自动控制原理课件第七章4

三、

相平面图分析

（一）相平面法分析线性控制系统1、奇点的性质1奇点又称为平衡点如果②奇点处，所以奇点只出现在x轴上①奇点求解方法：③奇点处可以有无穷多条相轨迹离开或进入该点；除奇点外，不同初始条件的相轨迹不会相交2、二阶线性系统中奇点的类型

－E(S)C(S)r=1(t)2极点分布奇点相迹图中心点稳定的焦点稳定的节点鞍点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图

正反馈且34各类极限环极限环稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环相平面图上孤立的封闭相轨迹，而其附近的相轨迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹“分段线性化”研究方法：根据非线性特性的分段情况将相平面划分为若干线性区域列写各区域的线性微分方程绘制各个区域的相轨迹由相轨迹的连续性，在各区域分界线上将相轨迹衔接成连续曲线（二）非线性控制系统相平面法分析5分区绘制相轨迹，要确定奇点的位置和类型每个区域内都可能有奇点实奇点：该奇点是在本区域内，该区域的相轨迹可以汇集于实奇点虚奇点：奇点在本区域之外，该区域的相轨迹不可能汇集于虚奇点具有分段线性特性的二阶非线性控制系统只有一个实奇点，其它奇点都是虚奇点。62023/7/167例考虑如下的非线性系统，饱和环节比例系数为1，假设线性部分是欠阻尼的。试分析作用下的系统性能。解：系统的微分方程为饱和非线性输入输出关系为2023/7/168以为变量的运动方程为

若，则上式为根据饱和非线性输入输出关系，切换曲线为根据系统方程2023/7/169当

时，运动方程为于是，系统奇点是（0，0），由于系统是欠阻尼系统，则该奇点是稳定焦点，相轨迹是螺旋线。III区II区Ⅰ区求奇点，令则2023/7/16第7章非线性控制系统分析10(2)当时，运动方程为斜率方程为

等倾线斜率为0，令a=0，可得渐近线。Ⅱ区Ⅰ区求奇点，令则可见，系统在该区域无奇点。等倾线方程为即2023/7/16第7章非线性控制系统分析11(3)当

时，运动方程为渐近线为初始点：综上分析可以得到系统整个相平面图，如图所示。从相轨迹图看出，在阶跃信号作用下，相轨迹收敛到原点，因此，系统是稳定的，而且稳态误差为零。III区IⅠ区I区例具有死区特性的非线性系统如图所示。。

试利用相平面法分析系统性能。解：线性环节的微分方程为由知时，有，因此死区非线性的数学表达式为12切换线，，将平面分成三个区（1）I区：，微分方程为相轨迹斜率方程为令，解得即Ⅰ区有奇点线段；13Ⅰ区的相轨迹是斜率为的直线。（2）Ⅱ区：此时，相应的微分方程为相轨迹斜率方程为令，解得Ⅱ区奇点位置为，即位于Ⅰ区和Ⅱ区分界线上，是个虚奇点。由于，因此奇点类型为稳定焦点或稳定节点。14（3）Ⅲ区：此时，相应微分方程为Ⅲ区奇点位置为（），为虚奇点，奇点类型为稳定焦点或稳定节点。152023/7/1616-M－M继电型非线性元件特性：开关线：Ⅱ区Ⅰ区继电型非线性系统的分析例2023/7/16电子信息工程学院17在Ⅰ区内

系统误差方程为令等倾线方程等倾线是平行于轴的一族直线，因此相轨迹是沿水平方向平移的一族曲线。渐近线：令Ⅱ区Ⅰ区2023/7/1618在Ⅱ区内

系统误差方程为两个区域的相平面图关于原点对称等倾线方程渐近线：Ⅱ区Ⅰ区2023/7/16电子信息工程学院19初始状态Ⅱ区Ⅰ区ABCD

由A点开始，沿相轨迹曲线Ⅰ运动到开关线上的衔接点B；

进入Ⅱ区，再从B点开始沿相轨迹曲线Ⅱ运动到分界线上的衔接点C；

然后再进入I区，如此往复……。经过如此的往返振荡，从理论上说系统状态最后收敛于原点(0，0)。

系统运动曲线呈衰减振荡形式，静态误差为零。本章小结：1、非线性系统特点2、描述函数分析非线性系统负倒描述函数图形负倒描述函数图形与G(jw)关系，判稳定性