新教材人教b版数学必修向量数量积的运算律

8.1.2向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【思考】“若a·b=a·c,则b=c”成立吗?请说明原因.提示:不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b与c不一定相等.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)(a·b)·c=a·(b·c). (

)(2)(a·b)2=a2·b2. (

)(3)a·[b(a·c)-c(a·b)]=0. (

)提示:(1)×.向量(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,故不正确.(2)×.(a·b)2=(|a||b|·cosθ)2=a2b2cos2θ.(3)√.a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0.2.已知|a|=|b|=2,a·b=2,则|a-b|= (

)

A.1 B. C.2 D.或2【解析】选C.|a-b|=

3.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a·(a-b)=,则向量a与b的夹角为 (

)A. B. C. D.【解析】选B.因为a·(a-b)=a2-a·b=,所以1-1×1×cos<a,b>=,所以cos<a,b>=,因为0≤<a,b>≤π,所以θ=.4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于 (

)

A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2【解析】选D.如图所示,由题意,得BC=a,CD=a,∠BCD=120°.所以

=a·a·cos60°+a2=a2.类型一向量数量积的运算律的应用【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (

)

A.4 B.3 C.2 D.02.(2020·长春高二检测)已知向量|a+b|=|a-b|,且|a|=|b|=2,则|2a-b|= (

)A.2 B.2 C.2 D.3.(2020·马鞍山高一检测)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则·= (

)A. B.-C. D.-【思维·引】1.利用向量数量积的定义与运算律计算.2.先利用|a+b|=|a-b|得出a·b=0,再利用a2=|a|2和向量数量积运算律计算.3.先分别用基向量表示,再利用向量数量积的定义与运算律计算.【解析】1.选B.a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.选C.因为向量|a+b|=|a-b|,所以a·b=0,又|a|=|b|=2,所以|2a-b|==2.3.选D.因为菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,所以=2×2×cos60°=2,又因为所以【内化·悟】1.形如“a·(2a-b)”的计算将如何进行?提示:类比单项式乘以多项式的计算方法进行.2.根据模长公式,求向量的模的问题应首先做怎样的转化?提示:求模问题一般转化为求模的平方.3.如何解决几何图形中向量数量积的计算?提示:一般选择已知长度与夹角的向量作基底,用基底表示要求数量积的向量,再计算.【类题·通】向量数量积运算中的常用结论(1)a2=|a|2.(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则.(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.【习练·破】1.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,则(2a-b)·(a+3b)=________.

【解析】(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×16+5×4×2×cos120°-3×4=0.答案:02.(2019·临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5,|a-b|=5,则|a|=________.

【解析】由已知有将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=.答案:

【加练·固】(2020·烟台高一检测)在△ABC中,已知|+|=|-|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点(M靠近B,N靠近C),则·= (

)

A. B. C. D.【解析】选B.因为|+|=|-|,所以∠BAC=90°.又M,N分别为BC的三等分点,类型二向量的夹角和垂直问题角度1求向量的夹角【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (

)

A. B. C. D.【思维·引】利用夹角公式计算.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B.【素养·探】解决向量的夹角与垂直问题时,常常需要结合图形分析问题,突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养.若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.【解析】设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=-.角度2向量垂直的应用【典例】

(2019·枣庄高一检测)已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cosθ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为世纪金榜导学号(

)

A.4 B.-4 C. D.-【思维·引】利用向量垂直的充要条件求参数.【解析】选B.由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【类题·通】1.求向量夹角问题一般有两种思路(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式cosθ=求值定角.(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cosθ=求值定角.2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线.(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.【习练·破】1.已知非零向量a,b,若a+3b与a-3b互相垂直,则等于 (

)A. B.9 C. D.3【解析】选D.因为a+3b与a-3b互相垂直,所以(a+3b)·(a-3b)=0,即|a|2-9|b|2=0.所以=3.2.已知a,b满足|a|=,|b|=2,|a+b|=,求a+b与a-b的夹角的余弦值.【解析】由已知|a|=,|b|=2,|a+b|=,所以(a+b)2=13.即a2+2a·b+b2=13,所以2a·b=6.所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=(a+b)2-4a·b=1.即|a-b|=1,(a+b)·(a-b)=a2-b2=3-4=-1,故cos<a+b,a-b>=【加练·固】设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且a与b具有关系|ka+b|=|a-kb|(k>0).(1)a与b能垂直吗?(2)若a与b夹角为60°,求k的值.【解析】(1)因为|ka+b|=|a-kb|,所以(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|=|b|=1.即k2+1+2ka·b=3(1+k2-2ka·b),所以a·b=.因为k2+1≠0,所以a·b≠0,即a与b不垂直.(2)因为a与b夹角为60°,且|a|=|b|=1,所以a·b=|a||b|cos60°=.所以=.所以k=1.类型三平面向量在平面几何证明中的应用【典例】1.(2019·潍坊高一检测)点O是△ABC所在平面上的一点,且满足,则点O是△ABC的 (

)

A.重心 B.垂心C.内心 D.外心2.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 世纪金榜导学号【思维·引】1.恰当利用数量积的运算律,对已知等式变形,证明有关直线垂直.2.选择基底表示和,转化为证明向量垂直.【解析】1.选B.因为,所以=0,即=0,所以,同理,,所以O是△ABC的垂心.2.设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0,又=-a+,所以=故,即AF⊥DE.【类题·通】利用向量的数量积解决几何问题向量是数学中的一种常用工具,利用向量可以解决很多相关的几何问题,比如判断三角形的形状,四边形的形状等,在求解几何问题时如何把几何问题转化为向量问题,利用向量知识解答是解决问题的关键.【习练·破】1.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知·=0,则△ABC是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选A.因为即||2-||2=0,所以||=||.所以△ABC为等腰三角形.2.已知:如图,AB是☉O的直径,点P是☉O上任一点(不与A,B重合),求证:∠APB=90°.(用向量方法证明)【证明】连接OP,设向量=a,=b,则|a|=|b|,=-a且=a-b,=-a-b,所以·=b2-a2=|b|2-|a|2=0,所以⊥

,即∠APB=90°.【加练·固】如图,