变量间的相关关系-课件2

2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关【教学目标】新课程标准:1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计含义2.了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测教学目标:1.理解成对变量间的相关关系,会求回归直线方程,能用线性回归直线方程进行预测(重点)2.利用最小二乘估计方法求一元回归模型的参数(难点)3.重点培养数学建模的核心素养

【思维脉图】【自主预习】1.两个变量的线性相关(1)散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的图形.(2)正相关与负相关:①正相关:散点图中的点散布在从_______到_______的区域.②负相关:散点图中的点散布在从_______到_______的区域.左下角右上角左上角右下角2.回归直线的方程(1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在_________附近,就称这两个变量之间具有_________关系,这条直线叫做回归直线.(2)回归方程:_________对应的方程叫做回归直线的方程,简称回归方程.一条直线线性相关回归直线(3)最小二乘法:求回归直线方程时,使得样本数据的点到回归直线的_____________最小的方法叫做最小二乘法.距离的平方和其中,是回归方程的_____,是回归方程在y轴上的_____.斜率截距【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个变量要么具有确定的函数关系,要么具有线性相关关系. (

)(2)回归直线一定至少过散点图中的一个点.(

)(3)由回归直线方程求出的值都是准确值.(

)【提示】(1)×.两个变量可能具有非线性相关关系,也可能没有相关关系.(2)×.回归直线可能不过散点图中的任何一个点.(3)×.由回归直线方程求出的值是预测值.【自主总结】1.两个变量间的分类关系.(1)函数关系,如正方形的边长与面积的关系.(2)相关关系,不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系,即为相关关系.(3)不相关,即两个变量间没有任何关系.2.相关关系与函数关系的异同点.(1)相同点:两者均是指两个变量的关系.(2)不同点:①函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系;②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.3.对回归直线与回归方程的理解.(1)回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性.(2)对于任意一组样本数据,利用最小二乘法公式都可以求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.提醒:回归直线一定能过样本点的中心().【自主检测】1.下列变量具有相关关系的是 (

)A.人的体重与视力B.圆心角的大小与所对的圆弧长C.收入水平与购买能力D.人的年龄与体重【解析】选C.B为确定性关系;A,D不具有相关关系.2.农民工月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为=50+80x,下列判断正确的是(

)A.劳动生产率为1000元时,工资为130元B.劳动生产率平均提高1000元时,工资平均提高80元C.劳动生产率提高1000元时,工资水平提高130元D.当月工资为210元时,劳动生产率为2000元【解析】选B.由回归直线方程=50+80x知,x每增加1,y增加80,但要注意x的单位是千元,y的单位是元.3.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回归方程可能为 (

)【解析】选B.设回归方程为=x+,由散点图可知变量x,y之间负相关,回归直线在y轴上的截距为正数,所以<0,>0,因此方程可能为=-1.5x+2.类型一相关关系的判断【典例】1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图1,对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断(

)A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关2.下列关系:①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系.②曲线上的点与该点的坐标之间的关系.③柑橘的产量与气温之间的关系.④森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系.其中具有相关关系的是______.

【思路导引】1.如果散点图中的点分布在一个_____区域,则具有相关性;正负相关主要观察散点图是从_______________,还是从_______________.2.根据函数关系、相关关系的概念判断.带状左下角到右上角左上角到右下角【解析】1.选C.由题图1知,散点图在从左上角到右下角的带状区域内,则变量x与y负相关;由题图2知,散点图在从左下角到右上角的带状区域内,则变量u与v正相关.2.①炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有关外,还要受冶炼温度等其他因素的影响,故具有相关关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系;③柑橘的产量除了受气温影响以外,还要受施肥量以及水分等因素的影响,故具有相关关系;④森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光照等因素的影响,故具有相关关系.答案:①③④【方法技巧】两个变量x与y相关关系的判断方法散点图判断:判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.提醒:画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小,或者使点的坐标在坐标系中画不准,使图形失真,导致得出错误结论.

