泛函分析-空间理论-西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年在实数空间R中,令Q为有理数全体.以下选项中,与“Q在R中稠密"等价的是().

参考答案:

_

设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.

参考答案:

_

以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.

参考答案:

有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集

设X是Banach空间,则以下命题中正确的是().

参考答案:

X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛

在通常的范数意义下,以下赋范空间是Banach空间的是().

参考答案:

__

Banach空间必为Hibert空间,但反之不成立.

参考答案:

错误

在不可数集X上定义离散距离d,则距离空间(X,d)是不可分的.

参考答案:

正确

任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.

参考答案:

内积同构

具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.

参考答案:

正确

赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.

参考答案:

错误

Banach空间指的是（）.

参考答案:

完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.

在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列

设M,N是内积空间的两个非空开集,若【图片】则【图片】

参考答案:

错误

以下选项中，不可分的距离空间为（）.

参考答案:

有界数列空间

距离空间中的非空开集一定包含一个().

参考答案:

接触点_闭球_开球_内点

非空开集一定是开球.

参考答案:

错误

设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的可分性.

参考答案:

正确

距离空间中的非空开集一定包含一个（）.

参考答案:

接触点_闭球_内点_开球

连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.

参考答案:

一致收敛

在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.

参考答案:

正确

在实数空间中,完全有界集与有界集是等价的.

参考答案:

正确

一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.

参考答案:

错误

内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.

参考答案:

正确

设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.

参考答案:

___

在赋范空间中，（）是凸集.

参考答案:

单位开球_子空间_单位闭球

记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体,按照范数【图片】成为赋范空间.则以下结论正确的是（）.

参考答案:

赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间

设E是赋范空间X的子空间。若E是Banach空间，则E是闭子空间。反之不成立。

参考答案:

正确

设M是内积空间H的紧凸集,则x在M中的最佳逼近点是存在的,但不唯一.

参考答案:

错误

赋范空间是内积空间的充分必要条件是，其范数满足平行四边形法则。

参考答案:

正确

设距离空间X是距离空间E的完备化空间,在等距同构的意义下,以下说法正确的是().

参考答案:

E是X的稠子空间

在实数空间中，()在无理数集中稠密.

参考答案:

有理数集

以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述,正确的是().

参考答案:

不可分的赋范空间一定不具有Schauder基_任何非零的赋范空间都具有Hamel基

任何非零Hilbert空间都具有标准正交基.

参考答案:

正确

在距离空间中,闭子空间与完备子空间是等价的.

参考答案:

错误

距离空间中的任一非空子集,其闭包未必是闭集.

参考答案:

错误

内积空间一定是().

参考答案:

距离空间_赋范空间_线性空间

在距离空间中,以下说法正确的是().

参考答案:

开球是开集_开球的补集是闭集_开球的闭包是闭集_开球的内部是开集

设【图片】是Hilbert空间H的一个标准正交基,【图片】.则以下命题正确的是().

参考答案:

S是完全的_x关于S的Fourier级数收敛于x__S是完备的

在列紧的距离空间中,柯西列与收敛列是等价的.

参考答案:

正确

在完备的距离空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

开子集一定不是完备的子空间_柯西列必为收敛列_闭子集一定是完备的子空间_收敛列必为柯西列

在可分的距离空间中，必包含（）.

参考答案:

有限子集_稠密子集_可数子集

全体有理数在（）中是稠密的.

参考答案:

实数空间

设E和F是距离空间中的点集,则以下关于“E在F中稠密”的表述正确的是().

参考答案:

_

在实数空间中,以下选项中是紧集的为().

参考答案:

[0,1]

以下关于距离空间中”柯西列与收敛列”的表述,正确的是().

参考答案:

收敛列一定是柯西列

以下关于线性空间中相关概念的叙述,不正确的是().

参考答案:

子集一定是子空间

内积空间的任何一个正交系必是().

参考答案:

线性无关集

在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.

参考答案:

错误

设M,N是内积空间H的两个子集,则以下命题正确的是().

参考答案:

若，则._若,则._若,则._

N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（）.

参考答案:

按坐标收敛

任意多个闭集的并集是闭集.

参考答案:

错误

设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.

参考答案:

Y中任何开集的原像是X中的开集_Y中任何闭集的原像是X中的闭集

赋范空间的子空间一定不是开子空间.

参考答案:

错误

每个非零的赋范空间必存在一个（）.

参考答案:

Hamel基

设X是无限维赋范空间,则以下命题正确的是().

参考答案:

X中的单位开球不是列紧集_X中的有界闭集不是紧集

Banach空间必为Hilbert空间，但反之不成立.

参考答案:

错误

任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.

参考答案:

正确

设E是内积空间H的子空间,【图片】，则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.

参考答案:

正确

任一非空集合上都可以定义距离,使之成为距离空间.

