高中数学-不等式及其性质（1）教学设计学情分析教材分析课后反思

《不等式及其性质（1）》教学设计--

一、教材分析本节课是新人教B版高中数学必修1第二章《等式与不等式》第二节《不等式及其性质》第一课时的内容，该小节共两课时。本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础，而不等式性质的探究过程则采取类比的方法，在学生已经掌握等式基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，使学生经历大胆猜想，举例分析，反例验证，逻辑证明的过程，积极参与不等式性质的探究过程，从而提升学生的直观想象，逻辑推理等数学核心素养；学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了等式的性质，并具有一定的数形结合思想，具备一定的抽象概括、类比推理、归纳猜想的能力，这些成为本节知识学习的生长点，但是学生在学习本节内容的时候可能会对不等式性质中的约束条件理解不够透彻，出现滥用性质的情况。因此在教学中应该多给学生创设问题串，引导学生观察，思考，总结，使他们理解不等式性质中的约束条件的本质从而正确而灵活的应用不等式的性质。三、教学目标(1)通过对不等式定义的学习，进一步加强对“≥”“≤”两个不等号的理解；经历大胆猜想，举例分析，反例验证，逻辑证明的过程，理解不等式的基本性质，从而提升学生的直观想象，逻辑推理等数学核心素养；通过对不等式性质的学习，能够正确掌握不等式的性质，并能灵活运用；四、教学重点与难点教学重点：探索不等式的基本性质.教学难点：基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括.教学方法本节课采用的是问题驱动、启发探究、类比归纳、大胆猜想、小心求证的教学方法。通过小组合作、互动探究、分化难点的学习指导方法，把问题逐步推进、拾级而上，并辅以多媒体教学手段，使学生自主探究不等式的基本性质。六、教学过程情境教师活动学生活动设计意图创设情境、引出课题40右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，40引导学生将实际问题转化为数学问题。2、引出不等式的定义，从而引入课题；列出不等式.1、让学生感受到不等关系在我们生活中无处不在着；2、从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，在学生发现和解决问题中，感受数学的应用性.探究一：不等式的定义探究一：不等式的定义1、不等式的定义：含有下述不等号的式子，称为不等式.“≠”“>”“<”“≥”“≤”2、不等式中自然语言与符号语言之间的转换.（1）“≠”⇔（2）“>”⇔（3）“<”⇔（4）“≥”⇔（5）“≤”⇔【思考1】情境与问题中不等式“v≤40”的含义是什么？【思考2】不等式“v≤40”成立的条件是什么吗？【总结】（1）a≥b⇔a＞b或a=b；a≤b⇔a＜b或a=b有一个条件成立，不等式a≥b(a≤b)就成立；学生总结出“≥”“≤”对应的自然语言，以及a≥b与a≤b成立的条件；使学生能够正确的将自然语言与符号语言进行转换，尤其注意“≥”“≤”两个符号；从问题情景入手，通过2个思考问题使学生能够正确掌握不等式a≥b，a≤b成立的条件；探究二：性质1-3的证明及推论1探究二：不等式的性质比较大小【思考3】数轴上如何比较两个实数a,b大小？【思考4】从代数运算的角度，如何比较两个实数a,b大小？【总结】比较两个实数a,b大小的方法？2、初中学过不等式的性质：(1)若a＞b,则a+c＞b+c;(2)若a＞b,c>0,则ac＞bc;(3)若a＞b,c<0,则ac<bc;【试一试1】试给出不等式性质的证明【思考5】试总结作差法比较大小的步骤？【试一试2】用“>”,“<”填空．若a＜b,则a-cb-c；若a＜b,则--；【判断命题是否正确】若a+b>c，则a>c-b（）学生通过思考很容易总结出比较两个实数a,b大小的方法师生合作，师用数轴法证明性质1，同桌两人，左边同学证明性质2，右边同学证明性质3，学生演板，并由学生总结出作差法比较大小的步骤生总结如何将减法和除法时应转化为加法与减法生利用性质1判断，或是用作差法，并总结判断命题真假的方法。体现出来数形结合的数学思想，也为后面不等式性质的证明做铺垫；1、此环节体现了初高中知识的衔接，并且通过师生合作的方式还能活跃课堂气氛2、从运算法则和符号上强调3条性质的特点。通过试一试2使学生明白当遇到减法和除法时应转化为加法与减法1、得出推论12、学会利用已学的知识解决问题。探究三：类比等式，得到性质4、5【思考6】等式有哪些性质？观察等式性质1-2与不等式性质1-3，它们的异同点是什么？等式的性质1、若a=b,则a+c=b+c;2、若a=b，c≠0,则ac=bc;3、传递性：若a=b,b=c,则a=c;4、对称性：若a=b,则b=a;【思考7】通过类比等式的性质请大胆猜想不等式的性质？【试一试3】先举例验证，然后再给出证明生总结异同，并大胆猜想，举例验证。1、从等式的性质出发，通过类比进而猜想出不等式的性质。2、教师指出靠直观想象与特例验证得到的结论不一定全面、正确，猜想出来的结论必须进行严谨的数学证明。在教师引领下，充分发挥学生的主动性，提升直观想象与逻辑推理的数学核心素养。探究四：继续类比，得到推论2,3【思考8】前面我们在不等式两边加、乘了相同的数，那在不等式两边加、乘不同的数，是否也具有保持不等号不变或改变的特性？学生小组活动，探究并证明。对于同向同号可乘性的猜想中，通过举反例得出限制条件。推论2的证明学生一般会采取作差法，教师给学生讲解另外一种证明方法--综合法；3、教师引导学生若遇到减法或除法的运算，应转化为加法或乘法运算。【思考8】当不满足同向或同正的条件时怎么办？1.合作探究，猜想不等式两边加、乘不同的数的性质，展示猜想结果。小组合作，展示，互评。2、体会在证明过程中有多种方法，择优选择，并注意证明技巧。1、鼓励学生猜想，让学生掌握“猜想”的重要学习方法。2、通过举反例对学生错误的猜想做分析，对正确的猜想进行证明，让学生有成功的体验，突破本节课重难点。3、继续深化“类比”思想，通过对加或乘相同与不同的数之间的类比，不断的提升教学效果。4、对于推论2的证明有两种方法，引导学生体会在性质的证明过程中可以使用多种方法。若作差后较难变形，则使用不等式的性质或综合法进行证明。课堂小结、深化思考课堂小结1、本节课你学到了什么？知识：方法：素养：从知识上、方法上以及数学素养上总结本节课的学习内容，让学生体会学习的成就感，体会知识的系统美、结构美。课后作业1、梳理不等式的八条性质，总结思想方法。2、证明下列不等式（1），，求证：（2）已知c>a>b>0，求证ac-a3、本节课的性质中的箭头可不可逆？培养学生课后反思的习惯。检测学生当堂学习效果，为教师提供准确的反馈，为学生提供更准确的个性化辅导.《不等式及其性质（1）》学情分析--

