初高中数学衔接预习教材解析版第13讲集合及其运算

第13讲集合及其运算1．集合的有关概念回顾过去在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的几何，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)，…••集合的概念那么集合的定义是什么？看下面的例子：()〜以内所有的质数；()高一班所有学生；()我们从〜 年间发射的所有的人造卫星；()所有正方形；()方程x2,3x-2=0的所有实数根；()四大洋.分析：(1)中，我们把1〜2〜以内的每个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，(2)中把高一 班每一个学生作为元素，这些元素的全体也组成了一个集合.思考：上面的(3)〜(6)能组成集合吗？它们的元素分别是什么？一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集．例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；“1〜2〜以内所有的素数”也能组成一个集合；“四大洋”可以组成一个集合以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法”．以上三个集合我们还可以表示成：{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}、{2,3,5,7,11,13,17,19}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{”}括起来表示集合的方法叫做列举法．为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合A、B、C、P、Q……等等，例如集合A={泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}，B={2,3,5,7,11,13,17,19}.同时，我们用小写拉丁字母a、b、c、……表示集合中的元素.【例】下面给出的四类对象中，构成集合的是( )A.某班个子较高的同学 B.相当大的实数C我国著名数学家 •倒数等于它本身的数解：A所有的正数B等于的数C接近于的数D不等于的偶数【答案】【例I用列举法表示下列集合：()不大于的非负偶数集；()自然数中不大于的质数集；()方程x2€2x-15，0的解.解：()A，｛0,2,4,6,8,10｝ ()B，｛2,3,5,7｝ (3)C，｛3,-5｝元素与集合的关系给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个在不在这个集合中就确定了．例如“〜以内所有的素数”构成一个集合，、、在这个集合中，但是46 就不在这个集合中.一般地，如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作aeA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作aeA.【例】用符号“e”或“e”填空()设A为所有亚洲国家组成的集合，贝y：中国_,美国_,印度A，英国_.TOC\o"1-5"\h\z()若x2，x的解集记为A，则-1 A；()若x2€x—6，0的解集记为B，则-1 B,(4)所有满足1„x„10的整数x组成的集合记为C，则8 _,9.1 _,解：()e；e；e；e()e；()e()e；e集合中元素的特性对于任何一个元素a和任意一个集合A，元素a要么在集合A中，要么不在A中，只有这两种关系.这是集合元素的第一个特性：确定性.一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现.例如，若A，｛a,b｝，则a…b，这是集合元素的第二个特性：互异性.集合中的元素没有一定的顺序.例如集合A，｛a,b,c｝，集合A也可以写成A，｛b,c,a｝，A，｛b,a,c｝等等.这体现了集合元素的第三个特性：无序性.1.4特定集合及其记法非负整数集(也叫自然数集)，记作，即N，｛0,1,2,3,•••｝；正整数集，记作N*或N,即N*，N，｛1,2,3,•••｝；€€整数集，记作Z，即Z，｛•••-2,-1,0,1,2,•••｝；有理数集，记作Q；实数集，记作R.1.5集合的表示1.5列.举1法把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合．例如，“〜以内所有的素数”组成的集合，可以表示成｛2,3,5,7,11,13,17,19｝〜 内的所有整数组成的集合｛50,51,52,€€€,99,100｝所有正奇数组成的集合｛1,3,5,7,€€€｝这里要注意，a与｛a｝不同，a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素．1.5.描2述法思考：你能用描述法表示不等式x-7,3的解集吗？不能，因为这个集合的元素是列举不完的，但我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述这个集合．不等式x-7,3的解集中，所有元素的共同特点是：xeR，且x-7,3，即x,10.所以我们可以把这个集合表示成：｛xeRIx,10｝.又如，任何奇数都可以表示成x„2k+1(keZ)，所以所有奇数组成的集合我们可以记为｛xeZIx=2k+1,keZ｝.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体格式为：｛xeAIp(x)｝，其中x表示该集合的代表元，p(x)表示该集合中所有的元素具有性质p(x).例如｛xeRIx,10｝表示，集合中代表元是实数，这些实数满足条件x,10.【例4】用列举法和描述法表示下列集合：()方程x2-2„0的所有根组成的集合；()大于小于 的所有整数组成的集合.解：()｛^2,-冋，｛xIx2—2„0｝ ()｛11,12,€€€,18,19｝，｛xeZI10,x,20｝图示法①数轴表示，例如，不等式x-7,3的解集为｛xeRIx,10｝，可以表示为②坐标平面表示法(用点和图形来表示)【例】若ae｛1,-1,a2｝，求a的值.解:•/ae{1,-1,a2}，

(1)若a€1，则｛1,—1,a2｝=｛1,—1,1｝与集合元素互异性矛盾，舍;若a=-1，则｛1,—l，a2｝€｛1,—1,1｝与集合元素互异性矛盾，舍;若a€a2，解得a=0或a=1(舍).所以a€0.练习1：已知集合A€｛a一3,2a-1｝，若—3,A，求a的值.解：•・•—3,A，(1)当—3€a—3，则a=0；(2)当—3=2a—1，则a=—1；经检验，a€0或a€—1满足题意，所以a=0或a=—1.练习：已知集合A包含三个元素，1,0,m，若m2,A，求m的值.解：•A包含三个元素，1,0,m m丰0且m丰1， •/m2,A，若m2€1，解得m€—1或m=1(舍)；若m2€0，解得m€0(舍)；若m2€m，解得m=0(舍)或m=1(舍).所以m€—1.：.集合间的基本关系：.子1集一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都是集合中的元素，我们就说集合包含于集合，或者说集合包含集合，这时称集合是集合的子集.记作A„B，或B…A，读作：包含于,或包含，用符号语言表示为：任意x,Anx,B，则A„B.例如：｛0,2,4,6,8｝„｛偶数｝，｛梯形｝„｛四边形｝图(1)图(：)当集合不包含于集合，或集合不包含时，则记作A„B或B…A.例如：｛三角形｝€｛梯形｝有几个方面要注意的()A€B有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一个集合.(2“L'与“€”的区别：“£”用于元素与集合之间；“€”用于集合与集合之间.()子集的传递性：A€B，且B€C，那么A€C.(4)集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么A，B.对于集合，，若有A€B,B€A,则有A，B，如上面图().2.2真子集对于两个集合A，B,如果A€B，但A丰B，我们就说集合是集合的真子集，记作A€B或B€A，读作真包含于,或真包含，空集把不含任何元素的集合叫做空集，记作„.规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合，，均有：„€A.注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合，，均有：„€A.2.4有限集合元素的个数集合｛a｝的所有子集为：„、｛a｝，共有2个子集；集合｛a,b｝的所有子集为：„、｛a｝、｛b｝、｛a,b｝，共有4个子集；集合｛a,b,c｝的所有子集为：„、｛a｝、｛b｝、｛c｝、｛a,b｝，｛a,c｝，｛b,c｝，｛a,b,c｝，共个子集；结论：含有n个元素的集合｛a,a,aa｝的所有子集个数是2”，所有真子集的个数2”-1，非空真子集的1 2 3n个数为2n-2.【例】写出集合｛1,2｝及｛1,2,3｝的子集解：(1)„、｛1｝、｛2｝、｛1,2｝，共有4个子集；(2)„、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、｛1,3｝，｛2,3｝，｛1,2,3｝，共8个子集.练习1：已知集合