专题5 2等差数列及其前项和教师版备战2020高考数学新一轮复习提分策略纸间书屋

5.2等差数列及其前n掌握等差数列的通项与前n项和【素养【素养•基础知识】

2Aa，b2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关通项

前n项和

等差数列的通项及前n项和与函数的关an＝a1＋(n－1)dan＝dn＋a1－dd≠0时，annd>0时，数列为d<0时，数列为递减数列．【素养•常用结论已知{an}为等差数列，d为公差，Snn通项的推广 S S ≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0， ≥0的项数m使得Sn取得最小值【体验1.【2019In，则）C．【答案】，,【名师点睛】本题主要考查等差数列通项与前n项和，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项与前n项即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判【2019年高考III卷理数记Sn为等差数列{an}的前n项和 则 【答案】 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数算素养．使用转化思想得出答 的最小值 【答案】0， ,, 时 【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 【答案】 解得 ，则 ，【2018年高 II卷理数】记为等差数列的前项和，已知 的通项 （an=–（）Snn2–n（1）设{an}d3a1+3d=–15．a1=–7d=2．n=4时，Sn取得最小值，最小值为（2）数列前n项和 得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.考法 和列方程(组)求解即可

an＝a1＋(n－1)d和前n项和

， 【答案】 【解析】设等差数列{an}的公差为d，则有a＋3d＝7，解得 所以 A. 【答案】

1

1 a10＝a1＋9d＝2＋9＝2 【答案】 由

＋nam－n＋am＋n＝2am.(2)在等差数列{an}Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．【例2】(1)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则 【答案】

92. 2n

2

2

【答案】2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)S6＝3.2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12考法 前n项和法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数13{an}nSn求证：求数列{an}的通项

1

1【解析】2，故22 11 n≥2 2，＝ 考法 通项法求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可一般地等差数列{an}中若a1＞0且p＋q

2时，Sn p＋q

时，Sn

mSnSma1<0，d>0 ≥0的项数m使得Sn取得最小值为【例4】等差数列{an}中，a1＞0，S5＝S12，则当Sn有最大值时，n的值 【答案】81

n＝1＋n－1

81≥

n项和最大，则

≤0，即

解得n≥8，8≤n≤9n∈N* n＝8n＝9时，Sn有最大值．【例5】(2018卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项；易错点了等差数列中的必要条件和充要条

2n

2

4

8.若{bn}2×4 2＋8

2

4

8.若{bn}2×4 2＋8

t＝－1

2n＋1

2n

t＝－1使{bn}da2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．(2)2an＝an＋1＋an－1证明{an}n2的任何正整数，不能用中间的几【训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数 【答案】m＝37.故选

21 1 【答案】【解析】依题意得a5＋a6＝11，a1＜a10a1＝1，a10＝10d＝10－1＝1.A.若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值 【答案】 【答案】7a1＋4d＝3(a1＋6d) Sn＝2(n2－15n)＝2n224n＝78时，Sn( (2)bn＝2an－15，求数列{|bn|}n

n＝2，所以数列n22，所以n(2)由(1)an＝2n2bn＝2an－15＝2n－15，则数列{bn}n

＝n2－14n.bn＝2n－15≤01．(2019·湘潭三模)《算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子织布，一天比一天织 A.7 8 【答案】

d

【答案】

2d＝6a1＝0，d＝2.a9＝a1＋8d＝16. 【答案】列{an}3项时，数列{an}是等差数列，当数列{an}3项时，数列{an}不一定是等差数列，故 【答案】 2a1＋a13

2 【答案】78Sn最大时，n＝7.6．(2019海淀区期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( 【答案】

(k∈N*)，所以22－3k＋1≤0，

3≤k3k∈N*n3 【答案】

【解析】由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋2＝－2得 ＝－2，解得 【解析】 a9 a3

{an}，{bn}为等差数列，所以

2b6＝b6.因为 (1)求数列{an}的通项；(2)若数列{an}kSk＝－35k(1)设等差数列{an}d

k＝7k＝－5.k∈N*(1)ak

Sn是等差数列{an}n(1)求