【变式训练】下面的4个散点图中,两个变量具有相关性的是 (

)A.①②

B.①③ C.②④

D.③④【解析】选C.由题图可知①是一次函数关系,不是相关关系;②的所有点在一条直线附近波动,是线性相关的;③的散点不具有任何关系,是不相关的;④的散点在某曲线附近波动,是非线性相关的,即两个变量具有相关性的是②④.类型二回归直线方程的求法【典例】1.(2018·天津高二检测)某钢铁研究所经研究得到结论,废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为=256+2x,这表明 (

)A.废品率每吨增加1%,生铁成本增加258元B.废品率每吨增加1%,生铁成本增加2元C.废品率每吨增加1%,生铁成本每吨增加2元D.废品率不变,生铁成本为256元2.在一段时间内,某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如表所示:价格x/元1416182022需求量y/件5650434137则y关于x的线性回归方程为______.(参考数据:

=3992,

=1660) 世纪金榜导学号

【思路导引】1.根据回归直线方程判断.2.利用已知数据,代入公式求系数.【解析】1.选C.回归直线方程表示废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的相关关系,故回归直线方程为

=256+2x时,表明废品率每增加1%,生铁成本每吨平均增加2元.2.从作出的散点图(图略)可看出,这些点在一条直线附近,可用线性回归模型来拟合数据.由题表中数据可得=18,=45.4,所以=所以

=45.4+2.35×18=87.7,故y关于x的线性回归方程为=-2.35x+87.7.答案:=-2.35x+87.7【方法技巧】求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n).(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.(3)把数据制成表格.(4)计算,

,

,

xiyi,(5)代入公式计算,,公式为(6)写出回归直线方程.【变式训练】某火锅店为了了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y(单位:万元)与该地当日最低气温x(单位:℃)的数据,如表:x258911y1.210.80.80.7求y关于x的回归方程【解析】

=

×(2+5+8+9+11)=7,

=

×(1.2+1+0.8+0.8+0.7)=0.9.

=4+25+64+81+121=295,

xiyi=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7,所以所以回归方程为

=-0.056x+1.292.类型三回归直线方程的应用【典例】已知某产品连续4个月的广告费用为xi(i=1,2,3,4)千元,销售额为yi(i=1,2,3,4)万元,经过对这些数据的处理,得到如下数据信息:①x1+x2+x3+x4=18,y1+y2+y3+y4=14;②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系;③回归直线方程=x+中的=0.8(用最小二乘法求得),那么,当广告费用为6千元时,可预测销售额约为 (

)世纪金榜导学号A.3.5万元 B.4.7万元 C.4.9万元 D.6.5万元素养立意本题主要考查利用回归直线方程进行预测,突出考查数学建模的核心素养.思路导引先利用回归直线过___________,求出系数

,再代入已知的广告费进行预测.样本中心点【解析】选B.依题意得=4.5,=3.5,因为

所以=3.5-0.8×4.5=-0.1.当x=6时,=0.8×6-0.1=4.7.【方法技巧】回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可利用经验,也可以画散点图.(2)求回归直线方程,注意运算的准确性.(3)根据回归直线进行预测:估计值不是实际值,两者会有一定的误差.【素养专练】1.(同类练)本例中,若=0.75,试预测一下广告费用为6千元时,销售额约为多少?【解析】

=3.5-0.75×4.5=0.125.当x=6时,=0.75×6+0.125=4.625.2.(变式练)某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如表:x1020304050y62■758189由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该点数据的值为

(

)A.67

B.68

C.69

D.70【解析】选B.由题意可得=(10+20+30+40+50)=30,设要求的数据为t,则有=(62+t+75+81+89),因为回归直线=0.67x+54.9,过样本点的中心(,),所以(t+307)=0.67×30+54.9,解得t=68.3.(拓展练)某地区某农产品近几年的产量统计如表:世纪金榜导学号年份201320142015201620172018年份代码t123456年产量y/万吨6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程(2)若近几年该农产品每千克的价格v(单位:元)与年产量y满足的函数关系式为v=4.5-0.3y,且每年该农产品都能售完.①根据(1)中所建立的回归方程预测该地区2019(t=7)年该农产品的产量.②当t(1≤t≤7)为何值时,销售额S最大?【解析】(1)由题意可知:所以