2021年江苏省南京市第五十四中学高二数学理期末试题含解析

2021年江苏省南京市第五十四中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．2.双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．3.将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（）A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4）参考答案：B【考点】进位制．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的28化为四进制，即可得到结论．【解答】解：先将“二进制”数11100（2）化为十进制数为1×24+1×23+1×22=28（10）然后将十进制的28化为四进制：28÷4=7余0，7÷4=1余3，1÷4=0余1所以，结果是130（4）故选：B．【点评】本题考查的知识点是二进制、十进制与四进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．4.曲线3x2－y＋6=0在x=－处的切线的倾斜角是A.

B.－

C.π

D.－π参考答案：C略5.函数y=sin(2x+)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到（

）

A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向左平移

参考答案：B略6.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（

）A、第4名工人操作了3台织布机；

B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机；

D、第3名工人操作了台织布机.参考答案：A略7.已知数列,3,,…,,那么9是数列的

（

）A.第12项

B.第13项

C.第14项 D.第15项参考答案：C8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．9.正方形的边长为，平面，，那么到对角线的距离是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.直线与圆的位置关系是A．直线与圆相交且过圆心

B．直线与圆相交但不过圆心

C．相切

D．相离

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数（为虚数单位），若复数，在复平面内对应的点关于直线对称，则

．参考答案：－2+3i

12.方程，当时，表示圆；当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示两条直线.参考答案：

，

，

，

；13.设椭圆和双曲线的公共焦点为,,P是两曲线的一个交点，的值是

。参考答案：14.对于二项式有下列四个命题：（1）展开式中；（2）展开式中非常数项系数和是1；（3）展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；（4）当时，除以2000的余数是1其中正确命题的序号是

参考答案：（4）15.命题“?x∈R，x2＋1>0”的否定是__

_参考答案：?x∈R，x2＋1≤016.（1）已知直线,则该直线过定点

；（2）已知双曲线

的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为

．参考答案：（-2,1）；；17.已知双曲线，F1、F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，设|PF1|=7，则|PF2|的值为_

__参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求： （1）角C的度数； （2）边AB的长． 参考答案：【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求． （2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB． 【解答】解：（1） ∴C=120° （2）由题设： ∴AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcosC=a2+b2﹣2abcos120° = ∴ 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和函数思想，化归思想的应用． 19.（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，已知O(0,0,0)，A(2,－1,3)，B(2,1,1).(1)求|AB|的长度；(2)写出A、B两点经此程序框图执行运算后的对应点A0，B0的坐标，并求出在方向上的投影.参考答案：(1)(2)∵A(2,－1,3)满足22+(－1)2≤32∴输出A0(2,－1,3)∵B(2,1,1)不满足22+12≤12∴z=z+1=2∵(2,1,2)不满足22+12≤22∴z=z+1=3∵(2,1,3)满足22+12≤32∴输出B0(2,1,3)∴=(2,－1,3)，=(2,1,3)

∴∴在方向上的投影等于20.(本小题满分13分)如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的

处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援，求的值．

参考答案：21.已知，是夹角为60°的单位向量，且，。(1）求；(2）求与的夹角。参考答案：（1）＝（＝－6＋＋2＝；(2），同理得，所以，又，所以＝120°。22.用秦九韶算法求多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值．参考答案：1397考点：算法的概念．专题：计算题．分析：利用秦九韶算法一步一步地代入运算，注意本题中有几项不存在，此时在计算时，我们应该将这些项加上，比如含有x3这一项可看作0?x3．解答：解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式f（x）=8x7+5x6+0?x5+3?x4+0?x3+0?x2+2x+1=（（（（（（8x+5）x+