2023届广东省惠州市高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A． B． C． D．2．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1 B．32 C．243 D．10243．已知，则的大小关系为()A． B． C． D．4．集合，，则=()A． B．C． D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种 B．30种 C．40种 D．60种7．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（）A． B． C． D．8．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有A．24种 B．30种 C．32种 D．36种9．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是（）A． B． C． D．10．己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．11．4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（）种不同的站法．A．1920 B．960 C．1440 D．72012．设随机变量，若，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．计算的结果为__________.14．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．15．双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是______；16．在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（1）共有多少种不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？18．（12分）如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求证：面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.19．（12分）已知函数．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当函数在上单调时，求的取值范围．20．（12分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担．若水产养殖基地恰能在约定日期（×月×日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地万元．为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路公路（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费）（Ⅰ）记汽车走公路时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望．（Ⅱ）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？21．（12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）设实数，证明：．22．（10分）如图，四核锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：将其向右平移个单位后得到：，若为偶函数必有：，解得：，当时，D正确，时，B正确，当时，A正确，综上，C错误.考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.2、C【解析】

根据定积分求得，得出二项式，再令，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.【详解】由题意，可得，所以二项式为，令，可得二项式展开式的所有项系数和为，故选C.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】分析：由，，，可得，，则，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：，，则，即，综上，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4、C【解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合，所以，故选C．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．5、A【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.6、A【解析】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．7、B【解析】

确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知，利用条件概率的计算公式，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解析】

利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n，于是得出答案N-n。【详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有C42种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为n=A因此，所求的不同安排方法数为N-n=36-6=30种，故选：B。【点睛】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。9、C【解析】

根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.【详解】旧的，新的，故，故选C.【点睛】本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.10、B【解析】

根据题目可知，过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义，结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，即可求出的的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，令，解得可得，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴故答案选B。【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想。11、B【解析】

先将学生和王老师捆绑成一个团队，再将团队与另外3个老师进行排列，最后将两位家长插入排好的队中即可得出．【详解】完成此事分三步进行：（1）学生和王老师捆绑成一个团队，有种站法；（2）将团队与另外3个老师进行排列，有种站法；（3）将两位家长插入排好的队中，有种站法，根据分步计数原理，所以有种不同的站法，故选B．【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理、捆绑法以及插空法的应用．12、B【解析】

根据，可以求出的值，利用二项分布的方差公式直接求出的值.【详解】解:，解得，，故选B.【点睛】本题考查了二项分布的方差公式，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

利用组合数的性质来进行计算，可得出结果.【详解】由组合数的性质可得，故答案为.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.14、19【解析】按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．15、【解析】

根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，，由双曲线的定义可得，，即，解得：.【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.16、【解析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标详解：由可得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）从这件产品中任意抽出件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；（3）在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解．【详解】（1）从这件产品中任意抽出件，共有种不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有种不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法种数，可以在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，因此，共有种不同的抽法.【点睛】本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18、（1）见解析；（2）为线段的中点.【解析】

（1）利用面面平行的判定定理证明出平面平面，再利用平面与平面平行的性质得出平面；（2）由，，由二面角的定义得出，证明出平面平面，过点在平面内作，可证明出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为求出的值，由此确定点的位置.【详解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，则、，设.则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为..又平面的一个法向量为，，解得或（舍去）.此时，，即所求点为线段的中点.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.19、(1)函数在最大值是2,最小值是；(2)【解析】

(1)代入,求导分析函数的单调性与最值即可.(2)由题得或在区间上恒成立,求导后参变分离求最值即可.【详解】(1)时,.函数在区间仅有极大值点,故这个极大值点也是最大值点,故函数在最大值是,又,故,故函数在上的最小值为.故函数在最大值是2,最小值是(2),令,则,则函数在递减,在递增,由,,,故函数在的值域为.若在恒成立,即在恒成立,只要,若要在恒成立,即在恒成立,只要.即的取值范围是.【点睛】本题主要考查求导分析函数在区间内的最值问题以及根据函数的单调性求参数范围的问题.包括参变分离求函数最值问题等.属于中档题.20、（Ⅰ）见解析，万元；（Ⅱ）走公路可让水产养殖基地获得更多利润．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到不堵车时万元，堵车时万元，结合题目中给出的概率得到随机变量的分布列，求得万元。（Ⅱ）设设走公路利润为，同（Ⅰ）中的方法可得到随机变量的分布列，求得万元，故应选择走公路可让水产养殖基地获得更多利润。试题解析：（I）由题意知，不堵车时万元，堵车时万元。