2022版高考数学一轮复习第4章导数及其应用第3讲第1课时导数在不等式中的应用课件

导数及其应用第四章第3讲导数的综合应用考点要求考情概览1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题考点预测：函数与导数是高中数学的重要内容之一，常与其他知识相结合，形成难度不同的各类综合题型，常涉及的问题有：研究函数的性质(如函数的单调性、极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题、运用导数解决实际问题等．题型多变，属中、高档难度．学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．2．导数在综合应用中使用转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．1．对∀x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)>f(x)，且a>0，则以下说法正确的是

(

)A．f(a)>ea·f(0)

B．f(a)<ea·f(0)C．f(a)>f(0)

D．f(a)<f(0)【答案】A2．设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 (

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C3．已知定义在实数集R内的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R内恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为 (

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函数

f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√第1课时导数在不等式中的应用重难突破能力提升2考向1直接构造函数证明不等式示通法利用导数证明不等式的两种方法：1．函数类不等式：证明f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后利用导数证明h(x)的单调性或证明h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)．2．常数类不等式：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式f(a)<f(b)的问题，再根据a，b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式．构造函数证明不等式【答案】(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x<ln2时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减；当x>ln2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝eln

2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值．(2)证明：要证当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x>0)，则g′(x)＝ex－2x＋2a.由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a.又a>ln2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈(0，＋∞)，都有g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.【解题技巧】一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．【解题技巧】1．在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．2．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个x的值．【答案】(1)解：依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.变量代换法证明双变量函数不等式【解题技巧】证明双变量函数不等式的常见思路(1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．(2)整体换元．将双变量整体换元，化为一元不等式．(3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明．不等式恒成立或能成立【解题技巧】1．利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围．2．含参数的能成立(存在型)问题的解题方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.3．含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.【变式精练】3．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R)．(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．素养微专直击高考3逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．素养提升类——逻辑推理：用活两个经典不等式典例精析【解析】设g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，当x>0时g′(x)＝ex－1>e0－1＝0，所以g(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)上递增，得g(x)>g(0)＝e0－0－1＝0，所以当x>0时，1<x＋1<ex恒成立．