参考答案:

正确

设M是内积空间H的子集,则M的正交补是H的闭子空间.

参考答案:

正确

在有界数列空间中,列紧集是完全有界集.反之不成立.

参考答案:

错误

在以下选项中，具有完备性的距离空间是（）.

参考答案:

实数空间_N维欧氏空间_连续函数空间_离散的距离空间

在距离空间中，压缩映射一定是（）.

参考答案:

连续映射

每个非零的赋范空间都存在一个Schauder基.

参考答案:

错误

在实数空间中,全体有理数在全体无理数中稠密.

参考答案:

正确

（）线性空间上的任何两个范数等价.

参考答案:

有限维

完备的距离空间一定是列紧空间.

参考答案:

错误

在离散的距离空间中,以下选项中是列紧集的是().

参考答案:

有限子集_单点集

设M是线性空间X的子集，当M满足（）时，称M为X的Hamel基.

参考答案:

X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合_M中任何有限个向量的线性组合都线性无关

以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.

参考答案:

子集一定是子空间

关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.

参考答案:

收敛列的子列一定收敛_收敛列的极限一定属于该距离空间_收敛列的极限是唯一的

任何无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.

参考答案:

错误

闭集恰好由该集合的所有()构成.

参考答案:

接触点

以下线性空间，不可以定义内积的是（）.

参考答案:

其它三项都不对

赋范空间的子空间必为闭子空间.

参考答案:

错误

任何两个有限维赋范空间都是拓扑同构的.

参考答案:

错误

线性空间上的任何两个范数都等价.

参考答案:

错误

设X是赋范空间，则以下命题中与“X是有限维”等价的是（）.

参考答案:

X中的单位闭球是紧集_X中的单位开球是列紧集_X中的单位球面是紧集_X中的有界闭集是紧集

设X与Y是赋范空间，若映射T:X【图片】Y满足（），则称T是拓扑同构映射.

参考答案:

是连续的_T是连续的_T是线性映射_T是双射

设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的（）.

参考答案:

列紧性_收敛列_完备性_柯西列

赋范空间的一个重要特征就是：单位球是零元的凸邻域.

参考答案:

正确

每一个赋范空间都可以完备化，在等距同构意义下，其完备化空间是唯一的.

参考答案:

正确

Banach空间一定是完备的距离空间，反之不成立.

参考答案:

正确

以下赋范空间中，具有Schauder基的无限维空间是（）.

参考答案:

_

设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.

参考答案:

X中任一绝对收敛的级数必收敛_X的闭子空间是Banach空间_X的完备化空间是它自己

在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.

参考答案:

__

距离空间未必是赋范空间.

参考答案:

正确

赋范子空间一定是线性子空间.

参考答案:

正确

以下命题中，正确的是（）.

参考答案:

赋范空间一定是距离空间_距离空间未必是赋范空间_距离空间未必是线性空间_赋范空间一定是线性空间

设X是线性空间，X中的范数满足（）.

参考答案:

三角不等式_非负性_正齐次性

设A是线性空间X中，如果A中任何（）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.

参考答案:

有限个

在全体有理数Q上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.

参考答案:

错误

在距离空间中，等距映射一定是（）.

参考答案:

单射_连续映射

以下实数空间的子空间中，不完备的是（）.

参考答案:

__

设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.

参考答案:

E是X的稠子空间

[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.

参考答案:

正确

距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.

参考答案:

正确

距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.

参考答案:

错误

以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（）.

参考答案:

连续函数空间_实数空间_有理数空间

在距离空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

任意多个开集的并集是开集_任意多个闭集的交集是闭集

在距离空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

开球的闭包是闭集_开球的内部是开集_开球的补集是闭集

以下说法正确的是（）.

参考答案:

开球的补集是闭集_开球是开集

开集恰好由该集合的所有（）构成.

参考答案:

内点

设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则【图片】与【图片】都是Banach空间.

参考答案:

错误

N维实向量空间【图片】上所定义的任何两个范数都等价.

参考答案:

正确

设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.

参考答案:

X中的单位开球不是列紧集_X中的有界闭集不是紧集

设R是实数集，定义d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.

参考答案:

错误

以下关于有限维赋范空间的描述正确的是（）.

参考答案:

有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间._有限维赋范空间必可分._有限维赋范空间必完备.

线性空间上的范数的“等价”满足（）.

参考答案:

传递性_自反性_对称性

一个非空集合上的距离满足（）.

参考答案:

对称性_三角不等式_非负性

有界数列空间中点列的按距离收敛是（）.

参考答案:

其余三项都不对

如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（）.

参考答案:

可以无限多个距离

有界数列空间的任何子空间都是不可分的.

参考答案:

错误

设E是赋范空间X的子空间.E是Banach空间的充分必要条件是E是X的闭子空间.

参考答案:

错误

设X是具有Schauder基的赋范空间，则（）.

参考答案:

X是可分的_X是无限维的

以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.

