储层地球物理10分形讲座

分形的哲学思考、艺术欣赏及其应用内容提要概述分形起源一些奇怪现象分形几何分形特征几种典型的分形图形关于维数分形应用（分形插值）2021/7/152一、概述2021/7/153大家都知道，耗散结构理论、协同学、突变理论、混沌动力学和分形几何都是创立于

70年代，它们无一不是跨学科的，也无一不是非线性的。它们的共同目标是探索大自然中的复杂性。它们从不同的角度揭示复杂现象中的规则性。可以说，这些非线性理论在本世纪是继量子力学和相对论两大重大学科的发现和第三次科学革命。我们把这些非线性理论共同形成的学科称为非线性学科。因此，这门学科是一门年轻的学科。为什么要学非线性理论呢？原因有二：其一，复杂现象普遍存在于自然界中，非线性理论是解开复杂现象之迷的金钥匙；其二，是训练学生的思维功能，即培养学生分析问题和解决问题的能力。一个人在完成学业之后，可能获得许多知识，但这并不是衡量一个人能力的标准。因为随着时间的流逝，大部分的知识还会被忘却，而只有得以训练的思维方式的功能永存。所以，人们常说教学不仅是教给学生知识，更重要的是要教给学生获得知识的方法。非线性理论为认识复杂现象提供了新的思维方式和解决问题的办法。难怪生态学家May大声疾呼：“必须向一般学生讲授混沌”。又有人说“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人＂。2021/7/154二、分形的起源分形起源1973年,法国数学家B.Mandelbrot

在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想,创造了“分形(Fractal)”这个新术语。他创立的分形几何，为研究自然界中广泛存在的复杂无序，不规则现象提供了一种定量描述手段，为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法。因此,近年来分形几何不论在理论上,还是在应用上都得到了迅速的发展。分形：具有自相似结构的复杂几何体。2021/7/155英国海岸线的长度随尺码变化（无穷大）；三、一些奇怪的现象2021/7/156Koch

雪花(面积有限,周长无限)2021/7/157哲学思考：曲线的维数不是一维的。就好比用直线（一维的）去度量曲面（二维的），所得的结果只能是无穷大。英国海岸线和koch雪花的周长它们都不是一维的，所以用一维的线段尺码去度量它们，得到的结果只能是无穷大。但是它们又不是二维的，因为它们不可能充满整个平面。故它们的维数是一个在1~2之间的数（分数维）。哲学思考：曲线的维数不是一维的。就好比用直线（一维的）去度量曲面（二维的），所得的结果只能是无穷大。英国海岸线和koch雪花的周长它们都不是一维的，所以用一维的线段尺码去度量它们，得到的结果只能是无穷大。但是它们又不是二维的，因为它们不可能充满整个平面。故它们的维数是一个在1~2之间的数（分数维）。2021/7/158四、分形几何2021/7/159欧氏几何（规则形体：园、方、柱、锥、球；整数维数：点、线、面、体）分形几何（自然界中不规则形体、山，水系，云，树皮，分数维数）2021/7/1510分形水系2021/7/1511

自相似性（树、菜花、水系、国徽、故事）五、分形特征

分数维（海绵3维→2维，图）2021/7/1512树的自相似性2021/7/1513Cantor集：D=0.6309。直线段去掉中间的三分之一19

世纪数学家Cantor

提出。与实际相联系是IBM

公司的高级研究员

Mandelbrot。他发现噪音总是一群群出现，一段无误差的通讯之后紧跟着是一段有误差的通讯。他按不同的时间尺度对无误差传输段和有误差传输段进行划分。若把一天的情况按小时作光滑平均，则发现：有一小时无错，下一小时有错。若按分作光滑平均，原来无错的那一小时段中，还会出现有错段；原来有错的那一小时段中，还会出现无错段。把时间尺度如此细下去，出现同样的结果。更重要的是不管用小时还是用秒作尺度，有错段与无错段之比，始终为一常数。因此，通讯误差是一种在时间轴上排列的

Cantor集2021/7/1514Koch曲线：D=1.26182021/7/1515Sierpinski

地毯carpet：D=1.8928

（正方形）2021/7/1516Sierpinski

垫片gasket：D=1.5850

（三角形）2021/7/1517Sierpinski

海绵sponge：D=2.7768

（立方体）2021/7/1518拓扑维数：七、关于维数点：零维；线：一维；2021/7/1519面：二维；体：三维。维数定义：一个几何对象的维数，等于确定其中一个点的位置所需独立坐标的数目。二维空间中的曲线

y=f

(x)，其上任一点可以由（x,

y）确定。（思考：独立坐标的数目）2021/7/15202021/7/152112

2

1

3,

l

(

r

)

=

r

3

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

8

=r

=

1

,

13

3

1

3,

l

(

r

)

=

r

3

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

27

=r

=

1

,ln(1)d

=1,

2,

3rd

=

ln

N(r)r

:

N(r)

=

1

,l(r)

=

rd

N(r)

=1,rd2

1

2l

(

r

)

=

r

2

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

4

=

1

,r

=

1

,

2

13

3

1

2,

l

(

r

)

=

r

2

N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

9

=r

=

1

,2

2

1

1l

(

r

)

=

r N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

2

=

1

,r

=

1

,3

3

1

1l

(

r

)

=

r N

(

r

)

=

1N

(

r

)

