2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（三）

2023年高考数学强基计划模拟题（三）

一、填空题（每题10分）

1.一个三位数等于它各位数字的阶乘之和，则此三位数各位数字之和为.

2.使得x+2和/+刍都是整数的正实数％的个数为___.

XX6

3.已知71是不超过2020的正整数且甘+2n+3,+4n的个位数为0,则满足条件的女的

个数为.

复数，满足。-则由复数所围成的儿何图形的面

4.ZiZ23i|=2,|Z2-8|=1,z1-z2

积是.

5.把实数a=（5+3通）2。2。写成十进制小数，贝打的十分位、百分位和千分位上数字之

和等于.

6.满足：+：=感，戈wy的正整数对（％y）的个数为.

7.满足等式2002［小/100#+1］=­2002410012+1］（其中因表示不超过x的最大整

数）的正整数n的个数为.

8.记集合T={0,123,4,5,6},M=伶+等+菖+学阿6T,i=1,2,3,4},将M中的元素

按从小到大的顺序排列，则第2020个数是.

二、解答题（20分）

9.设a,b,c和（a--；）（c-；）均为正整数，求2a+3b+5c的最大值与最小值的

差.

答案和解析

1.【答案】10

【解析】设这个三位数为万位=a!+b!+c!，因为6!=720,7!>1000,故a,b,c<5,

再逐步分析验证可得五位=145.

2.【答案】1

【解析】由（X+，=/+4+摄eN且它+会可可得/,16N,故/=1,2.又因为

X+-XGN,进而可得x=l.

3.【答案】1515

【分析】

本题考查周期性，属于中档题.

设即=171+271+34+小，可得的的个位数为0,a2的个位数为0,。3的个位数为0,。4的个

位数为4,as的个位数为0,可知即=ln+2。+3"+4n的个位数以0,0,0,4,0,0,0,

4…的规律呈现，，即可求解.

【解答】

解：设an=r"+2n+3n+4”,

因为%=11+21+31+小的个位数为0;

222

a2=1+2+3+42的个位数为0；

333

a3=I+2+3+43的个位数为0;

444

a4=I+2+3+44的个位数为4;

。5=15+25+35+45的个位数为0,“・，

由此分析可知甘+2=+3”+4n的个位数以0,0,0,4,0,0,0,4…的规律呈现，

又2016+4=504,

当n=2016时，个位数为0的有504x3=1512个.

又当n=2017,2018,2019时个位数也为0,

故共有1512+3=1515个.

4.【答案】87r

【分析】

本题考查了复数的模及其几何意义，属于中档题.

先构造一个新的复数z=Z1-Z2,再利用绝对值不等式求得z所围成的几何图形是圆环的边,

从而求得所围图形的面积.

【解答】

设2=Zi—Z2=x+yi,其中x,yeR.

因为|z—3t+8|=|zi—z2—3i+8\=I。-3i)—(z2—8)|

所以怙1—3i|一团—8|<|(x+8)+(y—3)i|<\z1-3i|+。-8|,

即1<|(x+8)+(y-3)i|<3,

因此，复平面内Zi-Z2所围成的几何图形是以(-8,3)为圆心，分别以1、3为半径的两个圆所

夹的圆环，

故其面积为兀-83-7T-I3=87r.

故答案为：8兀.

5.【答案】0

［解析］构造b=(3b一5)2。2。，可得巾=(3A/3-5)G(0,1)­b=(3>/3-5)2020<

0.000000001,且a-b=(5+3>/3)2020-(3>/3-5)2020GM故得结果.

6.【答案】23

【解析】由条件;+：=薪,尤<丫可得！=募一;=需,解得

2020x2020x-202024-20202,20202

y=^=2020=---------^=2020----------=2020+^=2020-

故只要满足eN+，Xwy条件，即X-2020是20202的因子且X<y.由20202=52X24

xIO"得共有23个.

7.【答案】2002

【解析】因为

1001<V10012+1<1001+壶，①

所以

1001X2002<2002V10012+1<1001x2002+1.

故由汨2002V10012+1］=2002x1001n可得［nVl而淳率I］=1001n.

由式①可得1001n<1001n+荒知n=l,2.•••,2002成立.

易证V10012+1>1001+焉.故结论为2002.

8.【答案】；+**+£

【解析】设学+费+号+学=4则4的值相当于七进制下的分位数.显然当的值固定时，力的

值会由。2逐渐变小，依此类推.由于%，。2,&3,a4为7的余数，故解决问题的方法浮现出来.

当%=0时，可知4的值共有2187个，故从4=1开始排序，可得第2020个数是;+/+摄+

5

7-

9.【答案】由(a_》(b_》(c_；)=(aIM：\)(caT)eN+，且a,b,c也是正整数，可得

abcl(ab—l)(bc—l)(ca—1),

即(ab-l)(bc—l)(ca-1)=(ab2c—ab-be+l)(ca—1)

=(-ab—be+1)(CQ—1)

=-a2bc+ab—abc2+匕c+ca—1

=QZ?+be+CQ—1=0(modabc)f

故ab+bcjca-l£可推出is也终竺3.不妨设。3/,we,a,b,c&N+,则有

abc十abc

../ab+bc+ca-1,3bc3一一

1<--------------<—=-=>a<3=>a=ld,2o.

abcabca

当a=l时，则有

ctb+be+CCL—1b+be+c—1bc—1

abc-be-1+be七八+

b+c—1b+c—12c2

=be'"+=1"foe<^c~b

=8<2=b=l,

舍去.

当a=2时,则有

ab+be+cct—12b+be+2c—1

------赤一G3------痂-eN+

2b+be+2c—1

=----------5T-----------N1

2bc

=2b+be+2c—1N