课件人教版中考专题复习微专题1“8”字模型及飞镖模型

微专题1

“8”字模型及飞镖模型第6章1.角、边的“

8”字模型如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:∠A+∠B=∠C+∠D.考向突破【模型分析】因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为“8”字模型.“8”字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.【模型推理】∵∠AOC是△AOB的外角,∴∠A+∠B=∠AOC.∵∠AOC是△COD的外角,∴∠C+∠D=∠AOC.∴∠A+∠B=∠C+∠D.真题特训例1

观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=

.

∴∠D=∠A+∠1+∠3.例3如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=例6如图所示,有结论:AB+AC>BD+CD.∴∠C+∠D=∠AOC.∵∠AOC是△COD的外角,练习6如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.【解析】(1)∵AB+BC>AC,①∴∠D=180°-(∠2+∠4).∴∠ACE=∠FBD.【解析】利用角的“8”字模型.例1观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=OA+OB+OC+OD>AB+CD,∴△AEC≌△FDB.【解析】∵OA+OB>AB,①求证:AB+AC>AD+AE.∵AF平分∠EAB,CF平分∠ECD,飞镖模型一般在几何综合题目中推导角度时使用.【解析】利用角的“8”字模型.如图,连接CD.∵∠BOC是△BOE的外角,∴∠B+∠E=∠BOC.∵∠BOC是△COD的外角,∴∠1+∠2=∠BOC.∴∠B+∠E=∠1+∠2.(角的“8”字模型)∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°.(三角形内角和是180°)【答案】180°【名师点拨】连接CD,利用“

8”字模型和三角形外角和性质,∠BOC是△BOE的外角,推出∠B+∠E=∠BOC.∠BOC是△COD的外角,推出∠OCD+∠ODC=∠BOC.即∠B+∠E=∠OCD+∠ODC.例2

如图,已知AB∥CD,AF平分∠BAE,CF平分∠DCE.若∠E=42°,求∠F的度数.【解析】利用角的“8”字模型.∵AF平分∠EAB,CF平分∠ECD,∴∠ECD=2∠FCD,∠EAB=2∠EAF.∵AB∥CD,∴∠EGB=∠ECD.∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,∴∠EGB=∠E+∠EAB.∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.由平移可得AC=BF.练习2如图,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=.BC+CD>BD,④OA+OB+OC+OD>AB+CD,∵∠AOC是△COD的外角,【解析】(1)∵AB+BC>AC,①同理可证AB+CD<AC+BD.练习5如图,∠A+∠B+∠C+∠D=.∵AF平分∠EAB,CF平分∠ECD,∴∠A+∠B=∠AOC.求证:AB+AC>AD+AE.∵∠B+∠BMH+∠BNC=180°,∠1+∠BNA+∠A=180°,“8”字模型及飞镖模型OA+OB+OC+OD>AB+CD,∴∠ECD=2∠FCD,∠EAB=2∠EAF.∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,例1观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=随堂测试例3

如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=

.

【解析】如图所示:∵∠G+∠D=∠1,∠F+∠C=∠CNA,∠E+∠H=∠BMH,∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠1+∠ANC+∠BMH.∵∠B+∠BMH+∠BNC=180°,∠1+∠BNA+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠BMH+∠ANC+∠1=360°.∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.

【答案】360°例4

如图所示,AD,BC相交于点O,连接AB,CD.结论:AD+BC>AB+CD.【解析】∵OA+OB>AB,①

OC+OD>CD,②由①+②,得OA+OB+OC+OD>AB+CD,∴AD+BC>AB+CD.练习1

如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.

练习2

如图,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=

.

360°180°练习3

如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD;(2)AB+BC+CD+AD

<2AC+2BD.【解析】(1)∵AB+BC>AC,①

CD+AD>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>

BD,④∴由①+②+③+④得2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD),即AB+BC+CD+AD

>AC+BD.∴BE+EC>BD+CD.∴∠ACE=∠FBD.结论:AD+BC>AB+CD.【解析】利用角的“8”字模型.∴∠D=180°-(∠2+∠4).【解析】利用角的“8”字模型.【解析】利用角的飞镖模型.由①+②,得AD+BC<OA+OD+OB+OC.练习6如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.例3如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠1+∠ANC+∠BMH.∵∠AOC是△COD的外角,∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD),练习6如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,结论:AD+BC>AB+CD.(2)∵AD<OA+OD,①

BC<OB+OC,②由①+②,得

AD+BC<

OA+OD+OB+OC.∴AD+BC<AC+BD.(边的“8”字模型)同理可证AB+CD

<AC+BD.∴AB+BC+CD+AD<

2AC+2BD.∵∠BOC是△COD的外角,例3如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.∵∠AOC是△COD的外角,∴∠ACE=∠FBD.同理可证AB+CD<AC+BD.OA+OB+OC+OD>AB+CD,∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,例1观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∵在△AEG中,∠EGB是△AEG的外角,∴∠1+∠2=∠BOC.(三角形内角和是180°)∵AF平分∠EAB,CF平分∠ECD,∵∠AOC是△COD的外角,∴∠D=180°-(∠2+∠4).∴BE+EC>BD+CD.练习6如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.例6如图所示,有结论:AB+AC>BD+CD.2.角、边的飞镖模型如图所示,有结论:∠D=∠A+∠B+∠C.【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.飞镖模型一般在几何综合题目中推导角度时使用.【模型推理】如图,连接BC.∵∠2+∠4+∠D=180°,∴∠D=180°-(∠2+∠4).∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°,∴∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4).∴∠D=∠A+∠1+∠3.例5

如图,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B,∠D间的数量关系.【解析】利用角的飞镖模型.如图所示,∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.(角的飞镖模型)∵AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,例6

如图所示,有结论:AB+AC>

BD+CD.【解析】如图,延长BD交AC于点E.∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,∴AB+AC>BE+EC.①∵BE+EC=BD+DE+EC,DE+EC>CD,∴BE+EC>BD+CD.②

由①②可得AB+AC>BD+CD.练习4

如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.230°=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2【解析】利用角的“8”字模型.【解析】(1)∵AB+BC>AC,①OA+OB+OC+OD>AB+CD,由飞镖模型,得AB+BF>AD+DF.如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:∵∠AOC是△COD的外角,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.(三角形内角和是180°)练习5如图,∠A+∠B+∠C+∠D=.∴BE+EC>BD+CD.∴∠1+∠2=∠BOC.【解析】∵OA+OB>AB,①2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD),∵∠AOC是△COD的外角,结论:AD+BC>AB+CD.练习5如图,∠A+∠B+∠C+∠D=.练习5

如图,∠A+∠B+∠C+∠D=

.

238°

练习6

如图,在△ABC中,D,E在BC边上,且BD=CE.求证:AB+AC>AD+AE.【解析】如图,将AC平移至BF,AD的延长线与BF相交于点G,连接DF.由平移可得AC=BF.∵AC∥BF

,∴∠ACE=∠FBD.∵BD=CE.∴△AEC≌△FDB.∴DF=AE.由飞镖模型,得AB+BF>AD+DF.(飞镖模型)∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2例6如图所示,有结论:AB+AC>BD+CD.∴∠A+∠B=∠AOC.∵∠AOC是△COD的外角,“8”字模型及飞镖模型OA+OB+OC+OD>AB+CD,练习5如图,∠A+∠B+∠C+∠D=.【解析】