高考数学总复习三角函数的综合应用理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第3章§3.三角函数的综合应用理-A3演示文稿设计与制作§3.8三角函数的综合应用

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.8三角函数的综合应用双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．上方下方(2)方位角从指___方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．北思考感悟仰角、俯角、方位角有何区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α°即由指北方向____时针旋转α°到达目标方向．(如图③)②北偏西α°即由指北方向____时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．顺逆(4)坡度：坡面与_________所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与_______长度之比(如图④，i为坡比)．2．解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是：水平面水平(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图；(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答；(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．1．(教材习题改编)从甲处望乙处的仰角为α

，从乙处望甲处的俯角为β，则下列各式正确的是(

)A．α>β

B．α

＋β＝90°C．α

＝β

D．α

＋β＝180°答案：C课前热身答案：C答案：D4．(原创题)有一个长为2km的山坡，它的倾斜角为30°，现将倾斜角改为15°，则斜坡长变为________km.考点探究•挑战高考考点突破考点一测量距离问题有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等．由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷．例1【思路点拨】根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离，结合图形和计算出的距离及航行速度可得救援船到达D点的时间．【名师点评】要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．变式训练在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角是一个关键．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．考点二测量高度问题(2010年高考江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？例2【思路点拨】充分利用图中的直角三角形列方程．【名师点评】

(1)测量高度时，要准确理解仰角和俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．考点三测量角度问题【思路点拨】本例考查正弦、余弦定理的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.例3【名师点评】首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方法技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．(如例3)2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．(如例2)3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．(如例1)方法感悟在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面的二面角的度数．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．失误防范考情分析考向瞭望•把脉高考从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变形综合考查．预测2012年高考仍将以利用正弦、余弦定理，解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点．重点考查应用所学知识解决实际问题的能力．规范解答例【名师点评】

(1)本题以实际应用题的方式考查了三角函数的图像与性质，正弦定理、余弦定理在三角形问题中的应用，这道题目融入了众多的知识点，考查的面十分广．第(2)问主要考查的是函数思想及利用基本不等式处理问题的能力，它能有效地区分出不同思维层次的考生，很明显，根据余弦定理得到了关系式MN2＋NP2＋MN·NP＝25后，选择使用基本不等式的考生具有更高的思维水平．(2)本题第(2)问实际就是已知三角形一个内角以及这个角的对边，求另外两边之和的最大值，基本的方法有三种：一种是设出三角形的一个变动的角，根据正弦定理把两边表示出来，通过研究三角函数的最值解决(如本题解法一)；二是根据余弦定理得到关于另外两边的一个等式后，根据基本不等式解决(如本题解法二)；三是设出两边之和为t，用一条边和t表示另一条边，根据余弦定理得到一个关于另一条边的一元二次方程，利用这个方程的判别式大于或等于零，求出t的最大值．(3)解决最值问题一般的思路是构建函数关系，通过研究函数的性质求最值的大小，这类问题要是在三角形中，往往就是选取一个角作变量，建立三角函数模型，本题第(1)问的解法就是这个技巧的具体体现，这个技巧值得仔细体会．为了立一块广告牌，要制造一个三角形支架．三角形支架的形状如图所示，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设