人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形 经典例题整理

人教版八年级数学上册第12章全等三角形经典例题整理

一、全等在特殊图形中的应用1.在等边三角形ABC中，动点D、E分别位于AB、AC上，满足AD=CE，求角度∠DFB的度数。2.在等边三角形ABC中，动点D、E、F分别位于AB、BC、CA上，满足AD=BE=CF，判断三角形DEF的形状。3.在等边三角形ABC和ADE中，线段BE、CD相交于点H，线段BE、AC相交于点G。解决以下问题：(1)证明BE=CD的理由；(2)求线段BE和CD的夹角∠FHE的度数。Ex1.在等边三角形ABC和ADE中，点B、A、D位于同一直线上，AC、BE相交于点G，AE、CD相交于点F。证明AG=AF的理由。Ex2.在正方形ABCD和BEFG中，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N。猜测AG与CE的数量关系和位置关系，并说明理由。4.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，D是底边BC的中点，DE⊥DF。用两种不同的方法证明，以BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。二、证明全等常用方法（截长发或补短法）5.在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。证明AB+BD=AC的理由。Ex1.在△ABC中，边BC在直线m上，ACDE和ABFG均为正方形，DN⊥m于N，FM⊥m于M。用截长法和补短法分别证明BC=FM+DN，并说明△ABC≅△AGE。三、全等在探究题中的运用7.在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F。求BA。证明：根据题意，AE=EF，且AED=180°，连接AC和AD，我们需要证明BC+DE=CD。首先，根据△ABC和△ECF的共同点EC和共边AC，可以得出它们是全等三角形。因此，BC=EF，而EF=AE，所以BC=AE。接着，根据五边形ABCDE的条件，有∠BAC+∠DAE=∠CAD，而∠BAC和∠CAD是直角，所以∠DAE也是直角，即DE⊥AE。因此，根据直角三角形AEF和DEA，可以得出DE=AD×tan∠DAE，而AD=AC-CD，所以DE=(AC-CD)×tan∠DAE。又因为AE=EF，所以AC=2AE，CD=AC-AD=2AE-3DE。将DE带入可得CD=2AE-3(AC-CD)×tan∠DAE，整理得CD=2AE/(1+3tan∠DAE)。因此，BC+DE=AE+DE=AE+AD×tan∠DAE=AC×tan∠DAE=3CD-2AE×tan∠DAE=3CD-2AE/(1+3tan∠DAE)×tan∠DAE。注意到tan∠DAE=1/2，代入可得BC+DE=CD，证毕。活动一：如图1，我们可以先求出△ABD和△ACD的面积，再用△ABD的面积减去四边形DECF的面积，最后再用△ACD的面积减去四边形DECF的面积，再将两个结果相加即可得到阴影部分的面积。设AC=x，BC=y，则BD=√(x^2-y^2)，DE=CF=BD/√2=√[(x^2-y^2)/2]。根据△ABD和△ACD的面积公式，可得它们的面积分别为y(x-2)/2和x(y-1)/2。因此，阴影部分的面积为y(x-2)/2-2(x^2-y^2)/4+x(y-1)/2-2(x^2-y^2)/4=(x-y)^2/2。小明利用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示）。通过观察图形，我们可以得出阴影部分的面积为XX。在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E。我们需要求出AE的长度。小明再次运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示）。由此，我们可以得出：①四边形AECG是一个正方形；②AE的长度为AB-AD=XX。在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE。已知AB=2，DC=4，求△ABE的面积。给定△ABC，其中AB=AC=20厘米，BC=16厘米，点D为线段AB的中点。现有两个点P和Q，分别在线段BC和CA上运动。(1)如果点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同的速度由C点向A点运动。经过1秒后，我们无法确定△BPD与△CQP是否全等。(2)如果点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为8厘米/秒时，可以使△BPD与△CQP全等。如果点Q以8厘米/秒的速度从点C出发，点P以