=

3

=

1

,r

=

1

,维数的特征分形维数：在维数概念的基础上，d维空间中的几何体，若将其线度（边长）扩大L倍，则整个形体就扩大K=Ld倍。在2维空间中，有K=L2。在3维空间中，有

K=L3。故空间维数与K、L之间具有以下关系：d=lnK/lnL。d(实数)就称为几何体的维数。2021/7/1522几种分形维数的数学定义：2021/7/15231、容量维数2、信息维数3、关联维数

4、Renyi维数几种分形图案与分形曲面2021/7/15242021/7/15252021/7/15262021/7/15272021/7/15282021/7/15292021/7/15302021/7/15312021/7/15322021/7/15332021/7/1534分形是当今最激动人心的研究领域之一,

正如Mandelbrot在《自然中的分形几何》中所写到的那样:“科学家发现,他们以前必须称之为粒状、流体状、中间状、丘疹状、麻窝状、树枝状、海草状、奇异状、斋乱状、弯曲状、波形状、束状、折皱状等不少形状从今以后能以严格的和强有力的定量方法加以处理,对此他们将会惊喜不已。“数学家发现,那些至今为止认为异常的集合在某种意义上说应该是规则的,被认为是病状的结构应该自然而然地从非常具体的问题中演化出来,对于大自然的研究应该有助于解决一些老问题和产生如此之多的新问题,对此他们将会惊喜不已。”2021/7/1535分形应用（分形插值）2021/7/1536岩石断裂表面岩石断裂表面图片图5-6

常规三轴压力测试下的砂岩剪切断裂表面(根据Jinan

Wang

1994)图

5-7

剪切角为

45

时的剪切测试的砂岩断裂表面(根据Jinan

Wang

1994)2021/7/1537实测岩石断裂表面图05152001817161514131220102021/7/153810X,

mmY,

mmZ,mm(

a

)岩石断裂表面的分形特征定性分析(

a

)2021/7/1539(

c

)(

b

)图5-9

岩石断裂表面的自相似特征(

a

) 1

:

1 (

b

) 1

:

0.5 (

c

) 1

:

0.25定量分析实验变差函数定义为[35,

39]:随机函数z(x)的分形性可由V(h)表示[17,

80]

:分形维数D可由下式确定:i2021/7/1540iN

(h

)[

z

(

xN

(

h

)V

(h

)

=+

h

)

-

z

(

x

)]12i

=1V

(h)=

Ah

b2D

=

2

-

b-1.51-5-3-3.5-4-4.5-2.5-2log(V(h))-1 -0.5

0

0.5log(h)图5-10

岩石断裂表面的双对数图(实测断裂表面图见图5-8(a))相关系数r=0.99872021/7/1541岩石断裂表面的自仿射分形插值6.1.1

插值模型在第四章中我们已经讨论了矩形域上的分形插值根据迭代函数系统的计算公式,将公式(4-25)、(4-27)和(4-28)代入IFS(4-32),我们可以求得自仿射分形插值曲面的显函数:n

,

m

nn

,

m

mf

(

x,

y)

=

e

F

-1

(

x)

+

fY

-1

(

y)

+

gF

-1

(

x)Y

-1

(

y)n

,

m

n

mn

,m+

s f

(F

-1

(

x)

,

Y

-1

(

y))

+

kn

,

m

n

m(6-1)其中:en,m

,fn,m

,gn,m

,kn,m

由公式(4-30)求得,nx

-

x+

xn-1n

n

-10F

-1

(

x)

=

(

x

-

xx

-

x)

N

0,

x˛[xn-1

n,

x

]

,

n˛{1,2,

…,

N},(6-2)m2021/7/1542y

-

y+

ym-1m m-10Y

-1

(

y)

=

(

y

-

yy

-

y)

M

0,

y˛[ym-1

m,

y

],

m˛{1,2,

…,

M},(6-3)断层面的分形插值断层是岩体在长期的地质构造运动过程中形成一种岩石断裂现象.断层的存在直接影响着岩体的物理力学行为。而且断层的分布状况及断层面的粗糙程度,控制着断层面两侧岩体的接触应力分布、磨擦滑动特性和断裂面的力学性质,往往是工程岩体稳定性的决定性因素。因此，研究断层面的几何状态、粗糙程度,对于研究其力学行为、查明整个工程岩体的稳定性是至关重要的。长期以来,受研究手段和研究方法的限制,没有科学的定

量描述手段,一直是把断层面当作光滑的平面来看待的。其实,断层的表面是粗糙起伏凹凸不平的。大量的研究表明,地质断裂面,小到岩石断口,大到断层的表面都具有统计意义上的分形结构特征，可以用分形维数加以描述.断层是岩体在长期的地质构造运动过程中形成一种岩石断裂现象.断层的存在直接影响着岩体的物理力学行为。而且断层的分布状况及断层面的粗糙程度,控制着断层面两侧岩体的接触应力分布、磨擦滑动特性和断裂面的力学性质,往往是工程岩体稳定性的决定性因素。因此，研究断层面的几何状态、粗糙程度,对于研究其力学行为、查明整个工程岩体的稳定性是至关重要的。长期以来,受研究手段和研究方法的限制,没有科学的定

量描述手段,一直是把断层面当作光滑的平面来看待的。其实,断层的表面是粗糙起伏凹凸不平的。大量的研究表明,地质断裂面,小到岩石断口,大到断层的表面都具有统计意义上的分形结构特征，可以用分形维数加以描述.2021/7/1543断层面标高数据0100200300050900800700600500150100X,mmY,mmZ,mm图

7-1

断层面信息点空间分布形态2021/7/154400-4-27680100200300050900800700600500