参考答案:

任何非零的赋范空间都具有Hamel基_不可分的赋范空间一定不具有Schauder基

每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.

参考答案:

正确

设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（）.

参考答案:

平移不变性_三角不等式_相似性_对称性

以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（）.

参考答案:

__

内积同构映射必为（）.

参考答案:

等距映射_线性映射_拓扑同构映射_双射

标准正交系必为线性无关集，反之不成立.

参考答案:

正确

设M是Hilbert空间H的非空子集,则【图片】

参考答案:

正确

赋范空间的真子空间一定不是闭子空间,可能是开子空间.

参考答案:

错误

距离空间之间的连续映射,把紧集映成列紧集.

参考答案:

正确

定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.

参考答案:

正确

可分的Hilbert空间H所具有的性质是().

参考答案:

H必为非零Hilbert空间_H一定存在标准正交基_H的标准正交基是至多可数的

在距离空间中,以下关于列紧集性质的描述,正确的是().

参考答案:

可列点集未必是列紧集_有限个列紧集的并集是列紧集_单点集是列紧集_有限点集是列紧集

在连续函数空间中,以下说法正确的是().

参考答案:

闭子集是完备子集_收敛列一定是柯西列_收敛列一定是有界列_柯西列一定是收敛列

设M是内积空间H的子集,则M的正交补是H的().

参考答案:

闭子空间

列紧的距离空间必().

参考答案:

完备

在距离空间中,以下说法正确的是().

参考答案:

完备子空间一定是闭子空间

在不可数集X上定义离散距离d,则距离空间(X,d)是().

参考答案:

不可分的

离散距离空间中的任一子集是（）的集合.

参考答案:

既开又闭

完备的距离空间一定是可分的.

参考答案:

错误

设X是距离空间，T是X到X的映射.压缩映射定理成立的条件是（）.

参考答案:

T是压缩映射_X是完备的

以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“的表述，正确的是（）.

参考答案:

收敛列一定是柯西列

在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.

参考答案:

正确

有界数列空间是可分的距离空间.

参考答案:

错误

关于内点与接触点，以下说法正确的是（）.

参考答案:

内点一定是接触点_接触点可能是内点

闭集恰好由该集合的所有（）构成.

参考答案:

接触点

设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义【图片】则d是C[0,1]上的一个距离.

参考答案:

正确

距离空间中的收敛点列满足（）.

参考答案:

其任一子列必收敛_其极限是唯一的

离散距离空间中点列的按距离收敛是（）.

参考答案:

其余三项都不对

在一个非空集合上()可以定义距离.

参考答案:

一定

复内积空间上的内积满足（）.

参考答案:

非负性_对第一变元的线性性质

以下线性空间中，可以定义内积的是（）.

参考答案:

___

对任一赋范空间，其范数未必满足平行四边形法则。

参考答案:

正确

设A是线性空间X的子集，则A的线性包是包含A的最小闭子空间.

参考答案:

错误

设E是内积空间H的子空间，【图片】则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.

参考答案:

正确

设【图片】是内积空间H的一个标准正交系，【图片】则x的Fourier级数【图片】必收敛于x.

参考答案:

错误

平方可和的数列空间【图片】具有Schauder基.

参考答案:

正确

内积空间的任何一个正交系都是线性无关集.

参考答案:

正确

对任一赋范空间,其范数未必满足平行四边形法则.

参考答案:

正确

赋范子空间一定是距离子空间,且为线性子空间.

参考答案:

正确

设A是线性空间的子集,则A的线性包是包含A的最小闭子空间.

参考答案:

错误

在连续函数空间中,列紧集的闭包是紧集.

参考答案:

正确

在完备的距离空间中,完全有界集未必是列紧集.

参考答案:

错误

在等距同构的意义下,任何距离空间都存在唯一的完备化空间.

参考答案:

正确

在全体有理数Q上定义离散距离d,则(Q,d)是不完备的距离空间.

参考答案:

错误

离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.

参考答案:

正确

设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是().

参考答案:

___

设【图片】是内积空间H的一个标准正交系,【图片】.则以下命题正确的是().

参考答案:

__

内积同构映射必为().

参考答案:

双射_等距映射_拓扑同构映射_线性映射

设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是().

参考答案:

Y中任何闭集的原像是X中的闭集_Y中任何开集的原像是X中的开集

关于内点与接触点,以下说法不正确的是().

参考答案:

内点未必是接触点_接触点一定是内点

关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是().

参考答案:

收敛列的极限一定属于该距离空间_收敛列的子列一定收敛_收敛列的极限是唯一的

设M是内积空间H的紧凸集,则x在M中的最佳逼近点满足().

参考答案:

存在且唯一

赋范空间的真子空间一定不是（）.

参考答案:

开子空间

在()上,完全有界集与有界集是等价的.

参考答案:

实数空间

定义在()