（一）知识储备：1、已掌握等式的基本性质，会求解一元二次方程，及方程组。2、初中已学习过不等式的三条基本性质，但没有进行严密的逻辑证明。（二）能力储备：1、具备“通过观察、操作、抽象概括等活动获得数学结论”的体会。2、有一定的抽象概括和类比推理归纳以及数形结合的能力．（三）不足：本节课主要是通过类比等式的性质大胆猜想出不等式的性质，通过举例分析，反例验证，继而给出严谨的证明过程，学生缺少对数据的分析能力，以及严谨的逻辑推理能力，本节课对学生的直观想象与逻辑推理能力要求很高。《不等式及其性质（1）》效果分析--

本节课制定了三个学习目标，从课后练习反馈来看，学生能够掌握本节课所学知识，学习目标基本达成，学习效果较好。在第一个环节情境与问题中，以生活中的交通标志引入，激起学生的探索欲望，引发学生的学习兴趣；在第二个环节不等式的定义中，从情境与问题中的v≤40入手，学生很快就能总结出≥，≤两个符号对应的自然语言，以及a≥b与a≤b成立的条件，学生完成效果较好；在不等式性质1-3探究环节，由于初中学生已经学过性质1-3，为体现出初高中知识的衔接所以直接给出，继而让学生探究其严谨的证明过程，在思考问题3、4的指引下学生很容易得到证明方法，并结合自己的证明过程自然的总结出作差法的步骤，同时为后面的证明规范了步骤，学生完成效果也很好；不等式性质推论1的生成，是通过一个判断题得出的，本节课并没有花费很长时间去生成与证明，由于它实际上是性质1的一个运用，考虑到时间的原因一笔带过，有等式中的移项法则，学生接受起来也不费劲，从学生接受情况来看，效果也很好；在不等式性质4-5探究环节，学生通过观察等式1-2的性质与不等式1-3的性质，在老师的鼓励下，很容易得到性质4、5的猜想，从上课情况来看该环节生成的也很自然顺畅。教师指出靠直观想象与特例验证得到的结论不一定全面、正确，猜想出来的结论必须进行严谨的数学证明。只是在性质4的证明时部分同学步骤写的有些乱，也有部分同学没有得到a-c=(a-b)+(b-c)的巧妙变形，上课之前已经预想到这种情况，所以在这里设计通过学生讲解完成该证明，从上课效果来看学生都能掌握；6、在不等式性质推论2-3探究环节，此环节是教学的难点，教师通过问题串的形式引导学生思考、分析、合作、探究，从而突破难点。上课前预想到推论2的证明学生一般会采取作差法，故设计的利用综合法证明由老师完成，从推论3的证明可以看出，学生基本掌握综合法证明不等式；7、本节课的重点就是能够准确掌握不等式性质成立的条件，不能胡乱捏造性质，也不可放大或缩小不等式性质成立的条件，从课后练习反馈情况来看，大部分同学都能准确掌握并运用。《不等式及其性质（1）》教材分析--

