)＝－x3＋ax2－4在

x＝2处取得极值，若

m、n∈[－1,1]，则

f(m)＋f′(n)的最小值是

．解析A组 专项基础训练123456789练出高分7．已知函数

f(x)＝－x3＋ax2－4在

x＝2处取得极值，若

m、n∈[－1,1]，则

f(m)＋f′(n)的最小值是

－13

．解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2

处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x

的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.A组 专项基础训练123456789练出高分8．(10

分)设函数f(x)＝ax3－3x2

(a∈R)，且x＝2

是y＝f(x)的极值点．(1)求实数a

的值，并求函数的单调区间；解析A组 专项基础训练123456789练出高分8．(10

分)设函数f(x)＝ax3－3x2

(a∈R)，且x＝2

是y＝f(x)的极值点．(1)求实数a

的值，并求函数的单调区间；解析解

f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为

x＝2

是函数

y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.经验证，当a＝1

时，x＝2

是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．所以y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(0,2)．A组 专项基础训练123456789练出高分8．(10

分)设函数f(x)＝ax3－3x2

(a∈R)，且x＝2

是y＝f(x)的极值点．(2)求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．解析解

g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋

6)(x－

6)ex，因为

ex>0，所以

y＝g(x)的单调增区间是(－

6，0)，(

6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6)．A组 专项基础训练123456789练出高分9．(12

分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为10

万元/辆，出厂价为13

万元/辆，年销售量为5

万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x

(0<x<1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x

倍，问x

在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？解析A组 专项基础训练123456789练出高分9．(12

分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为10

万元/辆，出厂价为13

万元/辆，年销售量为5

万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x

(0<x<1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x

倍，问x

在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？解析解

本年度年利润为[13(1－0.9x)－10(1－

x)]×5×(1＋0.6x)＝5(3－1.7x)(1＋0.6x)．要使本年度的年利润比上年度有所增加，则有5(3－1.7x)(1＋0.6x)>5×(13－10)．<51解得

0<x

5.A组 专项基础训练123456789练出高分9．(12

分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为10

万元/辆，出厂价为13

万元/辆，年销售量为5

万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x

(0<x<1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.

259

307(2)若本年度年销售量y

关于x

的函数为y＝2

011·－x

＋34x＋289，则当x

为何值时，本年度年利润最大？解析解

本年度年利润为

3

217

119

17

921＝2

01110x

－

20

x

＋

5

x＋289.251

119

17W′(x)＝2

01110x

－

10

x＋

5

.259

307W(x)＝[13(1－0.9x)－10(1－x)]×2

011－x

＋34x＋289令W′(x)＝0，解得x11＝3，2x

＝2.又0<x<1，A组 专项基础训练123456789练出高分9．(12

分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车,上年度成本价为10

万元/辆，出厂价为13

万元/辆，年销售量为5

万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x

(0<x<1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.

259

307(2)若本年度年销售量y

关于x

的函数为y＝2

011·－x

＋34x＋289，则当x

为何值时，本年度年利润最大？解析0

所以函数

W(x)在

，1

1，13上为增函数，在3

上为减函数．故当

x

1

W(x)取得最大值，即当

x＝1＝3时，3时，本年度的年利润最大．123B组 专项能力提升4

567练出高分1B组 专项能力提升2

3

4

567练出高分1．函数f(x)＝21ex(sin

x＋cos

x)在

π区间0，2上的值域为()πC．[1，e

2

]πD．(1，e

2

)π

1

2

2A．

1，

e

2

B．π

21

2

1，

e

2

解析1．函数f(x)＝21ex(sin

x＋cos

x)在

π2πC．[1，e

2

]πD．(1，e

2

)A．π

1

2

2

1，

e

2

B．π

21

2

1，

e

2

1B组 专项能力提升2

3

4

567练出高分解析1xf′(x)＝2e

(sin

x＋cosx)＋1x2e

(cos

x－sin

x)＝excos

x，πf′(x)≥0，且只有在xπ＝2时，当0≤x≤2时，f′(x)＝0，

π2∴f(x)是0，上的增函数，∴f(x)的最大值为f

2＝π

12ep2，1f(x)的最小值为f(0)＝2.

π∴f(x)在0，2上的值域为

，1

12

2p

e

2

.区间0，

上的值域为

(

A

)B组 专项能力提升练出高分x2＋a32．若函数f(x)＝

x

(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 3

，则a的值为

(

)A.

33B.

3

C.

3＋1

D.

3－1解析1234567B组 专项能力提升练出高分x2＋a32．若函数f(x)＝

x

(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 3

，则a的值为A.

33B.

3C.

3＋1D.

3－1解析x2＋a－2x2f′(x)＝

＝a－x22(x2＋a)2

(x

＋a)2，当

x>

a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－

a<x<

a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当

x＝

a时，令

f(x)＝

a2a

＝

3

3，

3a＝

2

<1，不合题意．max∴f(x)

＝f(1)＝11＋a3＝

3，a＝

3－1，故选D.(

D

)1234567B组 专项能力提升1234567练出高分3．已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0

时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当

x<0

时有

(

)B．f′(x)>0，g′(x)<0D．f′(x)<0，g′(x)<0A．f′(x)>0，g′(x)>0C．f′(x)<0，g′(x)>0解析B组 专项能力提升1234567练出高分A．f′(x)>0，g′(x)>0C．f′(x)<0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．又x>0

时，f′(x)>0，g′(x)>0，由奇、偶函数的性质知，当x<0

时，f′(x)>0，g′(x)<0.3．已知对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0

时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当

x<0

时有

(

B

)专项能力提升1

2

3

4

65

7练出高分

B组1－x4．已知函数

f(x)＝ax

＋ln

x，若函数

f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数

a

的取值范围为

．解析专项能力提升1

2

3

4

65

7练出高分

B组1－x4．已知函数

f(x)＝ax

＋ln

x，若函数

f(x)在[1，＋∞)上为