利用导数讨论函数性质

PAGEPage5-ofNUMPAGES6第二章一元微分学第六节利用导数讨论函数性质本节内容包括：利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应用，利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点，求曲线切线、法线、渐近线及函数作图等。这部分内容很重要，事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试中本节的知识都是重要部分，同学们一定要很熟练。但由于这部分内容一般不要求很高的技巧（要求熟练、准确及对概念的清楚），所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化率的问题。设SKIPIF1<0二阶可导，SKIPIF1<0．若曲线SKIPIF1<0的一个拐点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．分析：由题设知SKIPIF1<0并且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0注：本题的解决无需技巧，关键是清楚拐点的概念及复合函数求导．例２：求曲线SKIPIF1<0的渐近线解：先看是否有水平渐近线：易见SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故有水平渐近线SKIPIF1<0；再看是否有铅直渐近线：易见SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故有铅直渐近线SKIPIF1<0；再看是否有斜渐近线：易见SKIPIF1<0，故无斜渐近线．例３．求椭圆SKIPIF1<0在第一象限中的切线，使它被两坐标轴所截的线段最短．解法一：椭圆的参数方程为SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，那么切线的斜率为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0切线在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，切线在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0．从所截线段长为SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值点等价于求SKIPIF1<0的最小值点．SKIPIF1<0从而知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有唯一驻点SKIPIF1<0，由本问题的实际背景我们可以判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内取得最小值，因此SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值．此时切点坐标为SKIPIF1<0所求的切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0解法二：设切点为SKIPIF1<0，那么切线的斜率为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0切线在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，切线在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0．从所截线段长为SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值点等价于求SKIPIF1<0的最小值点．SKIPIF1<0SKIPIF1<0（对于固定的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时乘积SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，问题转化求SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最大）７．（1）求SKIPIF1<0的最小值；（2）设正值序列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证：SKIPIF1<0收敛，并求其极限。8．由直线SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0围成一个曲边三角形，在其曲边SKIPIF1<0上求一点，