本节课是新人教B版高中数学必修1第二章《等式与不等式》第二节《不等式及其性质》第一课时的内容，该小节共两课时。本章中不等式是第二部分知识,本部分内容包括不等式的性质、比较大小的方法、简单不等式证明方法(综法、反证法、分析法)、绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、简单分式不等式解法、均值不等式及其应用。

不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型,是进行数学研究、解决许多实际问题的重要工具。不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系,讨论方程或方程组的解集情况,研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值等,都要经常用到不等式的知识。在解决各类实际问题时,不等式的地位也是举足轻重的。本章把不等式与等式紧密联系在一起,在第三章函数中,又进一步研究了函数与方程、不等式之间的关系,揭示了这三者之间的联系,加强了数学和认知的整体性。原教材中,不等式是在必修5中单独成章的,这里与等式合并成章,作为后续学习的预备知识,能更好地引导学生进行类比,认识等式与不等式、方程与不等式的异同,更有利于学生建构相对完整的知识体系。

教材在不等式部分的编写特色主要有:

(1)由实际生活情境引入不等关系,使学生感受现实生活中不等关系存在的普遍性,激发学生的求知欲；

(2)充分利用数形结合的方法引入新知,符合学生的认知规律,由具体到抽象,由已知到未知,重视让学生体验知识发生发展的过程；

(3)通过求解简单含参数的方程、求解不等式使学生逐渐体会、掌握分类讨论的数学思想方法；(4)通过类比(由等式到不等式)、转化(分式到整式、多元到一元)使学生学会分析问题、解决问题。

教材从实数与数轴上点的一一对应延伸到点的变化引起数的大小变化,进而得出了比较大小的原则。由具体到抽象的探索过程能培养学生直观想象的数学核心素养。这符合课标中“初中阶段数学相对具体,高中阶段数学相对抽象。教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡”的要求。

与原教材不同的是,按照课标的要求,这里删减了二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题此外,教材结合比较大小及不等式的证明增加了作差法、综合法、反证法、分析法的内容,增加了绝对值不等式,教材还结合绝对值不等式介绍了数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式,为学生后面的学习做好了准备。

课时素养评价不等式的性质（1）出题人：1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ()(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种. ()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()(4)若a>b，则ac2>bc2. ()(5)若a+c>b+d，则a>b，c>d. ()2.下列命题正确的是（）A、若ac>bc,则a>b; B、若a<b，c<d,则a-c<b-d;C、若a>b，则a2>b2;D、若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；3．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd4.用“>”“<”“≥”“≤”或“=”填空（1）已知x<1，则x2+23x；思考：去掉x<1的范围呢？（2）若A=1x2+3与B=1x+2,则A（3）若a>b，c<d，则a-cb-d；（4）已知a>b,c>d,e>0,则a+ceb+de;（5）已知，，，；请给出第4题（3）、（4）、（5）小题的证明；《不等式及其性质（1）》课后反思--好的方面：1、拉普拉斯说：“甚至在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比”，波利亚也说：“类比是一个伟大的引路人”，类比思想对于科学发展和社会进步有重要作用。本节课从类比思想的视角把课堂活动内化为数学核心素养的落实过程，通过学生自主探究，类比等式的性质，引导学生猜想不等式的性质并证明，最大化地实现教学目标，深化了直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养。2、教师始终是课堂的参与者、引领者，鼓励学生大胆猜想，主动思考，收获知识，让学生自己提出问题，分析问题，解决问题。3、合理使用教材，不拘泥于教材，激活课堂，让学生经历知识的形成过程，体会成功的喜悦。适度设置障碍，锤炼意志品质。4、本节课将数学中的三大基本关系：等量关系、不等关系、函数关系有机结合，相互渗透，将培养学生的数学核心素养落到实处。不足的方面及改进措施：1、在学生展示自己的证明或解答过程中只关注到部分学生，对学困生的关注不够。以后教学中应加强学生自我讲评的广泛度，让不同程度的学生都能有所发展。2、“类比”和“猜想”作为非常重要的学习方法，今后教学中应努力渗透，改变以往的不等式性质教学形式单一、枯燥乏味、效果不够理想的状况，使不等式性质的教学走上学与用紧密结合的新路。《不等式及其性质（1）》课标分析